Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 04 Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Suite Numérique (3 points )* Nombres complexes (3 points )* Fonction Logarithme et Exponentiel (3 points )* Etude d’une fonction numérique (11 points ) * Suite Numérique (3 points )Soit ((U_{n})) la suite numérique définie par:
(left{begin{array}{l}U_{0}=13 \ U_{n+1}=frac{1}{5} U_{n}+frac{4}{5} end{array} ; forall n in N right.)
1) Démontrer par récurrence que ∀ n ∈IN : (U_{n}>1)2) Montrer que la suite ((U_{n})) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.3) On considère la suite (left(V_{n}right)) telle que ∀ n ∈IN : (V_{n}=ln (U_{n}-1))a) Montrer que la suite ((V_{n})) est arithmétique dont on précisera sa raison et le premier terme (V_{0})b) Exprimer (V_{n}) en fonction de n.c) En déduire que ∀ n ∈IN : (U_{n}=1+frac{12}{5^{n}})4) Calculer (lim _{n➝+∞} U_{n})5) On pose pour tout n ∈IN : (P_{n}=(U_{0}-1×(U_{1}-1)×….×(U_{n}-1))
Montrer que ∀ n ∈IN : (P_{n}=(frac{12}{5^{frac{n}{2}}})^{n+1}).
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble (C) l’équation : (z^{2}-2 z+4=0)
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j}))
Les points A,B et C d’affixes respectives: (z_{A}=4 ; z_{B}=1+i sqrt{3} ; z_{C}=1-i sqrt{3})
2) a) Montrer que (frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2})
b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe (frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}},)
puis en déduire la nature du triangle ABC.
3) Soit M ‘ (z’) image du point M(z) par la rotation (R) de centre O et d’angle (frac{2 pi}{3})
a) Montrer que (z ‘ =(-frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}) z)
b) Vérifier que d =-2 est l’affixe du point D image du point B par la rotation (R)
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC.
d) Montre que ((frac{z_{B}}{2})^{2019}+(frac{z c}{2})^{2022}) est un nombre réel
4) Déterminer l’ensemble des point M d’affixe z telle que : (|z-1+i sqrt{3}|=|z-1-i sqrt{3}|).
* Fonctions logarithme et exponentielle ( 3 points )
1) Résoudre dans (R) les équations suivantes:
E1: ln (x-2)+ln (x+2)=ln (45)
E2: (e^{2 x}-5 e^{x}+6=0)
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) (1-ln x) ln (x+1) ≥ 0
b) ((e^{x}-1)(e^{x}+3) ≤ 0)
3) Calculer les limites suivantes:
a) (lim _{x➝+∞} x-ln x)
b) (lim _{x➝0 atop x>0} frac{1}{x}+ln x)
c) (lim _{x➝0} frac{e^{x+1}-e}{x})
4) Simplifier les expressions suivantes:
A=(e^{ln (a)}+ln (3 e^{a})+ln (frac{1}{3})-ln(e^{2 a}))
B=(ln (frac{e^{3 sin ^{2}(x)}}{e^{-3 cos ^{2}(x)}}× e^{-2}))
* Etudes de Fonctions ( 11 points ) * Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur] 0,+∞[ par : g(x)=-x²+1-lnx.
1) Montrer que pour tout x∈] 0,+∞[: g ‘(x)=-2x+(frac{1}{x})
2) a) Calculer g(1)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction g
( on donne (lim _{x➝0^{+}} g(x)=+∞) et (lim _{x➝+∞} g(x)=-∞)
c) En déduire que ∀ x∈] 0,1] : g(x) ≥ 0 et ∀ x∈[1,+∞[ : g(x) ≤ 0. * Partie IIOn considère la fonction numérique (f) définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par:(f(x)=-frac{1}{2} x+3+frac{ln x}{2 x})Soit ((C_{f})) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé((O,vec{i},vec{j})) (unité: 2cm )1) Montrer que (lim _{x➝0 atop x>0} f(x)=-∞) et interpréter géométriquement le résultat.2) a) Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x)=-∞)b) Montrer que la droite (D) d’équation (y=-frac{1}{2} x+3) est une asymptote oblique à ((C_{f})) au voisinage de +∞3) a) Montrer que (f ‘(x)=frac{g(x)}{2 x^{2}} pour tout x appartenant à] 0,+∞[b) Calculer f ‘(1) et interpréter géométriquement le résultat.c) En déduire que f est strictement croissante sur ] 0,1] et strictement décroissante sur [1,+∞[puis dresser le tableau de variation de f pour tout x∈] 0,+∞[4) Etudier la position relative de la courbe ((C_{f})) par rapport à la droite (D)5) Construire dans le même repère ((O, vec{i}, vec{j})) la droite (D) et la courbe ((C_{f})). * Partie III1) Montrer que la fonction x⟶(frac{1}{2} ln²(x)) est une fonction primitive de la fonction x⟶ (frac{ln x}{x}) sur l’intervalle ] 0,+∞[2) Calculer en cm² l’aire du domine plan limité par la courbe ((C_{f})) I’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e.
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