* Exercice 1
Soit \((u_{n})\) une suite numérique définie par:
\(u_{0}=2\) et \(u_{n+1}=\frac{5 u_{n}-3}{u_{n}+1}\)
1) Montrer que ∀ n∈IN: \(1<u_{n} ≤ 3\)
2) i) – Vérifie que: \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}-1)(3 )}{u_{n}+1},\) puis déduit la monotonie de \((u_{n})\)
\(\ddot{ { II }}\) Montrer que : \(∀ n ∈N , 2 ≤ u_{n} ≤ 3\)
Partie 1:
I) Montrer que ∀ n∈IN:
\(\frac{-}{2}(3-u_{n}) ≤ 3-u_{n+1} ≤ \frac{2}{3}(3-u_{n})\)
2) Déduit que ∀ n∈IN: \((\frac{1}{2})^{n} ≤ 3-_{n} ≤(-\frac{ }{3})\)
3) Calculer \(\lim _{x➝+∞} u_{n}\)
Partie 2:
Soit \((v_{n})\) une suite définie sur IN par:
\(v_{n}=\frac{3-u_{n}}{u_{n}-1}\)
I) Montrer que ∀ n∈IN: \((v_{n})\)et géométrique de raison \(q=\frac{1}{2},\)
puis exprimer \((v_{n})\) en fonction de n
2) Déduite que:
\(u_{n}=\frac{3+(\frac{1}{2})^{n}}{1+(\frac{1}{2})^{n}},\) puis calculer sa limite \(\lim _{x➝+∞} u_{n}\)
3) Trouver la plus petit valeur de n qui vérifie que : \(u_{n}>2,99\)
4) Calculer les deux sommes suivant:
* \(S_{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n}\)
* \(T_{n}=\frac{1}{u_{0}-1}+\frac{1}{u_{1}-1}+…+\frac{1}{u_{n}-1}\)
5) Calculer \(\lim _{x➝+∞} w_{n},\)
sachant que \((w_{n})\) est la suite définie par \(w_{n}=\ln (u_{n})\) pour tout \(n ∈N\)
Partie 3:
Soit la suite \((u_{n})\) définie par:
\(u_{1}=-4\) et ∀ n ∈IN*:\(u_{n+1}=\frac{3 u_{n}+}{1-u_{n}}\)
1. Montrer que ∀ n ∈IN*: \( u_{n}<-1\)
2. Montrer que: \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}+1)}{1-u_{n}}\)
et déduit que la suite \((u_{n})\) est croissant puis déduit que \((u_{n})\) est convergent
3. Soit \((v_{n})\) une suite définie par ∀ n ∈IN *:
\( v_{n}=\frac{2 u_{n}-}{u_{n}+1}\)
3.1 Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison \(r=3\)
3.2 Montrer que∀ n ∈IN *: \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+}{3 v_{n}+2}\)
puis exprimer \((v_{n})\) et \((u_{n})\) en fonction de n.
3.3 Trouver la petite valeur de n qui vérifier \(u_{n}>-1.06\)
3.4 Calculer les sommes suivant :
\(S_{n} ‘=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n}\)
\(T_{n} ‘=\frac{1}{u_{2}-1}+\frac{1}{u_{1}-1}+….+\frac{1}{u_{n-2}-1}\)
* Problème 1 : étude de fonction logarithme
I.
I) Montrer que g ‘(x)=lnx pour tout de ] 0,+∞[,
puis déduite que g et décroissant sur] 0,1]et croissant sur [1,+∞[
2) Calculer g(1) puis montrer que \(g(x)≥ sur ]0,+∞\)
3) \(D\) après le graphe \(C g\) déduite le signe de \(g\)
\(\{\begin{array}{l} f(x)=\frac{-3}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x \ln x+x, x>0 \\ f(0)=0\end{array}\)
et \(C_{f}\) sa courbe dans le plan \((o,\vec{l}, \vec{j})\)
1. Calculer f(e²)puis montrer que \(f\) et continue adroit en 0.
2. Calculer lim_\(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
puis déduite que \(f\) et dérivable adroit en 0
et donner une interprétation graphique
2.1. Calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim_{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis déduit que \(C_{f}\) admet une branche parabolique
au voisinage de +∞ sa direction a déterminer.
3.1. Montrer que ∀ x∊]0,+∞[: f ‘(x)=g(x)
et montrer que f et croissant sur [0,+∞[.
3.2. Calculer (f ‘(1) et donner une interprétation graphique
4.1. puis déduite que \(C_{f}\) admet un point d’inflexion
en déterminant ses cordonner
4.2.Tracer \(C_{f}\) dans un plan
5.1. trouver une primitive de h: x➝ x² par une intégration par partie,
puis calculer \(\int_{e}^{e^{2}} f(x) d x\)
6.1. Montrer que:\(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\)
sur I=[0,3[ vers \(J\) a déterminé.
