Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 12
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique ( 3 points )
On considère la suite numérique \((u_{n})\) définie par: ∀ n∊IN :
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n} e^{-u_{n}}\end{array}\)
1) Montrer par récurrence que ∀ n∊IN: \(u_{n}>0\)
2) a) Vérifier que ∀ n∊N:
\(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{1}{e^{u_{n}}}\)
puis en déduire que la suite \((u_{n})\) est décroissante et qu’elle est convergente.
b) En déduire que pour tout n dans IN: \(u_{n}<1\)
c) Montrer que: \(\lim_{n➝+∞} u_{n}=1\)
3) Soit \((w_{n})\)la suite numérique auxiliaire définie par:
∀ n∊IN: \(w_{n}=\ln (u_{n}\))
* Montrer que ∀ n∊IN: \(u_{n}=w_{n}-w_{n+1}\)
4) On pose pour tout n dans IN la somme \(S_{n}\) telle que:
\(S_{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n-1}\)
a) Montrer que pour tout n dans IN: \(S_{n}=w_{0}-w_{n}\)
b) Calculer \(\lim_{n➝+∞} S_{n}\)
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation : 4z²-2z+1=0.
2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé(\(0,\vec{u},\vec{v}\)).
Les points A, B, C et D d’affixes respectives:
\(z_{A}=2i \quad ; \quad z_{B}=2 \quad ; \quad z_{c}=4+6i \quad ; \quad z_{D}=-1+i\).
a) Montrer que \(\frac{z_{c}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=2i\).
b) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A et AC=2×AB.
c) Calculer la surface du triangle ABC.
3) Soit M'(z’) l’image du point M(z) par la translation \(T\) de vecteur\(\overrightarrow{BA}\).
a) Vérifier que z’=z-2+2i.
b) Déterminer \(z_{E}\) ‘ »affixe du point E image du point D » par la translation \(T\).
4) Déterminer (E) l’ensemble des points M d’affixe z telle que: \(|i z-2i|=\sqrt{5}\).
* Fonction logarithmique et exponentielle ( 3 points )
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a) (ln(x))²-2ln(x)+1=0 ;
b) \(e^{1-2 lnx}=\frac{1}{e^{-1}}\)
2) Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes:
a) \(g(x)=\frac{1}{x(1-lnx)}\)
b) \(h(x)=ln(e^{-x}-e)\)
3) On considère la fonction numérique \(f\) définie par ;
\(\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{e^{x+1}-e}{3 x} \quad ; x \neq 0 \\ f(0)=-2\end{array}.\)
– Montrer que la fonction \(f\) est discontinue au point d’abscisse \(x_{0}=0\)
4) Montrer les égalités suivantes:
a) \(ln(\frac{x^{3} \sqrt{y}}{e^{2}})=3lnx+\frac{1}{2}lny-2\)
b) \(\sqrt{3} e^{ln2-ln 5}×ln(\frac{1}{e^{-\frac{5}{2}}})=\sqrt{3}\)
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Partie I
Soit \(g\) la fonction numérique définie dans IR par:
\(g(x)=2+(x-1) e^{-x}\)
1) Montrer que:
\(\lim _{x➝+∞} g(x)=2\) et \(\lim _{x➝-∞} g(x)=-∞\)
2) a) Montrer que pour tout x dans IR: \(g'(x)=(2-x) e^{-x}\)
b) Montrer que l’équation g(x)=0:
admet une unique solution α dans l’intervalle ]-0.38,-0.37[
c) Dresser le tableau de variation de la fonction \(g\).
d) En déduire que ∀x<α ; g(x)<0 et ∀ x>a ; g(x)>0
Partie II
On considère la fonction numérique \(f\) définie dans IR par :
\(f(x)=2 x+1-x e^{-x}\)
Soit \((C_{f})\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormé (\(0,\vec{u},\vec{j}\)) (unité : \(1 cm\) ).
1) a) Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞}[f(x)-(2 x+1)]\)
et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
2) a) Montrer que \(\lim _{x➝-∞}f(x)=+∞\)
b) Montrer que \(\lim _{x➝-∞}\frac{f(x)}{x}=-∞,\)
puis en déduire que la courbe \((C_{f})\) admet une branche parabolique et préciser sa direction.
3) Etudier la position relative de la courbe \((C_{f})\)
et la droite (Δ) d’équation y=2 x+1 pour tout x dans IR
4) a) Montrer que ∀x∈R: \(f ‘(x)=g(x)\)
b) En déduire que ∀x<α: f ‘(x)≤0 et ∀x>α : f ‘(x)≥0
c) Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\)
5) Ecrire l’équation cartésienne de la tangente (T) a \((C_{f})\) au point d’abscisse \(x_{0}=1\)
6) Soit \(h\) la restriction de la fonction f sur l’intervalle I=]-∞,α[
Montrer que:
la fonction h admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie dans l’intervalle J à déterminer.
7) Construire, dans le même repère \((O, \vec{l},\vec{j})\)
la droite (Δ), la tangente (T) et la courbe \((C_{f})\).
on prend f(α)=0.8.
Partie III
1) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que
\(\int_{0}^{1}x e^{-x} d x=1-\frac{2}{e}\)
2) Calculer en cm² l’aire du domine plan délimité par la droite (Δ),
la courbe \((C_{f})\) et les deux droites d’équations x=0 et x=1.
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