Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 16
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (4.25 points )
* Nombres complexes (4.75 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique (4.25 points )
On considere la suite ((u_{n})_{n ∈N }) definie par:
({begin{array}{l}u_{0}=frac{1}{2} \ u_{n+1}=frac{u_{n}}{2-u_{n}} ;(∀ n ∈N )end{array}.)
1. (a) Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN: 0<u_{n}<1
(b) Montrer que:
la suite ((u_{n})_{n ∈N }) est décroissante.
(c) En déduire que:
la suite ((u_{n})_{n ∈N }) est convergente.
2. On considère la suite ((v_{n})_{n ∈N })
définie sur IN par: (v_{n}=frac{u_{n}}{1-u_{n}})
a) Montrer que: ((v_{n})_{n ∈N }) est une suite géométrique
de raison (q=frac{1}{2})
b) Exprimer (v_{n}) en fonction de n
c) Déduire alors que:
pour tout n ∈N : (u_{n}=frac{1}{1+2^{n}})
d) Déterminer (lim _{n ⟶+∞} u_{n})
3. On pose pour tout n ∈N : ( S_{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n})
a) Montrer que pour tout n ∈IN :
(S_{n}=2-(frac{1}{2})^{n})
b) Calculer alors (lim _{n⟶+∞} S_{n}).
* Nombres complexes (4.75 points )
On considère dans le plan complexe (( P ))
rapporté à un repère orthonormé direct ((O, vec{u}, vec{v}))
les points A, B,C et D d’affixes respectives:
(z_{A}=-sqrt{2}), (z_{B}=1+i), (z_{C}=1-i) et (z_{D}=2+sqrt{2})
1. Résoudre dans ℂ l’équation: (z^{2}-2 z+2=0)
2. a) Montrer que:
(z_{B}-z_{A}=(frac{sqrt{2}}{2}+i frac{sqrt{2}}{2})(z_{C}-z_{A}))
b) Écrire (frac{sqrt{2}}{2}+i frac{sqrt{2}}{2}) sous forme exponentielle.
c) Montrer que: ((overrightarrow{AC}, overrightarrow{AB}) ≡ frac{π}{4}[2 π])
et calculer (frac{AB}{A C})
d) En déduire que: B est l’image de C par la rotation (R)
de centre A et d’angle (frac{π}{4})
3. a) Montrer que ACDB est un losange.
b) Montrer que: ((overrightarrow{AD},overrightarrow{A B}) ≡ arg (1+sqrt{2}+i)[2 π])
c) En déduire que: (arg (1+sqrt{2}+i) equiv frac{π}{8}[2 π])
d) Écrire (1+sqrt{2}+i) sous forme trigonométrique.
4. Soit (Δ)l’ensemble des points (M (z)) vérifiant: (|z-1-i|=|z-1+i|)
a) Interpréter géométriquement l’égalité précédente
b) Montrer que (Δ) est la droite (OA).
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction (g) définie sur (R) par:
(g(x)=x+1-e^{x})
1. (a) Calculer: (lim _{x⟶-∞} g(x)) et (lim _{x⟶+∞} g(x))
(b) Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation.
2. Calculer (g(0)) et en déduire que ∀ x ∈R : g(x) ≤ 0.
Partie II: Étude d’une fonction
Soit (f) la fonction définie sur IR par:
(f(x)=frac{(x+1)^{2}}{e^{x}}-1)
On désigne par ((C_{f})) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})) tel que ((|vec{i}|=|vec{j}|=2 cm))
1. a) Montrer que: (lim _{x⟶+∞} f(x)=-1) et interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer :
(lim _{x⟶-∞} f(x)) et (lim _{x⟶-∞} frac{f(x)}{x},)
et interpréter graphiquement le résultat.
2.a) Montrer que:
(quad(∀ x ∈R ): f ‘(x)=(1-x^{2}) e^{-x})
b) Dresser le tableau de variation de la fonction (f)
3. Montrer que: la droite ((D)) d’équation (y=x) est tangente
à la courbe ((C_{f})) au point d’abscisse 0
4. a) Montrer que;
∀ x ∈R : (f(x)-x=(x+1) e^{-x} g(x))
b) En déduire la position relative de la courbe ((C_{f})) et la droite ((D))
5. Montrer que:
l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]2,3[
6. a) Montrer que: ∀ x ∈R : f « (x)=((x^{2}-2 x-1) e^{-x})
(b) Étudier la concavité de la courbe (C_{f}),
et en déduire que la courbe (C_{f}) admet deux points d’inflexion
dont on déterminera ses coordonnées.
7. Tracer la courbe ((C_{f})) et la droite (D)
( On prendra: α=2,5et (frac{4}{e}-1=0,5))
8. a) Montrer que la fonction:(H: x⟶-(x+2) e^{-x})
est une fonction primitive de la fonction
(h: x ⟶(x+1) e^{-x}) sur (R)
b) En déduire que:
(int_{0}^{1}(x+1) e^{-x} d x=2-frac{3}{e})
(c) En utilisant une intégration par partie,
montrer que:
(int_{0}^{1}(x+1)^{2} e^{-x} d x=10-frac{10}{e})
d) Calculer en cm² l’aire
du domaine délimité par la courbe (C_{f},) l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1.
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