Révision Général Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 20

* Suites numérique

(Bac: Svt – PC – Eco – Tec)

Les Parties son Indépendant

Etude de récurrence, étude de monotonie, convergent et limite.

Suites définie par:

u_{n + 1} = \frac{a u_{n} + b}{c u_{n} + d}

Suite géométrique,suite arithmétique, la somme des thermes

Suite définie par

w_{n} = f (u_{n})

avec f une fonction continue

Problème 1 : étude de fonction logarithme

(Bac: Svt – PC – Eco – Tec )

Problème 2: étude de fonction logarithme

(Bac: Svt – PC – Eco – Tec)

Problème 3: étude de fonction logarithme

(Bac: Svt – PC – Eco – Tec)

Problème 4: étude de fonction exponentielle

(Bac: Svt – PC – Tec)

Problème 5: étude de fonction exponentielle

(Bac: Svt – PC – Tec)

* Nombre complexe

(Bac: Svt – PC – Tec)

* Exercice 1
Soit $(u_{n})$ une suite numérique définie par:
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{5 u_{n} - 3}{u_{n} + 1}$
1) Montrer que ∀ n∈IN: $1 < u_{n} \leq 3$
2) i) – Vérifie que: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(u_{n} - 1) (3)}{u_{n} + 1},$ puis déduit la monotonie de $(u_{n})$
$\ddot{I I}$ Montrer que : $\forall n \in N, 2 \leq u_{n} \leq 3$

Partie 1:
I) Montrer que ∀ n∈IN:
$\frac{-}{2} (3 - u_{n}) \leq 3 - u_{n + 1} \leq \frac{2}{3} (3 - u_{n})$
2) Déduit que ∀ n∈IN: $(\frac{1}{2})^{n} \leq 3 -_{n} \leq (- \frac{}{3})$
3) Calculer $lim_{x ➝ + \infty} u_{n}$

Partie 2:
Soit $(v_{n})$ une suite définie sur IN par:
$v_{n} = \frac{3 - u_{n}}{u_{n} - 1}$
I) Montrer que ∀ n∈IN: $(v_{n})$ et géométrique de raison $q = \frac{1}{2},$
puis exprimer $(v_{n})$ en fonction de n
2) Déduite que:
$u_{n} = \frac{3 + (\frac{1}{2})^{n}}{1 + (\frac{1}{2})^{n}},$ puis calculer sa limite $lim_{x ➝ + \infty} u_{n}$
3) Trouver la plus petit valeur de n qui vérifie que : $u_{n} > 2, 99$
4) Calculer les deux sommes suivant:
* $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$
* $T_{n} = \frac{1}{u_{0} - 1} + \frac{1}{u_{1} - 1} + \dots + \frac{1}{u_{n} - 1}$
5) Calculer $lim_{x ➝ + \infty} w_{n},$

sachant que $(w_{n})$ est la suite définie par $w_{n} = \ln (u_{n})$ pour tout $n \in N$

Partie 3:
Soit la suite $(u_{n})$ définie par:
$u_{1} = - 4$ et ∀ n ∈IN*: $u_{n + 1} = \frac{3 u_{n} +}{1 - u_{n}}$
1. Montrer que ∀ n ∈IN*: $u_{n} < - 1$
2. Montrer que: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(u_{n} + 1)}{1 - u_{n}}$
et déduit que la suite $(u_{n})$ est croissant puis déduit que $(u_{n})$ est convergent
3. Soit $(v_{n})$ une suite définie par ∀ n ∈IN *:
$v_{n} = \frac{2 u_{n} -}{u_{n} + 1}$
3.1 Montrer que:
$(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r = 3$
3.2 Montrer que∀ n ∈IN *: $u_{n} = \frac{3 v_{n} +}{3 v_{n} + 2}$
puis exprimer $(v_{n})$ et $(u_{n})$ en fonction de n.
3.3 Trouver la petite valeur de n qui vérifier $u_{n} > - 1.06$
3.4 Calculer les sommes suivant :
$S_{n} ‘ = v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n}$
$T_{n} ‘ = \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{1} - 1} + \dots . + \frac{1}{u_{n - 2} - 1}$

* Problème 1 : étude de fonction logarithme
I.

Soit g une fonction indéfinie sur ]0,+∞[par: g(x)=-x+xlnx+1
I) Montrer que g ‘(x)=lnx pour tout de ] 0,+∞[,
puis déduite que g et décroissant sur] 0,1]et croissant sur [1,+∞[
2) Calculer g(1) puis montrer que

g (x) \geq s u r] 0, + \infty

D

après le graphe

C g

déduite le signe de

g

II.

On considère la fonction

f

définie par:

${\begin{cases} f (x) = \frac{- 3}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x \ln x + x, x > 0 \\ f (0) = 0 \end{cases}$
et $C_{f}$ sa courbe dans le plan $(o, \vec{l}, \vec{j})$
1. Calculer f(e²)puis montrer que $f$ et continue adroit en 0.
2. Calculer lim_ $\frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$
puis déduite que $f$ et dérivable adroit en 0
et donner une interprétation graphique
2.1. Calculer $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$ et $lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x}$
puis déduit que $C_{f}$ admet une branche parabolique
au voisinage de +∞ sa direction a déterminer.
3.1. Montrer que ∀ x∊]0,+∞[: f ‘(x)=g(x)
et montrer que f et croissant sur [0,+∞[.
3.2. Calculer (f ‘(1) et donner une interprétation graphique
4.1. puis déduite que $C_{f}$ admet un point d’inflexion
en déterminant ses cordonner
4.2.Tracer $C_{f}$ dans un plan
5.1. trouver une primitive de h: x➝ x² par une intégration par partie,
puis calculer $\int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$
6.1. Montrer que: $f$ admet une fonction réciproque $f^{- 1}$
sur I=[0,3[ vers $J$ a déterminé.
6.2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f^{- 1}$ sur Intervalle $J$
6.3. Calculer $f (1)$ purs calculer $(f^{- 1}) ‘ (\frac{1}{4})$
6.4. Tracer $C f^{- 1}$ dans le même plan

* Problème 2: étude de fonction logarithme
I.

soit

g

une fonction définie par:

g (x) = 2 x + l n x^{2} - 2 l n x - 2 s u r] 0, + \infty [

1.1. Montrer que: ∀ x∈] 0,+∞[:

g^{'} (x) = \frac{2 (x - 1 + l n x)}{x}

1.2. Montrer que: (x-1) et lnx on le même signe sur ]0,+∞[.
1.3. Etudier la monotonie de la fonction g sur ]0,+∞[
puis dresser son tableau de variation
1.4.Déduite que ∀ x∈] 0,+∞[: g(x)≥0.

II.

On considère la fonction f définie par:

{\begin{cases} f (x) = x^{2} + 2 x - 4 x l n x + x (l n x)^{2}, x > 0 \\ f (0) = 0 \end{cases}

1.1. Montrer que:

lim_{x ➝ 0^{+}} x (l n x)^{2} = 0

(on peut poser

\sqrt{x} = t

)
1.2. Montrer que:

f

est une fonction continue à droite de 0.
1.3. Étudie la dérivabilité de f en

x_{0} = 0

droit,
puis donner une interprétation graphique.
2.1. montrer que:

lim_{x ➝ + \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0

(on peut poser

\sqrt{x} = t

), puis calculer

lim_{x ➝ + \infty} f (x)

2.2. montrer que

C_{f}

admet une branche parabolique au voisinage de +∞

en déterminant sa direction
3.1. montrer que ∀ x∈] 0,+∞[: f ‘(x)=g(x).
3.2. calculer

f ‘

(1):
étudie la monotonie de

f

puis dresser son tableau de variation
4.1. déterminer le point d’inflexion de (C_{f}\).
5.1.soit h la restreint de la fonction f sur [0,+∞[ montrer que:

h

admet une fonction réciproque nome

h^{- 1}

en déterminant son domaine.
5.2. déduit la variation de la fonction réciproque sur J
puis dresser son tableau de variation.
6.1. tracer

C_{f}

C_{h}^{- 1}

dans le même plan
6.2. Résoudre graphiquement l’équation

f (x) = m

avec m est un paramètre réel

* Problème 3: étude de fonction logarithme
I.

