Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 06
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Fonction Logarithme (3 points )
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Fonctions logarithme ( 3 points )
1) Résoudre dans ]0,+∞[ les équations suivantes:
ln (x+3) + ln (x+5) = ln 24
ln² (x)+8 ln(x) – 9=0
2) Résoudre dans ] 0,+∞[ les inéquations suivantes:
ln (x+2) + ln (x+4) > ln (x² + 14)
(lnx -1)( lnx + 2) < 0
* Suite Numérique (3 points )
Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=\frac{u_{n}-9}{u_{n}-5}\;\) pour tout n de IN
1) Montrer par récurrence que \(u_{n}<3\;\) pour tout n de IN
2.a) Vérifier que pour tout n de IN \( u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}-3)^{2}}{5-u_{n}}\;\)
puis montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.
puis montrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.
b) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente.
3) On pose pour tout \(n\) de \(N: v_{n}=\frac{-2 u_{n}+4}{u_{n}-3}\)
a) Montrer que \((v_{n})\) est une suite arithmétique de raison 1
puis déduire que \(v_{n}=-1+n\) pour tout n de IN
b) Montrer que pour tout n de IN \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+4}{v_{n}+2}\)
puis écrire \((u_{n})\) en fonction de n.
c) Calculer la limite de \((u_{n})\)
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans C l’équation: z²-6z+18=0
2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
\((0, \vec{i}, \vec{j})\)
les points A et B d’affixes respective: a=3+3i, b=\(\bar{a}\)
a) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.
b) Déduire que \((a^{15}+b^{15})\) ∈ IR
3) Soit C le point d’affixe c=6
a) Montrer que C est l’image de B par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{O A}\).
b) Montrer que b-c=i(a-c) et déduire la nature du triangle ABC
c) Montrer que le quadrilatère OACB est un carré.
* Etudes de Fonction ( 11 points )
Partie I-
Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par: g(x)=x-2ln(x)
1.a) Calculer g ‘ (x) pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[
b. Montrer que g est décroissante sur ] 0,2] et croissante sur [2,+∞[
2. En déduire que g(x) > 0 pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[ (Remarquer que g(2)>0 )
Partie II-
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur l’intervalle ]0,+∞[
par: \(f(x)=x-(ln x)^{2}\)
Soit \(C\) la courbe représentative de \(f\)
dans un repère orthonormé \((O,\vec{i}, \vec{j})\)
1) Calculer:
\(\lim _{x⟶0\atop x>0} f(x)\) et interpreter géométriquement ce résultat.
2.a) Montrer que: \(\lim_{x⟶+∞} \frac{(ln x)^{2}}{x}=0\)
(On pourra poser \(t=\sqrt{x}\), on rappelle que: \(\\lim _{x⟶+∞} \frac{\ln t}{t}=0\) )
b) En déduire que:
\(\lim_{x⟶+∞} f(x)=+∞\;\) et que: \(\lim_{x⟶+∞} \frac{f(x)}{x}=1\)
(remarquer que:f(x)=\(x(1-\frac{(\ln x)^{2}}{x})\)
c) Calculer:
\(\lim_{x⟶+∞}(f(x)-x)\) puis déduire que la courbe (\(C\)) admet au voisinage de +∞,
une branche parabolique de direction la droite (Δ) d’équation y=x
d) Montrer que:
la courbe (\(C\))est au-dessous de la droite (Δ).3.a) Montrer que :
(f ‘(x)=\(\frac{g(x)}{x}\) pour tout x∈ ]0,+∞[
et montrer que \(f\) est strictement croissante sur ]0,+∞[
b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
c) Montrer que y=x est une équation cartésienne de la tangente
à la courbe (\(C\)) au point d’abscisse 1.
et montrer que \(f\) est strictement croissante sur ]0,+∞[
b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
c) Montrer que y=x est une équation cartésienne de la tangente
à la courbe (\(C\)) au point d’abscisse 1.
4) Montrer que :
l’équation f(x)=0 admet une solution unique α dans ]0,+∞[ et que \(\frac{1}{e} < α < \frac{1}{2}\;\)
On admet que ((ln 2)²<\(\frac{1}{2}\))
5)Tracer la droite (Δ) et la courbe (\(C\)) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\)
On admet que (e,e-1) est un point d’inflexion de la courbe (\(C\)) et on prendra (e≃2,7)
6.a) Montrer que :
\(H: x⟶ ln(x)-x\) est fonction primitive de la fonction \(ln: x ⟶ lnx\)
sur l’intervalle]0,+∞[ puis montrer que: \(\int_{1}^{e} \ln (x) d x=1\)
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que: \(\int_{1}^{e}(\ln x)^{2} dx=e-2\)
c) Calcule:
l’aire du domaine plan délimité par la courbe (\(C\)), la droite (Δ) et les deux droites d’équations: x=1 et x=e
Partie III-
on considéré la suite numérique \((u_{n})\) définie par:
\(u_{0}=2\) et \(u_{n+1}=f(u_{n})\) pour tout de n∈IN
1) Montrer que: \(1 ≤ u_{n} ≤ 2\) pour tout n∈IN
( on pourra utiliser le résultat de la question II-3.a)
2) Montrer que: la suite \((u_{n})\) est décroissante.
3) En déduire que \((u_{n})\) est convergente puis déterminer sa limite.
Prof. Mohammed BELAAROUBI
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