Examen Bac 2 2020 Math Préparation 04

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 04

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:

* Suite Numérique (3 points )

* Nombres complexes (3 points )

* Fonction Logarithme et Exponentiel (3 points )

* Etude d’une fonction numérique (11 points )

* Suite Numérique (3 points )

Soit

(U_{n})

la suite numérique définie par:

${\begin{cases} U_{0} = 13 \\ U_{n + 1} = \frac{1}{5} U_{n} + \frac{4}{5} \end{cases}; \forall n \in N$

1) Démontrer par récurrence que ∀ n ∈IN :

U_{n} > 1

2) Montrer que la suite

(U_{n})

est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.

3) On considère la suite

(V_{n})

telle que ∀ n ∈IN :

$V_{n}=\ln \(U_{n}-1)$

a) Montrer que la suite

(V_{n})

est arithmétique

dont on précisera sa raison et le premier terme

V_{0}

b) Exprimer

V_{n}

en fonction de n.

c) En déduire que ∀ n ∈IN :

U_{n} = 1 + \frac{12}{5^{n}}

4) Calculer

lim_{n ➝ + \infty} U_{n}

5) On pose pour tout n ∈IN :

P_{n} = (U_{0} - 1 \times (U_{1} - 1) \times \dots . \times (U_{n} - 1)

Montrer que ∀ n ∈IN : $P_{n} = (\frac{12}{5^{\frac{n}{2}}})^{n + 1}$ .

* Nombre Complexe (3 points )

1) Résoudre dans l’ensemble $C$ l’équation : $z^{2} - 2 z + 4 = 0$
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$
Les points A,B et C d’affixes respectives: $z_{A} = 4; z_{B} = 1 + i \sqrt{3}; z_{C} = 1 - i \sqrt{3}$
2) a) Montrer que $\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$
b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe $\frac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}},$
puis en déduire la nature du triangle ABC.
3) Soit M ‘ (z’) image du point M(z) par la rotation $R$ de centre O et d’angle $\frac{2 π}{3}$
a) Montrer que $z ‘ = (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) z$
b) Vérifier que d =-2 est l’affixe du point D image du point B par la rotation $R$
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC.
d) Montre que $(\frac{z_{B}}{2})^{2019} + (\frac{z c}{2})^{2022}$ est un nombre réel
4) Déterminer l’ensemble des point M d’affixe z telle que : $| z - 1 + i \sqrt{3} | = | z - 1 - i \sqrt{3} |$ .

* Fonctions logarithme et exponentielle ( 3 points )

1) Résoudre dans $R$ les équations suivantes:
E1: ln (x-2)+ln (x+2)=ln (45)
E2: $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) (1-ln x) ln (x+1) ≥ 0
b) $(e^{x} - 1) (e^{x} + 3) \leq 0$
3) Calculer les limites suivantes:
a) $lim_{x ➝ + \infty} x - l n x$
b) $lim_{\binom{x ➝ 0}{x > 0}} \frac{1}{x} + \ln x$
c) $lim_{x ➝ 0} \frac{e^{x + 1} - e}{x}$
4) Simplifier les expressions suivantes:
A= $e^{\ln (a)} + \ln (3 e^{a}) + \ln (\frac{1}{3}) - \ln (e^{2 a})$
B= $l n (\frac{e^{3 s i n^{2} (x)}}{e^{- 3 c o s^{2} (x)}} \times e^{- 2})$

* Etudes de Fonctions ( 11 points )

* Partie I

Soit g la fonction numérique définie sur] 0,+∞[ par : g(x)=-x²+1-lnx.
1) Montrer que pour tout x∈] 0,+∞[: g ‘(x)=-2x+\(\frac{1}{x})\

2) a) Calculer g(1)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction g
( on donne

lim_{x ➝ 0^{+}} g (x) = + \infty

lim_{x ➝ + \infty} g (x) = - \infty

c) En déduire que ∀ x∈] 0,1] : g(x) ≥ 0 et ∀ x∈[1,+∞[ : g(x) ≤ 0.

* Partie II

On considère la fonction numérique

f

définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par:

f (x) = - \frac{1}{2} x + 3 + \frac{\ln x}{2 x}

Soit

(C_{f})

la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

(unité: 2cm )

1) Montrer que

lim_{\binom{x ➝ 0}{x > 0}} f (x) = - \infty

et interpréter géométriquement le résultat.

2) a) Montrer que

lim_{x ➝ + \infty} f (x) = - \infty

b) Montrer que la droite (D) d’équation

y = - \frac{1}{2} x + 3

est une asymptote oblique à

(C_{f})

au voisinage de +∞

3) a) Montrer que \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{2 x^{2}} pour tout x appartenant à] 0,+∞[

b) Calculer f ‘(1) et interpréter géométriquement le résultat.

c) En déduire que f est strictement croissante sur ] 0,1] et strictement décroissante sur [1,+∞[

puis dresser le tableau de variation de f pour tout x∈] 0,+∞[

4) Etudier la position relative de la courbe

(C_{f})

par rapport à la droite (D)

5) Construire dans le même repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

la droite (D) et la courbe

(C_{f})

* Partie III

1) Montrer que la fonction x⟶

\frac{1}{2} l n ² (x)

est une fonction primitive de la fonction

x⟶

\frac{\ln x}{x}

sur l’intervalle ] 0,+∞[

2) Calculer en cm² l’aire du domine plan limité par la courbe

(C_{f})

I’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e.

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