6.2. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f^{-1}\) sur Intervalle \(J\)
6.3. Calculer \(f(1)\) purs calculer \((f^{-1}) ‘(\frac{1}{4})\)
6.4. Tracer \(Cf ^{-1}\) dans le même plan
* Problème 2: étude de fonction logarithme
I.
1.1. Montrer que: ∀ x∈] 0,+∞[: \(g'(x)=\frac{2(x-1+lnx)}{x}\)
1.2. Montrer que: (x-1) et lnx on le même signe sur ]0,+∞[.
1.3. Etudier la monotonie de la fonction g sur ]0,+∞[
puis dresser son tableau de variation
1.4.Déduite que ∀ x∈] 0,+∞[: g(x)≥0.
\(\{\begin{array}{l}f(x)=x^{2}+2x-4xln x+x(lnx)^{2}, x>0 \\ f(0)=0\end{array}\)
1.1. Montrer que: \(\lim_{x➝ 0^{+}} x(ln x)^{2}=0\)
(on peut poser \(\sqrt{x}=t\) )
1.2. Montrer que: \(f\) est une fonction continue à droite de 0.
1.3. Étudie la dérivabilité de f en \(x_{0}=0\) droit,
puis donner une interprétation graphique.
2.1. montrer que: \(\lim_{x➝+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\)
(on peut poser \(\sqrt{x}=t\) ), puis calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\)
2.2. montrer que \(C_{f}\) admet une branche parabolique au voisinage de +∞
3.1. montrer que ∀ x∈] 0,+∞[: f ‘(x)=g(x).
3.2. calculer \(f ‘\) (1):
étudie la monotonie de \(f\) puis dresser son tableau de variation
4.1. déterminer le point d’inflexion de (C_{f}\).
5.1.soit h la restreint de la fonction f sur [0,+∞[ montrer que:
\(h\) admet une fonction réciproque nome \(h^{-1}\)
en déterminant son domaine.
5.2. déduit la variation de la fonction réciproque sur J
puis dresser son tableau de variation.
6.1. tracer \(C_{f}\) et \(C_{h}^{-1}\) dans le même plan
6.2. Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=m\)
avec m est un paramètre réel
* Problème 3: étude de fonction logarithme
I.
1- calculer \(\lim _{x➝+∞} g(x)\) et \(\lim _{x➝ 0^{-}} g(x)\)
2- a- vérifie que \(f\) est dérivable sur \(R ^{*+}\)
b- dresser le tableau de variation de \(g\)
3- en déduit que : \(∀ x∈R ^{*+}: g(x)>0\)
\(\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x}{1+x \ln x}, x 0 \\ f(0)=0\end{array}.\)
1- a- montrer que \(f\) est continue a droit en 0
b- montrer que \(f\) est dérivable a droit en 0 et donne une interprétation graphique
2- a- vérifier que \(∀ x>0: f(x)=\frac{1}{\frac{1}{x}+\ln x}\)
b- calculer \(\lim _{n➝+∞} f(x)\) et donner une interprétation graphique
3- a- montrer que \(∀ x>0: f ‘(x)=\frac{1-x}{(1+x \ln x)^{2}}\)
b- étudier la monotonie de la fonction \(f,\) puis dresser son tableau de variation
4- a- montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque nome \(f^{-1}\)
définie su l’intervalle \(I=[1 ;+∞[\)
b- calculer \(f(e),\) puis déduit \((f^{-1}(\frac{e}{e+1}))\)
5- a- montrer que \(∀ x>0: f(x)-x=\frac{-x^{2} \ln x}{1+x \ln x}\)
b- étudier la position relative de \((C f)\) et \((Δ): y=x\)
6- tracer \((C f)\) et \((Δ)\) dans repère orthonormé \((o,\vec{i},\vec{j})\)
III. soit \((u_{n})_{n}\) la suite définie par :
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=\frac{1}{2} \\ u_{n+1}=f(u_{n})\end{array}, ∀ n ∈N .\)
1- montrer que∀ n∈IN : \(0<u_{n}<1\)
2- montrer que \((u_{n})_{n∈IN}\) est croissant
3- déduit que \((u_{n})_{n∈IN}\) est convergent et calculer sa limite.
* Problème 4: étude de fonction exponentielle
I. soit \(g\) une fonction définie sur IR par:
\(g(x)=(x+1)^{2}e^{x}-1\)
I. vérifie que \(g(0)=0, g(-1)=-1, g(-3)=4 e^{-3}-1\)
2. d’après le courbe \(C g\)
2.2 donner le tableau de variation de la fonction \(g\)
soit \(f\) une fonction définie sur IR par :
\(f(x)=(x^{2}+1)e^{x}-x-1\)
I.1 montrer que:
\(f(x)=x((x+\frac{1}{x}) e^{x}-1+\frac{-1}{x})\) pour tout x∈IR
I. 2 déduit \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
I. 3 montrer que \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\)
puis déduite que \(C f\) admet une branche parabolique au
voisinage de +∞ sa direction a déterminer
2.1 montrer que: \(\lim _{x➝-∞} \frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}}=0\)
2.2 vérifier que: \(f(x)=4(\frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}})^{2}+e^{x}-x-1\)
puis déduit \(\lim _{x➝-∞} f(x)\)
2.3 montrer que \(\lim _{x➝-∞} f(x)+x+1=0,\)
puis déduit que (D) y=-x-1 est un asymptote oblique
3.1. montrer que ∀ x∈IR: \(f ‘(x)=g(x)\)
3.2 déduite que f est décroissant sur ]-∞,0] et croissant sur [0,+∞]
4. 1 étudier la position relative de \(C f\) et (D)
4.2 montrer que \(C f\) admet deux points d’inflexion.
