Examen Bac 2 2020 Math Préparation 12

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 12Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:* Suite Numérique (3 points )* Nombres complexes (3 points )* Fonction logarithmique et exponentielle  (3 points )* Etude d’une fonction numérique (11 points )* Suite Numérique    ( 3 points )On considère la suite numérique ((u_{n})) définie par: ∀ n∊IN :({begin{array}{l}u_{0}=1 \ u_{n+1}=u_{n} e^{-u_{n}}end{array})1) Montrer par récurrence que ∀ n∊IN: (u_{n}>0)2) a) Vérifier que ∀ n∊N: (frac{u_{n+1}}{u_{n}}=frac{1}{e^{u_{n}}})puis en déduire que la suite ((u_{n})) est décroissante et qu’elle est convergente.b) En déduire que pour tout n dans IN:  (u_{n}<1)c) Montrer que: (lim_{n➝+∞} u_{n}=1)3) Soit ((w_{n}))la suite numérique auxiliaire définie par: ∀ n∊IN: (w_{n}=ln (u_{n}))* Montrer que ∀ n∊IN:  (u_{n}=w_{n}-w_{n+1})4) On pose pour tout n dans IN la somme (S_{n}) telle que: (S_{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n-1})a) Montrer que pour tout n dans IN: (S_{n}=w_{0}-w_{n})b) Calculer (lim_{n➝+∞} S_{n})  * Nombre Complexe    (3 points )1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation : 4z²-2z+1=0.2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé((0,vec{u},vec{v})).Les points A, B, C et D d’affixes respectives:(z_{A}=2i quad ; quad z_{B}=2 quad ; quad z_{c}=4+6i quad ; quad z_{D}=-1+i).a) Montrer que (frac{z_{c}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=2i).b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A et AC=2×AB.c) Calculer la surface du triangle ABC.3) Soit M'(z’) l’image du point M(z) par la translation (T) de vecteur(overrightarrow{BA}).a) Vérifier que z’=z-2+2i.b) Déterminer (z_{E}) ‘ »affixe du point E image du point D » par la translation (T).4) Déterminer (E) l’ensemble des points M d’affixe z telle que: (|i z-2i|=sqrt{5}).  * Fonction logarithmique et exponentielle      ( 3 points )1) Résoudre dans IR les équations suivantes:a) (ln(x))²-2ln(x)+1=0 ; b) (e^{1-2 lnx}=frac{1}{e^{-1}})2) Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes:a) (g(x)=frac{1}{x(1-lnx)})b) (h(x)=ln(e^{-x}-e))3) On considère la fonction numérique (f) définie par ; ({begin{array}{l}f(x)=frac{e^{x+1}-e}{3 x} quad ; x neq 0 \ f(0)=-2end{array}.)- Montrer que la fonction (f) est discontinue au point d’abscisse (x_{0}=0)4) Montrer les égalités suivantes:a) (ln(frac{x^{3} sqrt{y}}{e^{2}})=3lnx+frac{1}{2}lny-2)b) (sqrt{3} e^{ln2-ln 5}×ln(frac{1}{e^{-frac{5}{2}}})=sqrt{3})  * Etudes de Fonctions    ( 11 points )Partie ISoit (g) la fonction numérique définie dans IR par: (g(x)=2+(x-1) e^{-x})1) Montrer que: (lim _{x➝+∞} g(x)=2) et (lim _{x➝-∞} g(x)=-∞)2) a) Montrer que pour tout x dans IR: (g'(x)=(2-x) e^{-x})b) Montrer que l’équation g(x)=0:admet une unique solution α dans l’intervalle ]-0.38,-0.37[c) Dresser le tableau de variation de la fonction (g).d) En déduire que ∀x<α  ; g(x)<0 et ∀ x>a ; g(x)>0 Partie IIOn considère la fonction numérique (f) définie dans IR par : (f(x)=2 x+1-x e^{-x})Soit ((C_{f})) la courbe représentative de la fonction (f) dans un repère orthonormé ((0,vec{u},vec{j})) (unité : (1 cm) ).1) a) Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞)b) Calculer (lim _{x➝+∞}[f(x)-(2 x+1)]) et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.2) a) Montrer que (lim _{x➝-∞}f(x)=+∞)b) Montrer que (lim _{x➝-∞}frac{f(x)}{x}=-∞,) puis en déduire que la courbe ((C_{f})) admet une branche parabolique et préciser sa direction.3) Etudier la position relative de la courbe ((C_{f})) et la droite (Δ) d’équation y=2 x+1 pour tout x dans IR4) a) Montrer que ∀x∈R: (f ‘(x)=g(x))b) En déduire que ∀x<α:  f ‘(x)≤0 et ∀x>α : f ‘(x)≥0c) Dresser le tableau de variation de la fonction (f)5) Ecrire l’équation cartésienne de la tangente (T) a ((C_{f})) au point d’abscisse (x_{0}=1)6) Soit  (h) la restriction de la fonction f sur l’intervalle I=]-∞,α[Montrer que:la fonction h admet une fonction réciproque (h^{-1}) définie dans l’intervalle J à déterminer.7) Construire, dans le même repère ((O, vec{l},vec{j})) la droite (Δ), la tangente (T) et la courbe ((C_{f})).on prend f(α)=0.8. Partie III1) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que (int_{0}^{1}x e^{-x} d x=1-frac{2}{e})2) Calculer en cm² l’aire du domine plan délimité par la droite (Δ), la courbe ((C_{f})) et les deux droites d’équations x=0 et x=1.  Télécharger Fichier PDF Gratuit➲ Si vous souhaitez signaler une  erreur merci de nous envoyer un commentaire