Soit g une fonction définie sur IR^{*+}=]0;+∞[ par: g(x)=1+xlnx
1- calculer

lim_{x ➝ + \infty} g (x)

lim_{x ➝ 0^{-}} g (x)

2- a- vérifie que

f

est dérivable sur

R^{* +}

puis montrer que :

\forall x \in \(R^{* +}

: g ‘(x)=ln x+1\)
b- dresser le tableau de variation de

g

3- en déduit que :

\forall x \in R^{* +} : g (x) > 0

II.

soit

f

une fonction définie par:

{\begin{cases} f (x) = \frac{x}{1 + x \ln x}, x 0 \\ f (0) = 0 \end{cases} .

1- a- montrer que

f

est continue a droit en 0
b- montrer que

f

est dérivable a droit en 0 et donne une interprétation graphique
2- a- vérifier que

\forall x > 0 : f (x) = \frac{1}{\frac{1}{x} + \ln x}

b- calculer

lim_{n ➝ + \infty} f (x)

et donner une interprétation graphique
3- a- montrer que

\forall x > 0 : f ‘ (x) = \frac{1 - x}{(1 + x \ln x)^{2}}

b- étudier la monotonie de la fonction

f,

puis dresser son tableau de variation
4- a- montrer que la fonction

f

admet une fonction réciproque nome

f^{- 1}

définie su l’intervalle $I = [1; + \infty [$
b- calculer $f (e),$ puis déduit $(f^{- 1} (\frac{e}{e + 1}))$
5- a- montrer que $\forall x > 0 : f (x) - x = \frac{- x^{2} \ln x}{1 + x \ln x}$
b- étudier la position relative de $(C f)$ et $(Δ) : y = x$
6- tracer $(C f)$ et $(Δ)$ dans repère orthonormé $(o, \vec{i}, \vec{j})$
III. soit $(u_{n})_{n}$ la suite définie par :
${\begin{cases} u_{0} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = f (u_{n}) \end{cases}, \forall n \in N .$
1- montrer que∀ n∈IN : $0 < u_{n} < 1$
2- montrer que $(u_{n})_{n \in I N}$ est croissant
3- déduit que $(u_{n})_{n \in I N}$ est convergent et calculer sa limite.

* Problème 4: étude de fonction exponentielle
I. soit $g$ une fonction définie sur IR par:
$g (x) = (x + 1)^{2} e^{x} - 1$
I. vérifie que $g (0) = 0, g (- 1) = - 1, g (- 3) = 4 e^{- 3} - 1$
2. d’après le courbe $C g$

2.1 montrer que ∀ x∈]-∞,0], g(x)≤0 et ∀ x∈[0,+∞[, g(x)≥0

2.2 donner le tableau de variation de la fonction $g$

II.

soit $f$ une fonction définie sur IR par :
$f (x) = (x^{2} + 1) e^{x} - x - 1$
I.1 montrer que:
$f (x) = x ((x + \frac{1}{x}) e^{x} - 1 + \frac{- 1}{x})$ pour tout x∈IR
I. 2 déduit $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$
I. 3 montrer que $lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x} = + \infty$
puis déduite que $C f$ admet une branche parabolique au
voisinage de +∞ sa direction a déterminer
2.1 montrer que: $lim_{x ➝ - \infty} \frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}} = 0$
2.2 vérifier que: $f (x) = 4 (\frac{x}{2} e^{\frac{x}{2}})^{2} + e^{x} - x - 1$
puis déduit $lim_{x ➝ - \infty} f (x)$
2.3 montrer que $lim_{x ➝ - \infty} f (x) + x + 1 = 0,$
puis déduit que (D) y=-x-1 est un asymptote oblique
3.1. montrer que ∀ x∈IR: $f ‘ (x) = g (x)$
3.2 déduite que f est décroissant sur ]-∞,0] et croissant sur [0,+∞]
4. 1 étudier la position relative de $C f$ et (D)
4.2 montrer que $C f$ admet deux points d’inflexion.
5 tracer $C f$ dans le plan $(o, \vec{i}, \vec{j})$

* Problème 5: étude de fonction exponentielle
I.

