Examen Bac 2 2020 Math Préparation 05

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 05

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:

* Fonction Logarithme (2 points )

* Suite Numérique (3.5 points )

* Nombres complexes (3.5 points )

* Etude d’une fonction numérique (11 points )

* Fonctions logarithme ( 2 points )

1) Vérifier que: (x-3)(x-2) = x²-5x+6 2) Déduire dans ] 0,+∞[ les solutions: a. De l’équation: ln²(x)-5ln (x)+6 = 0 b. De l’inéquation: ln²(x)-5ln(x)+6 ≥ 0

* Suite Numérique (3.5 points )

Soit

(u_{n})

la suite numérique définie par:

u_{0} = 5

u_{n + 1} = \frac{7 u_{n} + 4}{2 u_{n} + 5}

pour tout n∈IN 1) Montrer par récurrence que

u_{n} > 2

pour tout n∈IN 2) a. Vérifier que pour tout n∈IN

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 (u_{n} + 1) (2 - u_{n})}{2 u_{n} + 5}

b) Montrer que

u_{n}

est décroissante et déduire qu’elle est convergente. 3) On pose pour tout n∈IN

v_{n} = \frac{u_{n} - 2}{u_{n} + 1}

a) Montrer que

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

\frac{1}{3}

b) Calculer

v_{0}

puis écrire

(v_{n})

en fonction de n c) Montrer que

u_{n} = \frac{4 + (\frac{1}{3})^{n}}{2 - (\frac{1}{3})^{n}}

pour tout n∈IN puis calculer

l i m_{n ⟶ + \infty} u_{n}

* Nombre Complexe (3.5 points )

1) Résoudre dans C l’équation:

z ² - 4 \sqrt{2} z + 16 = 0

2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé

(0, \vec{i}, \vec{j})

les points A,B,C et D d’affixes respective :

2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} i

2 (\sqrt{3} - i)

2 (\sqrt{3} + i)

(\sqrt{2} + \sqrt{6}) + (\sqrt{2} - \sqrt{6}) i

a) Ecrire a, b, et c sous forme exponentielle. b) Déduire le module et un argument de

\frac{b}{c}

3) Soit z l’affixe du point M et z’ l’affixe du point M’ l’image de M

par la rotation

R

de centre O et qui transforme C en B. a) Vérifier que l’angle de la rotation

R

est

- \frac{π}{3}

. b) Montrer que : z ‘ =

(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) z

c) Montrer que R(A) = D et déduire la forme trigonométrique du nombre d.

* Etudes de Fonctions ( 11 points )

Partie I

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par: g(x)=(x²-1) × ln(x)+1 1) Montrer que ∀x∈] 0,1[: g(x)>0 2) Montrer que ∀x∈[1,+∞[: g(x)>0 3) En déduire que ∀x∈ ]0,+∞[: g(x)>0

Partie II

On considère la fonction numérique

f

définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par: f(x)=

(\frac{x ² + 1}{x}) \times l n x - x + 2

Soit (C) la courbe représentative de

f

dans un repère orthonormé

(0, \vec{i}, \vec{j})

unité: 1cm 1) a. Vérifier que: ∀x∈] 0,+∞[ f(x)=

x l n x + \frac{l n x}{x} - x + 2

b. Montrer

lim_{\binom{x ⟶ 0}{x > 0}} f (x) = - \infty

et interpréter géométriquement ce résultat.

c. Montrer

lim_{x ⟶ + \infty} f (x) = + \infty

lim_{x ⟶ + \infty} \frac{f (x)}{x} = + \infty

puis déduire la branche infinie de la courbe

(C)

au voisinage de +∞ 2) a. Montrer que :

f ‘ (x) = \frac{g (x)}{x ²}

pour tout x∈ ]0,+∞[ b. Montrer que f est strictement croissante sur ]0,+∞[ c. Calculer f(1) puis dresser le tableau de variations de la fonction f d. Montrer que l’équation cartésienne de la droite (Δ) la tangente de la courbe

(C)

au point d’abscisse 1 est y=x 3) a. Montrer que la fonction f est continue sur ]0,+∞[ b. Tracer la droite (Δ) et la courbe

(C)

dans le repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

On admet que I(1,6 ; 1,4) est l’unique point d’inflexion de la courbe (

C

) et

(C)

coupe (Δ) en deux points exactement N(4,2 ; 4,2) et M(1 ; 1) c. Déduire à partir de la représentation graphique que f(x) ≤ x sur [1 ; e] 4) Soit la fonction

h

la restriction de la fonction f sur ]0,1] b. Montrer que

h

admet une fonction réciproque

h^{- 1}

définie sur un intervalle J que l’on précisera. c. Construire dans le même repère la courbe représentative de

h^{- 1}

5) a. Montrer que :

\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x = \frac{1}{2}

b. En utilisant une intégration par parties, montrer que:

\int_{1}^{e} x l n (x) d x = \frac{e^{2} + 1}{4}

c) Montrer que l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les deux droites d’équations: x=1 et x=e est égale à:

\frac{- e^{2} + 8 e - 3}{4}

cm² ( on pourra utiliser la question précédente et la question II-1) a. III- on considère la suite numérique

(u_{n})

définie par:

u_{0} = 2

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout n de IN 1) Montrer que

1 \leq u_{n} \leq e

pour tout n de IN ( on pourra utiliser la question II-2) b. 2) Montrer que la suite

(u_{n})

est décroissante. ( on pourra utiliser la question II-3) c. 3) En déduire que

(u_{n})

est convergente puis déterminer sa limite.

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