Examen Bac 2 2020 Math Préparation 14

Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Calcul Intégrale (2 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )

* Suite Numérique (3 points )
On considere la suite $(u_{n})_{n ∊ N}$ définie par:
${\begin{cases} u_{0} = 21 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{20} u_{n} + \frac{19}{20}; (\forall n ∊ N) \end{cases} .$
1. (a) Vérifier que: $(\forall n ∊ N), u_{n + 1} - 1 = \frac{1}{20} (u_{n} - 1)$
(b) Montrer par récurrence, que: $(\forall n ∊ N), u_{n} \geq 1$
2. (a) Vérifier que: $(\forall n ∊ N), u_{n + 1} - u_{n} = \frac{19}{20} (1 - u_{n})$
(b) Montrer que $(u_{n})_{n ∊ N}$ est converyente.
3. On considère la suite $(v_{n})_{n ∊ N}$ définie par:
$v_{n} = \frac{20}{u_{n} - 1}, (\forall n ∊ N)$
(a) Montrer que $(v_{n})_{nex}$ est géométrique
de raison 20 puis en déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$
(b) Montrer que; $u_{n} = 20 (\frac{1}{20} + (\frac{1}{20})^{n}) (\forall n ∊ N)$
(c) Calculer $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$

* Nombre Complexe (5 points )
1. Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation(E):

$z^{2} - \sqrt{2} z + 1 = 0$

On considère dans le plan complexe (

P

)
rapporte a un repère orthonormé direct

(O, \bar{u}, \vec{v})

les points

A, B

C

d’affixes respectives;

a = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i; b = \sqrt{2} + 1 + i

c = \bar{b}

2. Montrer que:

\arg (a) \equiv \frac{π}{4} [2 π]

3. soit

R

la rotation de centre

O

e d’angle

\frac{π}{4}

B

limage de

C

par la rotation

R

.
(a) Montrer que:

b = a c

(b) Déduire que

\arg (b) \equiv \frac{1}{2} \arg (a) [2 π],

et montrer que

| b | = \sqrt{2 (\sqrt{2} + 2)}

b^{4} = 4 (\sqrt{2} + 2)^{2} i

4. On considère le point

D

d’affixe

d = \sqrt{2}

a) Vérifier que:

b - d = i (c - d)

b) Déduire que:

D B = D C

puis déterminer la mesure de langle

(\hat{D C, \vec{D B}})

B D C

* Calcul Intégrale (2 points )
On considère les deux intégrales suivantes:

I = \int_{0}^{\ln (2)} \frac{3 c^{x} + 2}{e^{x} + 1} d x

J = \int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{2 x} + 3 e^{x} + 1}{e^{x} + 1} d x

1. a) Vérifier que:

I - J =∊ t_{0}^{\ln (2)} 1 - e^{x} d x

b) Déduire que:

I - J = \ln (2) - 1

2. Vérifier que:

(\forall x ∊ R) \frac{e^{2 x} + 3 e^{x} + 1}{e^{x} + 1} = e^{x} + 1 + \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

3. Montrer que:

J = 1 + \ln (3)

et en déduire la valeur de

I

* Etude d’une fonction numérique (10 points )
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction $g$ définie sur $I R$ par:

g (x) = e^{x} - 1 + x

1. Étudier le signe de

. e^{x} - 1

sur les deux intervalles]-∞, 0] et [0 ;+∞[

2. Montrer que ∀ x ∊]-∞,0]: g(x) ≤ 0 et que ∀ x ∊[0 ;+∞[ g(x)≥ 0

Partie II:
On considère la fonction

f

définie sur

R

par:

f (x) = \frac{1 - e^{x} + x e^{x}}{e^{x} + 1}

(C_{f})

sa courbe dans un repère orthonormé

(o, \vec{i}, \vec{j})

tel que:

(‖ \vec{i} | = | | \vec{j} | | = 1 c m)

1. Montrer que:

lim_{x ➝ - \infty} f (x) = 1

puis interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Vérifier que:

(\forall x ∊ R) f (x) = \frac{x + e^{- x} - 1}{e^{- x} + 1}

b) Calculer

lim_{x ➝ + \infty} f (x)

3. Soit

(Δ)

la droite d’équation

y = x - 1

a) Vérifier que:

(\forall x ∊ R) f (x) - y = \frac{(2 - x) e^{- x}}{e^{- x} + 1}

b) Montrer que:

(Δ)

est une asymptote oblique a

(C_{f})

au voisinage de

+ \infty

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de

(C_{f})

(Δ)

d) Montrer que:

(C_{f})

est au dessous de

(Δ)

sur 1 ‘intervalle ]2,+∞[

et au dessus de

(Δ)

sur l’intervalle ]-∞, 2[.
4.a) Montrer que:

(\forall x ∊ R) f ‘ (x) = \frac{e^{x} g (x)}{(e^{x} + 1)^{2}}

b) Montrer que:

f

est croissante sur l’intervalle [0,+∞[ et décroissante sur l’intervalle ]-∞, 0[
c) Donner le tableau de variation de la fonction

f

5. Soit

(D)

la droite d’équation

y = x

.
a) Vérifier que:

(\forall x ∊ R) x - f (x) = \frac{g (x)}{e^{x} + 1}

b) Montrer que:

(C_{f})

est au dessous de la droite

(D)

sur l’intervalle [0,+∞[

6. a) Montrer que:

la fonction

f

admet sur l’intervalle [0,+∞[ une fonction réciproque

f^{- 1}

définie sur un intervalle

J

que l’on détermine.
b) Montrer que:

(f^{- 1}) ‘ (1) = 1 + \frac{1}{e^{2}}

7. Construire

(C_{f}), (C_{f^{- 1}})

et les deux droites

(Δ)

(D)

dans le reπre

(o, \vec{i}, \vec{j})

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