Soit g une fonction définie sur

R

par:

g (x) = 1 - x e^{x}

I. calculer

lim_{x ➝ + \infty} g (x)

lim_{x ➝ - \infty} g (x)

2.1. montrer que

\forall x \in R : g ‘ (x) = (- 1 - x) e^{x},

puis étudie sa monotonie
2.2. dresser le tableau de variation de

g

3.1. Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α sur ]-1,+∞[
3.2.Vérifier que 0.5<α<0.6
3.3. Déduit que ∀ x ∈]-∞,α], g(x)≥ 0 et ∀ x∈[α,+∞[ g(x) ≤ 0

II.

soit $f$ une fonction définie sur IR $f (x) = (x - 1) e^{x} - x - 1$
1.1. Montrer que $lim_{x ➝ - \infty} f (x) = + \infty$
1.2. Montrer que la droit (D):y=-x-1 est une asymptote oblique
de $C f$ au voisinage de -∞
1.3. Etudier la position relative de $C f$ et la droit (D)
2.1. Montrer que $lim_{x ➝ + \infty} f (x) = + \infty$
2.2. Déduit de $C f$ admet une branche parabolique au voisinage de +∞
sa direction à déterminer
3 .1. montrer que ∀ x∈IR: f ‘(x)=-g(x)
3 .2. montrer que:
f est décroissant sur ]-∞,α] et croissant sur [α,+∞]
puis dresser son tableau de variation
3 .3. montrer que $f (α) = - \frac{α^{2} + 1}{α}$
puis donner un encadrement pour f(α)
4.1 soit $h$ la restreinte de la fonction f sur ]-∞,α]
montrer que $h$ admet une fonction réciproque définie sur $J$ a déterminer
4.2. dresser le tableau de variation de $h^{- 1}$
5.1. montrer que l’équation f(x)=x admet deux solution
tel que 1.5<β<1.6 et -1.6<β<-1.5
5.2. trouver les cordonner d’intersection de $C f$
et l’axe des abscisses et l’axe des ordonner
5.3. tracer $C f$ et $C h^{- 1}$ dans le même plan $(o, \vec{i}, \vec{j})$

* les Nombre Complexe
I.

on considère l’équation suivant :
(E):

(2 z - 3 - 3 i) (z^{2} + 3 z + 3)

I.1.Résoudre dans l’équation (E)
1.2.soit

v = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}

montrer que:

| v | = \sqrt{3}

a r g (v) = \frac{π}{6} [2 π]

1.3. déduite l’écriture trigonométrique et exponentielle de v
1.4.montrer que

v^{2154}

est un nombre réel négatif
II.

dans le plant complexe, soit les point a,b et c d’affixe

a = - \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

b = - \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}

et c=-3
I. vérifier que:

a = - v

b = - \bar{v}

2. déduites l’écriture exponentielle de a et b
3. montrer que :

\frac{a}{b} = e^{\frac{π}{3}}

puis déduit la nature de triangle OAB
4. soit la transformation R tel que:

R(z)=z ⇔

z ‘ - i \frac{\sqrt{3}}{2} z = - \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} z

4.1 montre que:
la transformation R et une rotation de centre C et d’angle

\frac{π}{3}

4.2 vérifier que : b-c = v et a – c =

\bar{v}

4.3 déduites que b et l’image de a par la rotation R
puis déduit la nature du triangle ABC
4.4 Montrer que le quadrillage OABC est un losange
III.

soit H l’homothétie de centre I le milieu de

[O C]

tel que

H (k, I)

et C et l’image de O
1.1 Trouver k le rapport de H
1.2 Déduite que les point C, O et J son aligné
1.3 Vérifier que B et l’image de A par l’homothétie
2.1 Montrer que:

\frac{j}{b - j} = - i \sqrt{3}

2.2 Déduite que (JB) et (JO) son orthogonaux
IV.

Soit T une translation de vecteur $z_{\vect A B}$
il transforme $M (z)$ à $M (z ‘)$
1. I Montrer que : $z ‘ = z + i \sqrt{3}$
1.2 Trouver l’affixe de D l’image de B par T
1.3 Vérifie que les point A,B et D appartiens au cercle (C)
de centre B et rayon $r = \sqrt{3}$
V. trouver l’ensemble des point M(z) dans chaque cas suivant
tel que z∈ℂ :
$1 - | z + \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} | = | - i \sqrt{3} | 2 - | z + 2 | = | - i z + 3 - i |$

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Révision Général Bac 2

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