Examen Bac 2 2020 Math Préparation 02

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 02

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Nombres complexes (4 points )

* Suite Numérique (3 points )

* Intégrale (2 points )
* Fonction Exponentiel (2 points )
* Etude d’une fonction numérique (9 points )

* Nombre Complexe (4 points )

I. Résoudre dans C l’équation z²-2z+26=0.

II. Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe $(O, \vec{i}, \vec{j})$
on considère les points A, B et C d’affixe respectivement $z_{A}$ =1+5 i , $z_{B}$ =1-5 i et $z_{C} = \frac{7}{2}$
1) Soit le point M’ (z’) image du point M (z) par la transformation $T$ définie par l’expression complexe $z^{'} = \frac{- 3}{5} z + \frac{56}{10}$
a – Montrer que $T$ est une homothétie de centre C et de rapport $- \frac{3}{5}$
b- Montrer que l’affixe du point H l’image du point B par l’homothétie $T$ est z=5+3 i
2) a – Montrer que $\frac{z_{H} - z_{A}}{z_{C} - z_{B}} = \frac{- 4}{5} i$
-b- Déterminer une mesure principale de l’angle orienté $(\vec{B C}; \vec{A H}),$ puis déduire que $[A H]$ est une hauteur du triangle.

* Suite Numérique (3 points )

On considère la suite

(u_{n})

définie par:

u_{0} = 2

et ∀ n∊IN :

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} - 9}{u_{n} - 4}

1) Calculer

u_{1}

u_{2}

2) a- Montrer par la récurrence que ∀ n∊IN :

3 - u_{n} > 0

b – Montrer que: ∀n∊

N

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(u_{n} - 3)^{2}}{4 - u_{n}}

c – Déduire que la suite

(u_{n})

est croissante, puis déduire qu’elle est convergente

3) Soit la suite

(v_{n})

definie par, ∀ n∊IN :

v_{n} = \frac{1}{u_{n} - 3}

a – Calculer

v_{0}

b – Montrer que ∀ n∊IN :

v_{n + 1} = \frac{4 - u_{n}}{u_{n} - 3}

c -Vérifier que ∀ n∊IN :

v_{n + 1} - v_{n} = - 1,

puis déduire que

: v_{n} = - 1 - n

d – Montrer que ∀ n∊IN :

u_{n} = \frac{1 + 3 v_{n}}{v_{n}}

puis déduire que

: u_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}

e – Calculer limite de la suite

(u_{n})

* Intégrale (2 points )

On considère l’intégrale

I = \int_{1}^{e} x (\ln x)^{2} d x

1) a – Vérifier que la fonction

x :\mapsto \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2}

est la primitive de la fonction

x :\mapsto x \ln (x)

sur l’intervalle [1,e]

b – Déduire que

I = \int_{1}^{e} x \ln (x) d x = \frac{e^{2} + 1}{4}

2) En utilisant l’intégration par partie Montrer que

I = \frac{e^{2} - 1}{4}

* Fonction Exponentielle (2 points )

1) Résoudre dans IR les équations suivantes:

a – $e^{x} + 6 e^{- x} + 5 = 0$
b – $e^{2 x + \ln 3} + e^{x + \ln 2} - 1 = 0$
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a – $e^{2 x} - 6 e^{x} + 8 \geq 0$
b – $e^{2 x + \ln 5} - 13 e^{x} - 6 \leq 0$

* Etudes de Fonctions ( 9 points )

Partie A:

Soit la fonction g définie sur IR par:

g (x) = e^{x} + 2 x - e^{- x}

1) Calculer pour tout x ∊ [0,+∞[ g ‘ ( x ) .

2) Calculer

lim_{x ➝ + \infty} g (x),

puis dresser le tableau de variations de g sur l’intervalle [0,+∞[

3) On déduire que ∀ x∊]0,+∞[ : g(x)>0

Partie B:

On considère la fonction

f

définie sur IR par

f (x) = x - \frac{2 x}{e^{x} + 1}

Soit

(C_{f})

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1) a – Montrer que l’ensemble de définition de

f

est IR

b – Vérifier que ∀ x ∊ IR :

\frac{2 x e^{x}}{e^{- x} + 1} = 2 x - \frac{2 x}{e^{x} + 1}

c – Montrer que la fonction

f

est paire

2) a -Montrer que

lim_{x ➝ + \infty} f (x) = + \infty

b – Montrer que ∀ x ∊ IR :

f ‘ (x) = \frac{e^{x} g (x)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}

c – En déduire que

f

est strictement croissante sur [0,+∞[

d- Dresser le tableau de variation de

f

sur IR

2) Montrer que la droite (Δ): y = x une asymptote oblique à la courbe

(C_{f})

au voisinage de +∞

3) Tracer

(C_{f})

5) a – Montrer que ∀ x ∊ [0,ln(2)] :

\frac{- 2 x}{e^{x} + 1} \leq \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

b – Déduire que ∀ x ∊ [0,ln(2)] : 0 ≤ f(x) ≤

\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

6) Soit A la surface de la portion du plan délimité par la courbe

(C_{f})

et l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x=0 et x=ln 2.

Montrer que

0 \leq A \leq \frac{1}{2} (\ln 2)^{2} + \ln (\frac{3}{2})

Partie C:

On considère la suite

(u_{n})

définie par:

u_{0} = 1

et ∀ n ∊ IN :

u_{n + 1} = f (u_{n})

1) Montrer que ∀ n ∊ IN :

0 < u_{n} < 1

2) Etudier la monotonie de suite (

u_{n}

)

3) Déduire que (

u_{n}

) est convergente, puis calculer

lim_{n ➝ + \infty} u_{n}

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