Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction Logarithme et Exponentiel (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique (3 points )
Soit \((U_{n})\) la suite numérique définie par:
\(\left\{\begin{array}{l}U_{0}=13 \\ U_{n+1}=\frac{1}{5} U_{n}+\frac{4}{5} \end{array} ; \forall n \in N \right.\)
1) Démontrer par récurrence que ∀ n ∈IN : \(U_{n}>1\)
2) Montrer que la suite \((U_{n})\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
3) On considère la suite \(\left(V_{n}\right)\) telle que ∀ n ∈IN :
\(V_{n}=\ln \(U_{n}-1)\)
a) Montrer que la suite \((V_{n})\) est arithmétique
dont on précisera sa raison et le premier terme \(V_{0}\)
b) Exprimer \(V_{n}\) en fonction de n.
c) En déduire que ∀ n ∈IN : \(U_{n}=1+\frac{12}{5^{n}}\)
4) Calculer \(\lim _{n➝+∞} U_{n}\)
5) On pose pour tout n ∈IN : \(P_{n}=(U_{0}-1×(U_{1}-1)×….×(U_{n}-1)\)
Montrer que ∀ n ∈IN : \(P_{n}=(\frac{12}{5^{\frac{n}{2}}})^{n+1}\).
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble \(C\) l’équation : \(z^{2}-2 z+4=0\)
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
Les points A,B et C d’affixes respectives: \(z_{A}=4 ; z_{B}=1+i \sqrt{3} ; z_{C}=1-i \sqrt{3}\)
2) a) Montrer que \(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe \(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}},\)
puis en déduire la nature du triangle ABC.
3) Soit M ‘ (z’) image du point M(z) par la rotation \(R\) de centre O et d’angle \(\frac{2 \pi}{3}\)
a) Montrer que \(z ‘ =(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}) z\)
b) Vérifier que d =-2 est l’affixe du point D image du point B par la rotation \(R\)
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC.
d) Montre que \((\frac{z_{B}}{2})^{2019}+(\frac{z c}{2})^{2022}\) est un nombre réel
4) Déterminer l’ensemble des point M d’affixe z telle que : \(|z-1+i \sqrt{3}|=|z-1-i \sqrt{3}|\).
* Fonctions logarithme et exponentielle ( 3 points )
1) Résoudre dans \(R\) les équations suivantes:
E1: ln (x-2)+ln (x+2)=ln (45)
E2: \(e^{2 x}-5 e^{x}+6=0\)
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) (1-ln x) ln (x+1) ≥ 0
b) \((e^{x}-1)(e^{x}+3) ≤ 0\)
3) Calculer les limites suivantes:
a) \(\lim _{x➝+∞} x-ln x\)
b) \(\lim _{x➝0 \atop x>0} \frac{1}{x}+\ln x\)
c) \(\lim _{x➝0} \frac{e^{x+1}-e}{x}\)
4) Simplifier les expressions suivantes:
A=\(e^{\ln (a)}+\ln (3 e^{a})+\ln (\frac{1}{3})-\ln(e^{2 a})\)
B=\(ln (\frac{e^{3 sin ^{2}(x)}}{e^{-3 cos ^{2}(x)}}× e^{-2})\)
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
* Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur] 0,+∞[ par : g(x)=-x²+1-lnx.
1) Montrer que pour tout x∈] 0,+∞[: g ‘(x)=-2x+\(\frac{1}{x})\
2) a) Calculer g(1)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction g
( on donne \(\lim _{x➝0^{+}} g(x)=+∞\) et \(\lim _{x➝+∞} g(x)=-∞\)
c) En déduire que ∀ x∈] 0,1] : g(x) ≥ 0 et ∀ x∈[1,+∞[ : g(x) ≤ 0.
* Partie II
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur l’intervalle ] 0,+∞[ par:
\(f(x)=-\frac{1}{2} x+3+\frac{\ln x}{2 x}\)
Soit \((C_{f})\) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé
\((O,\vec{i},\vec{j})\) (unité: 2cm )
1) Montrer que \(\lim _{x➝0 \atop x>0} f(x)=-∞\) et interpréter géométriquement le résultat.
2) a) Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x)=-∞\)
b) Montrer que la droite (D) d’équation \(y=-\frac{1}{2} x+3\) est une asymptote oblique à \((C_{f})\) au voisinage de +∞
3) a) Montrer que \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{2 x^{2}} pour tout x appartenant à] 0,+∞[
b) Calculer f ‘(1) et interpréter géométriquement le résultat.
c) En déduire que f est strictement croissante sur ] 0,1] et strictement décroissante sur [1,+∞[
puis dresser le tableau de variation de f pour tout x∈] 0,+∞[
4) Etudier la position relative de la courbe \((C_{f})\) par rapport à la droite (D)
5) Construire dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) la droite (D) et la courbe \((C_{f})\).
* Partie III
1) Montrer que la fonction x⟶\(\frac{1}{2} ln²(x)\) est une fonction primitive de la fonction
x⟶ \(\frac{\ln x}{x}\) sur l’intervalle ] 0,+∞[
2) Calculer en cm² l’aire du domine plan limité par la courbe \((C_{f})\) I’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e.
