Examen Bac 2 2020 Math Préparation 12

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 12
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle  (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique    ( 3 points )
On considère la suite numérique (un) définie par: ∀ n∊IN :
{u0=1un+1=une−un
1) Montrer par récurrence que ∀ n∊IN: un>0
2) a) Vérifier que ∀ n∊N:
 un+1un=1eun
puis en déduire que la suite (un) est décroissante et qu’elle est convergente.
b) En déduire que pour tout n dans IN:  un<1
c) Montrer que: limn➝+∞un=1
3) Soit (wn)la suite numérique auxiliaire définie par:
 ∀ n∊IN: wn=ln⁡(un)
* Montrer que ∀ n∊IN:  un=wn−wn+1
4) On pose pour tout n dans IN la somme Sn telle que:
 Sn=u0+u1+…+un−1
a) Montrer que pour tout n dans IN: Sn=w0−wn
b) Calculer limn➝+∞Sn
 
 * Nombre Complexe    (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation : 4z²-2z+1=0.
2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé(0,u→,v→).
Les points A, B, C et D d’affixes respectives:
zA=2i;zB=2;zc=4+6i;zD=−1+i.
a) Montrer que zc−zAzB−zA=2i.
b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A et AC=2×AB.
c) Calculer la surface du triangle ABC.
3) Soit M'(z’) l’image du point M(z) par la translation T de vecteurBA→.
a) Vérifier que z’=z-2+2i.
b) Déterminer zE ‘ »affixe du point E image du point D » par la translation T.
4) Déterminer (E) l’ensemble des points M d’affixe z telle que: |iz−2i|=5.
 
 * Fonction logarithmique et exponentielle      ( 3 points )
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a) (ln(x))²-2ln(x)+1=0 ; 
b) e1−2lnx=1e−1
2) Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes:
a) g(x)=1x(1−lnx)
b) h(x)=ln(e−x−e)
3) On considère la fonction numérique f définie par ; 
{f(x)=ex+1−e3x;x≠0f(0)=−2.
– Montrer que la fonction f est discontinue au point d’abscisse x0=0
4) Montrer les égalités suivantes:
a) ln(x3ye2)=3lnx+12lny−2
b) 3eln2−ln5×ln(1e−52)=3
 
 * Etudes de Fonctions    ( 11 points )
Partie I
Soit g la fonction numérique définie dans IR par:
 g(x)=2+(x−1)e−x
1) Montrer que:
 limx➝+∞g(x)=2 et limx➝−∞g(x)=−∞
2) a) Montrer que pour tout x dans IR: g′(x)=(2−x)e−x
b) Montrer que l’équation g(x)=0:
admet une unique solution α dans l’intervalle ]-0.38,-0.37[
c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
d) En déduire que ∀x<α  ; g(x)<0 et ∀ x>a ; g(x)>0
 
Partie II
On considère la fonction numérique f définie dans IR par : 
f(x)=2x+1−xe−x
Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f 
dans un repère orthonormé (0,u→,j→) (unité : 1cm ).
1) a) Montrer que limx➝+∞f(x)=+∞
b) Calculer limx➝+∞[f(x)−(2x+1)] 
et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
2) a) Montrer que limx➝−∞f(x)=+∞
b) Montrer que limx➝−∞f(x)x=−∞, 
puis en déduire que la courbe (Cf) admet une branche parabolique et préciser sa direction.
3) Etudier la position relative de la courbe (Cf) 
et la droite (Δ) d’équation y=2 x+1 pour tout x dans IR
4) a) Montrer que ∀x∈R: f‘(x)=g(x)
b) En déduire que ∀x<α:  f ‘(x)≤0 et ∀x>α : f ‘(x)≥0
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f
5) Ecrire l’équation cartésienne de la tangente (T) a (Cf) au point d’abscisse x0=1
6) Soit  h la restriction de la fonction f sur l’intervalle I=]-∞,α[
Montrer que:
la fonction h admet une fonction réciproque h−1 définie dans l’intervalle J à déterminer.
7) Construire, dans le même repère (O,l→,j→) 
la droite (Δ), la tangente (T) et la courbe (Cf).
on prend f(α)=0.8.
 
Partie III
1) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que 
∫01xe−xdx=1−2e
2) Calculer en cm² l’aire du domine plan délimité par la droite (Δ), 
la courbe (Cf) et les deux droites d’équations x=0 et x=1.
 
 
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