Examen Bac 2 2020 Math Préparation 02

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 02

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Nombres complexes (4 points )

* Suite Numérique (3 points )

* Intégrale (2 points )
* Fonction Exponentiel (2 points )
* Etude d’une fonction numérique (9 points )

* Nombre Complexe (4 points )

I. Résoudre dans C l’équation z²-2z+26=0.

II. Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe \(( O , \vec{i}, \vec{j})\)
on considère les points A, B et C d’affixe respectivement \(z_{A}\)=1+5 i , \(z _{B}\)=1-5 i et \( z _{C}=\frac{7}{2}\)
1) Soit le point M’ (z’) image du point M (z) par la transformation \(T\) définie par l’expression complexe \(z’=\frac{-3}{5} z+\frac{56}{10}\)
a – Montrer que \(T\) est une homothétie de centre C et de rapport \(-\frac{3}{5}\)
b- Montrer que l’affixe du point H l’image du point B par l’homothétie \(T\) est z=5+3 i
2) a – Montrer que \(\frac{z_{H}-z_{A}}{z_{C}-z_{B}}=\frac{-4}{5} i \)
-b- Déterminer une mesure principale de l’angle orienté \((\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AH}),\) puis déduire que \([A H ]\) est une hauteur du triangle.

* Suite Numérique (3 points )

On considère la suite \((u _{n})\) définie par: \(u _{0}=2\) et ∀ n∊IN : \(u_{n+1}=\frac{2 u _{n}- 9 }{ u _{n}-4}\)

1) Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)

2) a- Montrer par la récurrence que ∀ n∊IN : \(3-u_{n} > 0\)

b – Montrer que: ∀n∊\(N\) \(u_{n+1}- u_{n}=\frac{(u_{n}-3)^{2}}{4- u_{n}}\).

c – Déduire que la suite \(\left( u _{n}\right)\) est croissante, puis déduire qu’elle est convergente

3) Soit la suite \(( v_{ n })\) definie par, ∀ n∊IN : \(v_{ n }=\frac{1}{ u_{n}-3}\)

a – Calculer \(v _{0}\)

b – Montrer que ∀ n∊IN : \(v_{n+1}=\frac{4- u_{n}}{ u_{n}-3}\)

c -Vérifier que ∀ n∊IN : \(v_{n+1}- v_{n} = -1,\) puis déduire que \(: v_{n}= – 1 – n \)

d – Montrer que ∀ n∊IN : \(u _{n}=\frac{1+3 v_{n}}{v _{n}}\)

puis déduire que \(: u _{n}=\frac{3 n +2}{ n +1}\)

e – Calculer limite de la suite \(( u _{n})\).

* Intégrale (2 points )

On considère l’intégrale \(I =\int_{1}^{e} x (\ln x )^{2} d x\)

1) a – Vérifier que la fonction \(x : \mapsto \frac{1}{2} x ^{2} \ln x -\frac{1}{4} x ^{2}\)

est la primitive de la fonction \(x : \mapsto x \ln ( x )\) sur l’intervalle [1,e]

b – Déduire que \(I=\int_{1}^{e} x \ln (x) d x=\frac{e^{2}+1}{4}\)

2) En utilisant l’intégration par partie Montrer que \(I=\frac{e^{2}-1}{4}\)

* Fonction Exponentielle (2 points )

1) Résoudre dans IR les équations suivantes:

a – \(e^{x}+6 e^{-x}+5 = 0\)
b – \(e^{2 x+\ln 3}+e^{x+\ln 2}-1 = 0\)
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a – \(e^{2 x}-6 e^{x}+8 ≥ 0\)
b – \(e^{2 x+\ln 5}-13 e^{x}-6 ≤ 0\)

* Etudes de Fonctions ( 9 points )

Partie A:

Soit la fonction g définie sur IR par: \(g ( x )=e^{x}+2 x – e ^{- x }\)

1) Calculer pour tout x ∊ [0,+∞[ g ‘ ( x ) .

2) Calculer \(\lim _{x➝+∞} g(x),\) puis dresser le tableau de variations de g sur l’intervalle [0,+∞[

3) On déduire que ∀ x∊]0,+∞[ : g(x)>0

Partie B:

On considère la fonction \(f\) définie sur IR par \(f ( x )= x -\frac{2 x }{ e ^{x}+1}\)

Soit \(( C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé\(( O , \overrightarrow{ i }, \overrightarrow{ j })\)

1) a – Montrer que l’ensemble de définition de \(f\) est IR

b – Vérifier que ∀ x ∊ IR : \(\frac{2 x e^{x}}{e^{-x}+1}=2 x-\frac{2 x}{e^{x}+1}\)

c – Montrer que la fonction \(f\) est paire

2) a -Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x) = +∞\)

b – Montrer que ∀ x ∊ IR : \(f ‘ (x)=\frac{e^{x} g(x)}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}\)

c – En déduire que \(f\) est strictement croissante sur [0,+∞[

d- Dresser le tableau de variation de \(f\) sur IR

2) Montrer que la droite (Δ): y = x une asymptote oblique à la courbe \(( C_{f})\) au voisinage de +∞

3) Tracer \(( C_{f})\)

5) a – Montrer que ∀ x ∊ [0,ln(2)] : \(\frac{-2 x }{e^{x}+1} ≤ \frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)

b – Déduire que ∀ x ∊ [0,ln(2)] : 0 ≤ f(x) ≤\(\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)

6) Soit A la surface de la portion du plan délimité par la courbe \(( C _{f})\) et l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x=0 et x=ln 2.

Montrer que \(0 ≤ A ≤ \frac{1}{2}(\ln 2)^{2}+\ln (\frac{3}{2})\)

Partie C:

On considère la suite \((u_{n})\) définie par:

\(u _{0}=1\) et ∀ n ∊ IN : \(u _{n+1}= f(u _{n})\)
1) Montrer que ∀ n ∊ IN : \(0 < u_{n} < 1\)

2) Etudier la monotonie de suite (\(u _{n}\))

3) Déduire que (\(u _{n}\)) est convergente, puis calculer \(\lim _{n➝+∞}u_{n}\).

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