Examen Bac 2 2020 Math Préparation 06

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 06

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:

* Fonction Logarithme (3 points )

* Suite Numérique (3 points )

* Nombres complexes (3 points )

* Etude d’une fonction numérique (11 points )

* Fonctions logarithme ( 3 points )

1) Résoudre dans ]0,+∞[ les équations suivantes:

ln (x+3) + ln (x+5) = ln 24

ln² (x)+8 ln(x) – 9=0

2) Résoudre dans ] 0,+∞[ les inéquations suivantes:

ln (x+2) + ln (x+4) > ln (x² + 14)

(lnx -1)( lnx + 2) < 0

* Suite Numérique (3 points )

Soit

(u_{n})

la suite numérique définie par:

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{u_{n} - 9}{u_{n} - 5}

pour tout n de IN

1) Montrer par récurrence que

u_{n} < 3

pour tout n de IN

2.a) Vérifier que pour tout n de IN

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(u_{n} - 3)^{2}}{5 - u_{n}}

puis montrer que la suite

(u_{n})

est croissante.

b) En déduire que la suite

(u_{n})

est convergente.

3) On pose pour tout

n

N : v_{n} = \frac{- 2 u_{n} + 4}{u_{n} - 3}

a) Montrer que

(v_{n})

est une suite arithmétique de raison 1

puis déduire que

v_{n} = - 1 + n

pour tout n de IN

b) Montrer que pour tout n de IN

u_{n} = \frac{3 v_{n} + 4}{v_{n} + 2}

puis écrire

(u_{n})

en fonction de n.

c) Calculer la limite de

(u_{n})

* Nombre Complexe (3 points )

1) Résoudre dans C l’équation: z²-6z+18=0

2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé

(0, \vec{i}, \vec{j})

les points A et B d’affixes respective: a=3+3i, b=

\bar{a}

a) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.

b) Déduire que

(a^{15} + b^{15})

∈ IR

3) Soit C le point d’affixe c=6

a) Montrer que C est l’image de B par la translation

T

de vecteur

\vec{O A}

b) Montrer que b-c=i(a-c) et déduire la nature du triangle ABC

c) Montrer que le quadrilatère OACB est un carré.

* Etudes de Fonction ( 11 points )

Partie I-

Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par: g(x)=x-2ln(x)

1.a) Calculer g ‘ (x) pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[

b. Montrer que g est décroissante sur ] 0,2] et croissante sur [2,+∞[

2. En déduire que g(x) > 0 pour tout x de l’intervalle ]0,+∞[ (Remarquer que g(2)>0 )

Partie II-

On considère la fonction numérique

f

définie sur l’intervalle ]0,+∞[

par:

f (x) = x - (l n x)^{2}

Soit

C

la courbe représentative de

f

dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1) Calculer:

lim_{\binom{x ⟶ 0}{x > 0}} f (x)

et interpreter géométriquement ce résultat.

2.a) Montrer que: $lim_{x ⟶ + \infty} \frac{(l n x)^{2}}{x} = 0$
(On pourra poser $t = \sqrt{x}$ , on rappelle que: $l i m_{x ⟶ + \infty} \frac{\ln t}{t} = 0$ )
b) En déduire que:
$lim_{x ⟶ + \infty} f (x) = + \infty$ et que: $lim_{x ⟶ + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1$
(remarquer que:f(x)= $x (1 - \frac{(\ln x)^{2}}{x})$
c) Calculer:
$lim_{x ⟶ + \infty} (f (x) - x)$ puis déduire que la courbe ( $C$ ) admet au voisinage de +∞,
une branche parabolique de direction la droite (Δ) d’équation y=x
d) Montrer que:
la courbe ( $C$ )est au-dessous de la droite (Δ).3.a) Montrer que :

(f ‘(x)=

\frac{g (x)}{x}

pour tout x∈ ]0,+∞[
et montrer que

f

est strictement croissante sur ]0,+∞[
b) Dresser le tableau de variations de la fonction

f

c) Montrer que y=x est une équation cartésienne de la tangente
à la courbe (

C

) au point d’abscisse 1.

4) Montrer que :

l’équation f(x)=0 admet une solution unique α dans ]0,+∞[ et que

\frac{1}{e} < α < \frac{1}{2}

On admet que ((ln 2)²<

\frac{1}{2}

)

5)Tracer la droite (Δ) et la courbe ( $C$ ) dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$
On admet que (e,e-1) est un point d’inflexion de la courbe ( $C$ ) et on prendra (e≃2,7)

6.a) Montrer que :

H : x ⟶ l n (x) - x

est fonction primitive de la fonction

l n : x ⟶ l n x

sur l’intervalle]0,+∞[ puis montrer que:

\int_{1}^{e} \ln (x) d x = 1

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que:

\int_{1}^{e} (\ln x)^{2} d x = e - 2

c) Calcule:

l’aire du domaine plan délimité par la courbe (

C

), la droite (Δ) et les deux droites d’équations: x=1 et x=e

Partie III-

on considéré la suite numérique

(u_{n})

définie par:

u_{0} = 2

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout de n∈IN

1) Montrer que:

1 \leq u_{n} \leq 2

pour tout n∈IN

( on pourra utiliser le résultat de la question II-3.a)

2) Montrer que: la suite

(u_{n})

est décroissante.

3) En déduire que

(u_{n})

est convergente puis déterminer sa limite.

Prof. Mohammed BELAAROUBI

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-Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 06-

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