Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 06 Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Fonction Logarithme (3 points )* Suite Numérique (3 points )* Nombres complexes (3 points )* Etude d’une fonction numérique (11 points ) * Fonctions logarithme ( 3 points )1) Résoudre dans ]0,+∞[ les équations suivantes:ln (x+3) + ln (x+5) = ln 24ln² (x)+8 ln(x) – 9=02) Résoudre dans ] 0,+∞[ les inéquations suivantes:ln (x+2) + ln (x+4) > ln (x² + 14)(lnx -1)( lnx + 2) < 0 * Suite Numérique (3 points )Soit ((u_{n})) la suite numérique définie par:(u_{0}=1) et (u_{n+1}=frac{u_{n}-9}{u_{n}-5};) pour tout n de IN1) Montrer par récurrence que (u_{n}<3;) pour tout n de IN2.a) Vérifier que pour tout n de IN ( u_{n+1}-u_{n}=frac{(u_{n}-3)^{2}}{5-u_{n}};)
puis montrer que la suite ((u_{n})) est croissante.b) En déduire que la suite ((u_{n})) est convergente.3) On pose pour tout (n) de (N: v_{n}=frac{-2 u_{n}+4}{u_{n}-3})a) Montrer que ((v_{n})) est une suite arithmétique de raison 1 puis déduire que (v_{n}=-1+n) pour tout n de INb) Montrer que pour tout n de IN (u_{n}=frac{3 v_{n}+4}{v_{n}+2}) puis écrire ((u_{n})) en fonction de n.c) Calculer la limite de ((u_{n})) * Nombre Complexe (3 points )1) Résoudre dans C l’équation: z²-6z+18=02) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ((0, vec{i}, vec{j})) les points A et B d’affixes respective: a=3+3i, b=(bar{a})a) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.b) Déduire que ((a^{15}+b^{15})) ∈ IR3) Soit C le point d’affixe c=6a) Montrer que C est l’image de B par la translation (T) de vecteur (overrightarrow{O A}).b) Montrer que b-c=i(a-c) et déduire la nature du triangle ABCc) Montrer que le quadrilatère OACB est un carré. * Etudes de Fonction ( 11 points )Partie I-Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par: g(x)=x-2ln(x)1.a) Calculer g ‘ (x) pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[b. Montrer que g est décroissante sur ] 0,2] et croissante sur [2,+∞[2. En déduire que g(x) > 0 pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[ (Remarquer que g(2)>0 ) Partie II-On considère la fonction numérique (f) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par: (f(x)=x-(ln x)^{2})Soit (C) la courbe représentative de (f) dans un repère orthonormé ((O,vec{i}, vec{j}))1) Calculer: (lim _{x⟶0atop x>0} f(x)) et interpreter géométriquement ce résultat.
2.a) Montrer que: (lim_{x⟶+∞} frac{(ln x)^{2}}{x}=0)
(On pourra poser (t=sqrt{x}), on rappelle que: (\lim _{x⟶+∞} frac{ln t}{t}=0) )
b) En déduire que:
(lim_{x⟶+∞} f(x)=+∞;) et que: (lim_{x⟶+∞} frac{f(x)}{x}=1)
(remarquer que:f(x)=(x(1-frac{(ln x)^{2}}{x}))
c) Calculer:
(lim_{x⟶+∞}(f(x)-x)) puis déduire que la courbe ((C)) admet au voisinage de +∞,
une branche parabolique de direction la droite (Δ) d’équation y=x
d) Montrer que:
la courbe ((C))est au-dessous de la droite (Δ).3.a) Montrer que :
(f ‘(x)=(frac{g(x)}{x}) pour tout x∈ ]0,+∞[
et montrer que (f) est strictement croissante sur ]0,+∞[
b) Dresser le tableau de variations de la fonction (f)
c) Montrer que y=x est une équation cartésienne de la tangente
à la courbe ((C)) au point d’abscisse 1.
4) Montrer que : l’équation f(x)=0 admet une solution unique α dans ]0,+∞[ et que (frac{1}{e} < α < frac{1}{2};) On admet que ((ln 2)²<(frac{1}{2}))
5)Tracer la droite (Δ) et la courbe ((C)) dans le repère ((O,vec{i},vec{j}))
On admet que (e,e-1) est un point d’inflexion de la courbe ((C)) et on prendra (e≃2,7)
6.a) Montrer que : (H: x⟶ ln(x)-x) est fonction primitive de la fonction (ln: x ⟶ lnx) sur l’intervalle]0,+∞[ puis montrer que: (int_{1}^{e} ln (x) d x=1)b) En utilisant une intégration par parties, montrer que: (int_{1}^{e}(ln x)^{2} dx=e-2)c) Calcule:l’aire du domaine plan délimité par la courbe ((C)), la droite (Δ) et les deux droites d’équations: x=1 et x=e Partie III- on considéré la suite numérique ((u_{n})) définie par:(u_{0}=2) et (u_{n+1}=f(u_{n})) pour tout de n∈IN1) Montrer que: (1 ≤ u_{n} ≤ 2) pour tout n∈IN ( on pourra utiliser le résultat de la question II-3.a)2) Montrer que: la suite ((u_{n})) est décroissante.3) En déduire que ((u_{n})) est convergente puis déterminer sa limite. Prof. Mohammed BELAAROUBI Télécharger Fichier PDF Gratuit-Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 06-➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire