Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 05
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Fonction Logarithme (2 points )
* Suite Numérique (3.5 points )
* Nombres complexes (3.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Fonctions logarithme ( 2 points )
1) Vérifier que: (x-3)(x-2) = x²-5x+6
2) Déduire dans ] 0,+∞[ les solutions:
a. De l’équation: ln²(x)-5ln (x)+6 = 0
b. De l’inéquation: ln²(x)-5ln(x)+6 ≥ 0
* Suite Numérique (3.5 points )
Soit ((u_{n});) la suite numérique définie par:
(u_{0}=5) et (u_{n+1}=frac{7 u_{n}+4}{2 u_{n}+5};) pour tout n∈IN
1) Montrer par récurrence que (u_{n}>2 😉 pour tout n∈IN
2) a. Vérifier que pour tout n∈IN (u_{n+1}-u_{n}=frac{2(u_{n}+1)(2-u_{n})}{2 u_{n}+5})
b) Montrer que (u_{n}) est décroissante et déduire qu’elle est convergente.
3) On pose pour tout n∈IN (v_{n}=frac{u_{n}-2}{u_{n}+1})
a) Montrer que ((v_{n});) est une suite géométrique de raison (frac{1}{3})
b) Calculer (v_{0} 😉 puis écrire ((v_{n}) 😉 en fonction de n
c) Montrer que (u_{n}=frac{4+(frac{1}{3})^{n}}{2-(frac{1}{3})^{n}};) pour tout n∈IN
puis calculer (lim _{n⟶+∞} u_{n})
* Nombre Complexe (3.5 points )
1) Résoudre dans C l’équation: (z²-4 sqrt{2} z+16=0)
2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
((0, vec{i}, vec{j})) les points A,B,C et D d’affixes respective :
a=(2 sqrt{2}+2 sqrt{2}i)
b=(2(sqrt{3}-i))
c=(2(sqrt{3}+i))
d=((sqrt{2}+sqrt{6})+(sqrt{2}-sqrt{6})i)
a) Ecrire a, b, et c sous forme exponentielle.
b) Déduire le module et un argument de (frac{b}{c})
3) Soit z l’affixe du point M et z’ l’affixe du point M’ l’image de M
par la rotation (R) de centre O et qui transforme C en B.
a) Vérifier que l’angle de la rotation (R) est (-frac{π}{3}).
b) Montrer que : z ‘ =((frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2} i) z)
c) Montrer que R(A) = D et déduire la forme trigonométrique du nombre d.
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Partie I
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par:
g(x)=(x²-1) × ln(x)+1
1) Montrer que ∀x∈] 0,1[: g(x)>0
2) Montrer que ∀x∈[1,+∞[: g(x)>0
3) En déduire que ∀x∈ ]0,+∞[: g(x)>0
Partie II
On considère la fonction numérique (f) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
f(x)=((frac{x²+1}{x}) × lnx – x + 2)
Soit (C) la courbe représentative de (f) dans un repère orthonormé
((0, vec{i}, vec{j})) unité: 1cm
1) a. Vérifier que: ∀x∈] 0,+∞[ f(x)=(x lnx+frac{lnx}{x}-x+2)
b. Montrer (lim _{x⟶0 atop x>0} f(x)=-∞) et interpréter géométriquement ce résultat.
c. Montrer (lim _{x⟶+∞} f(x)=+∞) et (lim _{x⟶+∞} frac{f(x)}{x}=+∞)
puis déduire la branche infinie de la courbe (( C )) au voisinage de +∞
2) a. Montrer que : (f ‘ (x)=frac{g(x)}{x²};) pour tout x∈ ]0,+∞[
b. Montrer que f est strictement croissante sur ]0,+∞[
c. Calculer f(1) puis dresser le tableau de variations de la fonction f
d. Montrer que l’équation cartésienne de la droite (Δ)
la tangente de la courbe (( C )) au point d’abscisse 1 est y=x
3) a. Montrer que la fonction f est continue sur ]0,+∞[
b. Tracer la droite (Δ) et la courbe (( C )) dans le repère ((O, vec{i}, vec{j}))
On admet que I(1,6 ; 1,4) est l’unique point d’inflexion de la courbe ( (C))
et (( C )) coupe (Δ) en deux points exactement N(4,2 ; 4,2) et M(1 ; 1)
c. Déduire à partir de la représentation graphique que f(x) ≤ x sur [1 ; e]
4) Soit la fonction (h) la restriction de la fonction f sur ]0,1]
b. Montrer que (h) admet une fonction réciproque (h^{-1})
définie sur un intervalle J que l’on précisera.
c. Construire dans le même repère la courbe représentative de (h^{-1})
5) a. Montrer que : (int_{1}^{e} frac{ln x}{x} d x=frac{1}{2})
b. En utilisant une intégration par parties,
montrer que: (int_{1}^{e} xln(x) dx=frac{e^{2}+1}{4})
c) Montrer que l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses
et les deux droites d’équations: x=1 et x=e est égale à:(frac{-e^{2}+8 e-3}{4} ;)cm²
( on pourra utiliser la question précédente et la question II-1) a.
III- on considère la suite numérique ((u_{n})) définie par:
(u_{0}=2) et (u_{n+1}=f(u_{n});) pour tout n de IN
1) Montrer que (1 ≤ u_{n}≤ e;) pour tout n de IN ( on pourra utiliser la question II-2) b.
2) Montrer que la suite ((u_{n})) est décroissante. ( on pourra utiliser la question II-3) c.
3) En déduire que ((u_{n})) est convergente puis déterminer sa limite.
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Examen Bac 2 2020 Math Préparation 05