5 tracer \(C f\) dans le plan \((o,\vec{i},\vec{j})\)
* Problème 5: étude de fonction exponentielle
I.
I. calculer \(\lim_{x➝+∞} g(x)\) et \(\lim_{x➝-∞} g(x)\)
2.1. montrer que \(∀ x∈R : g ‘(x)=(-1-x) e^{x},\)
puis étudie sa monotonie
2.2. dresser le tableau de variation de \(g\)
3.1. Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α sur ]-1,+∞[
3.2.Vérifier que 0.5<α<0.6
3.3. Déduit que ∀ x ∈]-∞,α], g(x)≥ 0 et ∀ x∈[α,+∞[ g(x) ≤ 0
soit \(f\) une fonction définie sur IR \( f(x)=(x-1) e^{x}-x-1\)
1.1. Montrer que \(\lim_{x➝-∞} f(x)=+∞\)
1.2. Montrer que la droit (D):y=-x-1 est une asymptote oblique
de \(C f\) au voisinage de -∞
1.3. Etudier la position relative de \(C f\) et la droit (D)
2.1. Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
2.2. Déduit de \(C f\) admet une branche parabolique au voisinage de +∞
sa direction à déterminer
3 .1. montrer que ∀ x∈IR: f ‘(x)=-g(x)
3 .2. montrer que:
f est décroissant sur ]-∞,α] et croissant sur [α,+∞]
puis dresser son tableau de variation
3 .3. montrer que \(f(α)=-\frac{α^{2}+1}{α}\)
puis donner un encadrement pour f(α)
4.1 soit \(h\) la restreinte de la fonction f sur ]-∞,α]
montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur \(J\) a déterminer
4.2. dresser le tableau de variation de \(h^{-1}\)
5.1. montrer que l’équation f(x)=x admet deux solution
tel que 1.5<β<1.6 et -1.6<β<-1.5
5.2. trouver les cordonner d’intersection de \(C f\)
et l’axe des abscisses et l’axe des ordonner
5.3. tracer \(C f\) et \(Ch ^{-1}\) dans le même plan \((o,\vec{i},\vec{j})\)
* les Nombre Complexe
I.
(E): \((2 z-3-3 i)(z^{2}+3 z+3)\)
I.1.Résoudre dans l’équation (E)
1.2.soit \(v=\frac{3}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
montrer que: \(|v|=\sqrt{3}\) et \(arg(v)=\frac{\pi}{6}[2 \pi]\)
1.3. déduite l’écriture trigonométrique et exponentielle de v
1.4.montrer que \(v^{2154}\) est un nombre réel négatif
II.
\(a=-\frac{3}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(b=-\frac{3}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\) et c=-3
I. vérifier que: \(a=-v\) et \(b=-\bar{v}\)
2. déduites l’écriture exponentielle de a et b
3. montrer que : \(\frac{a}{b}=e^{\frac{\pi}{3}}\)
puis déduit la nature de triangle OAB
4. soit la transformation R tel que:
la transformation R et une rotation de centre C et d’angle \(\frac{\pi}{3}\)
4.2 vérifier que : b-c = v et a – c = \(\bar{v}\)
4.3 déduites que b et l’image de a par la rotation R
puis déduit la nature du triangle ABC
4.4 Montrer que le quadrillage OABC est un losange
III.
et C et l’image de O
1.1 Trouver k le rapport de H
1.2 Déduite que les point C, O et J son aligné
1.3 Vérifier que B et l’image de A par l’homothétie
2.1 Montrer que: \(\frac{j}{b-j}=-i \sqrt{3}\)
2.2 Déduite que (JB) et (JO) son orthogonaux
IV.
Soit T une translation de vecteur \(z_{\vect{AB }}\)
il transforme \(M(z)\) à \(M(z ‘)\)
1. I Montrer que : \(z ‘=z+i \sqrt{3}\)
1.2 Trouver l’affixe de D l’image de B par T
1.3 Vérifie que les point A,B et D appartiens au cercle (C)
de centre B et rayon \(r=\sqrt{3}\)
V. trouver l’ensemble des point M(z) dans chaque cas suivant
tel que z∈ℂ :
\(1-|z+\frac{3}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}|=|-i \sqrt{3}| 2-|z+2|=|-i z+3-i|\)