Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Calcul Intégrale (2 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
* Suite Numérique (3 points )
On considere la suite \((u_{n})_{n ∊N }\) définie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=21 \\ u_{n+1}=\frac{1}{20} u_{n}+\frac{19}{20} ;(∀ n ∊N )\end{array}.\)
1. (a) Vérifier que: \((∀ n ∊N ), u_{n+1}-1=\frac{1}{20}(u_{n}-1)\)
(b) Montrer par récurrence, que: \((∀ n ∊N ), u_{n}≥ 1\)
2. (a) Vérifier que: \((∀ n ∊N ), u_{n+1}-u_{n}=\frac{19}{20}(1-u_{n})\)
(b) Montrer que \((u_{n})_{n ∊N }\) est converyente.
3. On considère la suite \((v_{n})_{n ∊N }\) définie par:
\(v_{n}=\frac{20}{u_{n}-1},(∀ n ∊N )\)
(a) Montrer que \((v_{n})_{\text {nex }}\) est géométrique
de raison 20 puis en déterminer \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
(b) Montrer que; \(u_{n}=20(\frac{1}{20}+(\frac{1}{20})^{n})(∀ n ∊N)\)
(c) Calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
* Nombre Complexe (5 points )
1. Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation(E):
\( z^{2}-\sqrt{2} z+1=0\)
rapporte a un repère orthonormé direct \((O, \bar{u}, \vec{v})\)
les points \(A, B\) et \(C\) d’affixes respectives;
\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i ; \quad b=\sqrt{2}+1+i\)
et \(c=\bar{b}\)
2. Montrer que: \(\arg (a) \equiv \frac{π}{4}[2 π]\)
3. soit \(R\) la rotation de centre \(O\) e d’angle \(\frac{π}{4}\)
et \(B\) limage de \(C\) par la rotation \(R\).
(a) Montrer que: \(b=a c\)
(b) Déduire que \(\arg (b) \equiv \frac{1}{2} \arg (a)[2 π],\)
et montrer que \(|b|=\sqrt{2(\sqrt{2}+2)}\)
(c) En déduire que; \(b^{4}=4(\sqrt{2}+2)^{2} i\)
4. On considère le point \(D\) d’affixe \(d=\sqrt{2}\)
a) Vérifier que: \(b-d=i(c-d)\)
b) Déduire que: \(D B=D C\)
puis déterminer la mesure de langle \((\widehat{D C, \overrightarrow{DB}})\)
(c) En déduire la nature du triangle \(B D C\).
On considère les deux intégrales suivantes:
\(I=\int_{0}^{\ln (2)} \frac{3 c^{x}+2}{e^{x}+1} dx \) et \(J=\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{2 x}+3 e^{x}+1}{e^{x}+1} dx\)
b) Déduire que: \(I-J=\ln (2)-1\)
2. Vérifier que:
\((∀ x ∊R ) \frac{e^{2 x}+3 e^{x}+1}{e^{x}+1}=e^{x}+1+\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)
3. Montrer que:
\(J=1+\ln (3)\) et en déduire la valeur de \(I\).
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction \(g\) définie sur \(IR\) par:
1. Étudier le signe de \(.e^{x}-1\) sur les deux intervalles]-∞, 0] et [0 ;+∞[
On considère la fonction \(f\) définie sur \(R\) par:
\(f(x)=\frac{1-e^{x}+x e^{x}}{e^{x}+1}\)
\((C_{f})\) sa courbe dans un repère orthonormé \((o, \vec{i}, \vec{j})\)
1. Montrer que:
2. a) Vérifier que:
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
3. Soit \((Δ)\) la droite d’équation \(y=x-1\)
a) Vérifier que: \((∀ x ∊R ) f(x)-y=\frac{(2-x) e^{-x}}{e^{-x}+1}\)
b) Montrer que:
c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \((C_{f})\) et \((Δ)\)
d) Montrer que:
4.a) Montrer que:
b) Montrer que:
c) Donner le tableau de variation de la fonction \(f\)
5. Soit \((D)\) la droite d’équation \(y=x\).
a) Vérifier que: \((∀ x ∊R ) x-f(x)=\frac{g(x)}{e^{x}+1}\)
b) Montrer que:
b) Montrer que: \((f^{-1}) ‘ (1)=1+\frac{1}{e^{2}}\)