Examen Bac 2 2020 Math Préparation 14
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Calcul Intégrale (2 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
* Suite Numérique (3 points )
On considere la suite ((u_{n})_{n ∊N }) définie par:
({begin{array}{l}u_{0}=21 \ u_{n+1}=frac{1}{20} u_{n}+frac{19}{20} ;(∀ n ∊N )end{array}.)
1. (a) Vérifier que: ((∀ n ∊N ), u_{n+1}-1=frac{1}{20}(u_{n}-1))
(b) Montrer par récurrence, que: ((∀ n ∊N ), u_{n}≥ 1)
2. (a) Vérifier que: ((∀ n ∊N ), u_{n+1}-u_{n}=frac{19}{20}(1-u_{n}))
(b) Montrer que ((u_{n})_{n ∊N }) est converyente.
3. On considère la suite ((v_{n})_{n ∊N }) définie par:
(v_{n}=frac{20}{u_{n}-1},(∀ n ∊N ))
(a) Montrer que ((v_{n})_{text {nex }}) est géométrique
de raison 20 puis en déterminer (v_{n}) en fonction de (n)
(b) Montrer que; (u_{n}=20(frac{1}{20}+(frac{1}{20})^{n})(∀ n ∊N))
(c) Calculer (lim _{n➝+∞} u_{n})
* Nombre Complexe (5 points )
1. Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation(E):
( z^{2}-sqrt{2} z+1=0)
On considère dans le plan complexe ( (mathscr{P}) )
rapporte a un repère orthonormé direct ((O, bar{u}, vec{v}))
les points (A, B) et (C) d’affixes respectives;
(a=frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2} i ; quad b=sqrt{2}+1+i)
et (c=bar{b})
2. Montrer que: (arg (a) equiv frac{π}{4}[2 π])
3. soit (R) la rotation de centre (O) e d’angle (frac{π}{4})
et (B) limage de (C) par la rotation (R).
(a) Montrer que: (b=a c)
(b) Déduire que (arg (b) equiv frac{1}{2} arg (a)[2 π],)
et montrer que (|b|=sqrt{2(sqrt{2}+2)})
(c) En déduire que; (b^{4}=4(sqrt{2}+2)^{2} i)
4. On considère le point (D) d’affixe (d=sqrt{2})
a) Vérifier que: (b-d=i(c-d))
b) Déduire que: (D B=D C)
puis déterminer la mesure de langle ((widehat{D C, overrightarrow{DB}}))
(c) En déduire la nature du triangle (B D C).
* Calcul Intégrale (2 points )
On considère les deux intégrales suivantes:
(I=int_{0}^{ln (2)} frac{3 c^{x}+2}{e^{x}+1} dx ) et (J=int_{0}^{ln (2)} frac{e^{2 x}+3 e^{x}+1}{e^{x}+1} dx)1. a) Vérifier que: (I-J=∊t_{0}^{ln (2)} 1-e^{x} d x)
b) Déduire que: (I-J=ln (2)-1)
2. Vérifier que:
((∀ x ∊R ) frac{e^{2 x}+3 e^{x}+1}{e^{x}+1}=e^{x}+1+frac{e^{x}}{e^{x}+1})
3. Montrer que:
(J=1+ln (3)) et en déduire la valeur de (I).
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction (g) définie sur (IR) par:
(g(x)=e^{x}-1+x)
1. Étudier le signe de (.e^{x}-1) sur les deux intervalles]-∞, 0] et [0 ;+∞[2. Montrer que ∀ x ∊]-∞,0]: g(x) ≤ 0 et que ∀ x ∊[0 ;+∞[ g(x)≥ 0 Partie II:
On considère la fonction (f) définie sur (R) par:
(f(x)=frac{1-e^{x}+x e^{x}}{e^{x}+1})
((C_{f})) sa courbe dans un repère orthonormé ((o, vec{i}, vec{j})) tel que: ((| vec{i}|=||vec{j}| |=1 c m))
1. Montrer que: (lim _{x➝-∞} f(x)=1) puis interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Vérifier que: ((∀ x ∊R ) quad f(x)=frac{x+e^{-x}-1}{e^{-x}+1})
b) Calculer (lim _{x➝+∞} f(x))
3. Soit ((Δ)) la droite d’équation (y=x-1)
a) Vérifier que: ((∀ x ∊R ) f(x)-y=frac{(2-x) e^{-x}}{e^{-x}+1})
b) Montrer que: ((Δ)) est une asymptote oblique a ((C_{f})) au voisinage de (+∞)
c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ((C_{f})) et ((Δ))
d) Montrer que: ((C_{f})) est au dessous de ((Δ)) sur 1 ‘intervalle ]2,+∞[ et au dessus de ((Δ)) sur l’intervalle ]-∞, 2[.
4.a) Montrer que:((∀ x ∊R ) f ‘(x)=frac{e^{x} g(x)}{(e^{x}+1)^{2}})
b) Montrer que: (f) est croissante sur l’intervalle [0,+∞[ et décroissante sur l’intervalle ]-∞, 0[
c) Donner le tableau de variation de la fonction (f)
5. Soit ((D)) la droite d’équation (y=x).
a) Vérifier que: ((∀ x ∊R ) x-f(x)=frac{g(x)}{e^{x}+1})
b) Montrer que: ((C_{f})) est au dessous de la droite ((D)) sur l’intervalle [0,+∞[6. a) Montrer que: la fonction (f) admet sur l’intervalle [0,+∞[ une fonction réciproque (f^{-1}) définie sur un intervalle (J) que l’on détermine.
b) Montrer que: ((f^{-1}) ‘ (1)=1+frac{1}{e^{2}})7. Construire ((C_{f}),(C_{f^{-1}})) et les deux droites ((Δ)) et ((D)) dans le reπre ((o, vec{i}, vec{j})) Télécharger Fichier PDF Gratuit
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