Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 05
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Fonction Logarithme (2 points )
* Suite Numérique (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Fonctions logarithme ( 2 points )
1) Vérifier que: (x-3)(x-2) = x²-5x+6
2) Déduire dans ] 0,+∞[ les solutions:
a. De l’équation: ln²(x)-5ln (x)+6 = 0
b. De l’inéquation: ln²(x)-5ln(x)+6 ≥ 0
* Suite Numérique (3.5 points )
Soit \((u_{n})\;\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=5\) et \(u_{n+1}=\frac{7 u_{n}+4}{2 u_{n}+5}\;\) pour tout n∈IN
1) Montrer par récurrence que \(u_{n}>2 \;\) pour tout n∈IN
2) a. Vérifier que pour tout n∈IN \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(u_{n}+1)(2-u_{n})}{2 u_{n}+5}\)
b) Montrer que \(u_{n}\) est décroissante et déduire qu’elle est convergente.
3) On pose pour tout n∈IN \(v_{n}=\frac{u_{n}-2}{u_{n}+1}\)
a) Montrer que \((v_{n})\;\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{3}\)
b) Calculer \(v_{0} \;\) puis écrire \((v_{n}) \;\) en fonction de n
c) Montrer que \(u_{n}=\frac{4+(\frac{1}{3})^{n}}{2-(\frac{1}{3})^{n}}\;\) pour tout n∈IN
puis calculer \(lim _{n⟶+∞} u_{n}\)
* Nombre Complexe (3.5 points )
1) Résoudre dans C l’équation: \(z²-4 \sqrt{2} z+16=0\)
2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
\((0, \vec{i}, \vec{j})\) les points A,B,C et D d’affixes respective :
a=\(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}i\)
b=\(2(\sqrt{3}-i)\)
c=\(2(\sqrt{3}+i)\)
d=\((\sqrt{2}+\sqrt{6})+(\sqrt{2}-\sqrt{6})i\)
a) Ecrire a, b, et c sous forme exponentielle.
b) Déduire le module et un argument de \(\frac{b}{c}\)
3) Soit z l’affixe du point M et z’ l’affixe du point M’ l’image de M
par la rotation \(R\) de centre O et qui transforme C en B.
a) Vérifier que l’angle de la rotation \(R\) est \(-\frac{π}{3}\).
b) Montrer que : z ‘ =\((\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i) z\)
c) Montrer que R(A) = D et déduire la forme trigonométrique du nombre d.
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Partie I
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par:
g(x)=(x²-1) × ln(x)+1
1) Montrer que ∀x∈] 0,1[: g(x)>0
2) Montrer que ∀x∈[1,+∞[: g(x)>0
3) En déduire que ∀x∈ ]0,+∞[: g(x)>0
Partie II
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
f(x)=\((\frac{x²+1}{x}) × lnx – x + 2\)
Soit (C) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé
\((0, \vec{i}, \vec{j})\) unité: 1cm
1) a. Vérifier que: ∀x∈] 0,+∞[ f(x)=\(x lnx+\frac{lnx}{x}-x+2\)
b. Montrer \(\lim _{x⟶0 \atop x>0} f(x)=-∞\) et interpréter géométriquement ce résultat.
c. Montrer \(\lim _{x⟶+∞} f(x)=+∞\) et \(\lim _{x⟶+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\)
puis déduire la branche infinie de la courbe \(( C )\) au voisinage de +∞
2) a. Montrer que : \(f ‘ (x)=\frac{g(x)}{x²}\;\) pour tout x∈ ]0,+∞[
b. Montrer que f est strictement croissante sur ]0,+∞[
c. Calculer f(1) puis dresser le tableau de variations de la fonction f
d. Montrer que l’équation cartésienne de la droite (Δ)
la tangente de la courbe \(( C )\) au point d’abscisse 1 est y=x
3) a. Montrer que la fonction f est continue sur ]0,+∞[
b. Tracer la droite (Δ) et la courbe \(( C )\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
On admet que I(1,6 ; 1,4) est l’unique point d’inflexion de la courbe ( \(C\))
et \(( C )\) coupe (Δ) en deux points exactement N(4,2 ; 4,2) et M(1 ; 1)
c. Déduire à partir de la représentation graphique que f(x) ≤ x sur [1 ; e]
4) Soit la fonction \(h\) la restriction de la fonction f sur ]0,1]
b. Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\)
définie sur un intervalle J que l’on précisera.
c. Construire dans le même repère la courbe représentative de \(h^{-1}\)
5) a. Montrer que : \(\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x=\frac{1}{2}\)
b. En utilisant une intégration par parties,
montrer que: \(\int_{1}^{e} xln(x) dx=\frac{e^{2}+1}{4}\)
c) Montrer que l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses
et les deux droites d’équations: x=1 et x=e est égale à:\(\frac{-e^{2}+8 e-3}{4} \;\)cm²
( on pourra utiliser la question précédente et la question II-1) a.
III- on considère la suite numérique \((u_{n})\) définie par:
\(u_{0}=2\) et \(u_{n+1}=f(u_{n})\;\) pour tout n de IN
1) Montrer que \(1 ≤ u_{n}≤ e\;\) pour tout n de IN ( on pourra utiliser la question II-2) b.
2) Montrer que la suite \((u_{n})\) est décroissante. ( on pourra utiliser la question II-3) c.
3) En déduire que \((u_{n})\) est convergente puis déterminer sa limite.
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