Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 16

Durée de l’épreuve 3h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (4.25 points )
* Nombres complexes (4.75 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )

* Suite Numérique (4.25 points )

On considere la suite $(u_{n})_{n \in N}$ definie par:
${\begin{cases} u_{0} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 - u_{n}}; (\forall n \in N) \end{cases} .$
1. (a) Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN: 0<u_{n}<1
(b) Montrer que:
la suite $(u_{n})_{n \in N}$ est décroissante.
(c) En déduire que:
la suite $(u_{n})_{n \in N}$ est convergente.
2. On considère la suite $(v_{n})_{n \in N}$
définie sur IN par: $v_{n} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$
a) Montrer que: $(v_{n})_{n \in N}$ est une suite géométrique
de raison $q = \frac{1}{2}$
b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de n
c) Déduire alors que:
pour tout n ∈N : $u_{n} = \frac{1}{1 + 2^{n}}$
d) Déterminer $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n}$
3. On pose pour tout n ∈N : $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$
a) Montrer que pour tout n ∈IN :
$S_{n} = 2 - (\frac{1}{2})^{n}$
b) Calculer alors $lim_{n ⟶ + \infty} S_{n}$ .

* Nombres complexes (4.75 points )

On considère dans le plan complexe $(P)$
rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$
les points A, B,C et D d’affixes respectives:
$z_{A} = - \sqrt{2}$ , $z_{B} = 1 + i$ , $z_{C} = 1 - i$ et $z_{D} = 2 + \sqrt{2}$
1. Résoudre dans ℂ l’équation: $z^{2} - 2 z + 2 = 0$
2. a) Montrer que:
$z_{B} - z_{A} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) (z_{C} - z_{A})$
b) Écrire $\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$ sous forme exponentielle.
c) Montrer que: $(\vec{A C}, \vec{A B}) \equiv \frac{π}{4} [2 π]$

et calculer

\frac{A B}{A C}

d) En déduire que: B est l’image de C par la rotation

R

de centre A et d’angle

\frac{π}{4}

3. a) Montrer que ACDB est un losange.
b) Montrer que:

(\vec{A D}, \vec{A B}) \equiv a r g (1 + \sqrt{2} + i) [2 π]

c) En déduire que:

\arg (1 + \sqrt{2} + i) \equiv \frac{π}{8} [2 π]

d) Écrire

1 + \sqrt{2} + i

sous forme trigonométrique.
4. Soit (Δ)\l’ensemble des points

M (z)

vérifiant:

| z - 1 - i | = | z - 1 + i |

a) Interpréter géométriquement l’égalité précédente
b) Montrer que (Δ) est la droite (OA).

* Etude d’une fonction numérique (11 points )

Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction $g$ définie sur $R$ par:
$g (x) = x + 1 - e^{x}$
1. (a) Calculer: $lim_{x ⟶ - \infty} g (x)$ et $lim_{x ⟶ + \infty} g (x)$
(b) Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation.
2. Calculer $g (0)$ et en déduire que ∀ x ∈R : g(x) ≤ 0.

Partie II: Étude d’une fonction
Soit

f

la fonction définie sur IR par:

f (x) = \frac{(x + 1)^{2}}{e^{x}} - 1

On désigne par

(C_{f})

sa courbe représentative
dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

tel que

(‖ \vec{i} ‖ = ‖ \vec{j} ‖ = 2 c m)

1. a) Montrer que:

lim_{x ⟶ + \infty} f (x) = - 1

et interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer :

lim_{x ⟶ - \infty} f (x)

lim_{x ⟶ - \infty} \frac{f (x)}{x},

et interpréter graphiquement le résultat.
2.a) Montrer que:

(\forall x \in R) : f ‘ (x) = (1 - x^{2}) e^{- x}

b) Dresser le tableau de variation de la fonction

f

3. Montrer que: la droite

(D)

d’équation

y = x

est tangente
à la courbe

(C_{f})

au point d’abscisse 0
4. a) Montrer que;
∀ x ∈R :

f (x) - x = (x + 1) e^{- x} g (x)

b) En déduire la position relative de la courbe

(C_{f})

et la droite

(D)

5. Montrer que:
l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]2,3[
6. a) Montrer que: ∀ x ∈R : f « (x)=

(x^{2} - 2 x - 1) e^{- x}

(b) Étudier la concavité de la courbe

C_{f}

,
et en déduire que la courbe

C_{f}

admet deux points d’inflexion
dont on déterminera ses coordonnées.
7. Tracer la courbe

(C_{f})

et la droite (D)
( On prendra: α=2,5et

\frac{4}{e} - 1 = 0, 5)

8. a) Montrer que la fonction:

H : x ⟶ - (x + 2) e^{- x}

est une fonction primitive de la fonction

h : x ⟶ (x + 1) e^{- x}

sur

R

b) En déduire que:

\int_{0}^{1} (x + 1) e^{- x} d x = 2 - \frac{3}{e}

\int_{0}^{1} (x + 1)^{2} e^{- x} d x = 10 - \frac{10}{e}

d) Calculer en cm² l’aire

du domaine délimité par la courbe

C_{f},

l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1.
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Examen Bac 2 2020 Math Pré 16

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