* Suite Numérique (4.25 points )
* Nombres complexes (4.75 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
On considere la suite \((u_{n})_{n ∈N }\) definie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=\frac{1}{2} \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2-u_{n}} ;(∀ n ∈N )\end{array}.\)
1. (a) Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN: 0<u_{n}<1
(b) Montrer que:
la suite \((u_{n})_{n ∈N }\) est décroissante.
(c) En déduire que:
la suite \((u_{n})_{n ∈N }\) est convergente.
2. On considère la suite \((v_{n})_{n ∈N }\)
définie sur IN par: \(v_{n}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}\)
a) Montrer que: \((v_{n})_{n ∈N }\) est une suite géométrique
de raison \(q=\frac{1}{2}\)
b) Exprimer \(v_{n}\) en fonction de n
c) Déduire alors que:
pour tout n ∈N : \(u_{n}=\frac{1}{1+2^{n}}\)
d) Déterminer \(\lim _{n ⟶+∞} u_{n}\)
3. On pose pour tout n ∈N : \( S_{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n}\)
a) Montrer que pour tout n ∈IN :
\(S_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n}\)
b) Calculer alors \(\lim _{n⟶+∞} S_{n}\).
On considère dans le plan complexe \(( P )\)
rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\)
les points A, B,C et D d’affixes respectives:
\(z_{A}=-\sqrt{2}\), \(z_{B}=1+i\), \(z_{C}=1-i\) et \(z_{D}=2+\sqrt{2}\)
1. Résoudre dans ℂ l’équation: \(z^{2}-2 z+2=0\)
2. a) Montrer que:
\(z_{B}-z_{A}=(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2})(z_{C}-z_{A})\)
b) Écrire \(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\) sous forme exponentielle.
c) Montrer que: \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}) ≡ \frac{π}{4}[2 π]\)
d) En déduire que: B est l’image de C par la rotation \(R\)
de centre A et d’angle \(\frac{π}{4}\)
3. a) Montrer que ACDB est un losange.
b) Montrer que: \((\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A B}) ≡ arg (1+\sqrt{2}+i)[2 π]\)
c) En déduire que: \(\arg (1+\sqrt{2}+i) \equiv \frac{π}{8}[2 π]\)
d) Écrire \(1+\sqrt{2}+i\) sous forme trigonométrique.
4. Soit (Δ)\l’ensemble des points \(M (z)\) vérifiant: \(|z-1-i|=|z-1+i|\)
a) Interpréter géométriquement l’égalité précédente
b) Montrer que (Δ) est la droite (OA).
Partie I: fonction auxiliaire
On considère la fonction \(g\) définie sur \(R\) par:
\(g(x)=x+1-e^{x}\)
1. (a) Calculer: \(\lim _{x⟶-∞} g(x)\) et \(\lim _{x⟶+∞} g(x)\)
(b) Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation.
2. Calculer \(g(0)\) et en déduire que ∀ x ∈R : g(x) ≤ 0.
Soit \(f\) la fonction définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{e^{x}}-1\)
On désigne par \((C_{f})\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) tel que \((\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2 cm)\)
1. a) Montrer que: \(\lim _{x⟶+∞} f(x)=-1\) et interpréter graphiquement le résultat.
b) Calculer :
\(\lim _{x⟶-∞} f(x)\) et \(\lim _{x⟶-∞} \frac{f(x)}{x},\)
et interpréter graphiquement le résultat.
2.a) Montrer que:
\(\quad(∀ x ∈R ): f ‘(x)=(1-x^{2}) e^{-x}\)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\)
3. Montrer que: la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) est tangente
à la courbe \((C_{f})\) au point d’abscisse 0
4. a) Montrer que;
∀ x ∈R : \(f(x)-x=(x+1) e^{-x} g(x)\)
b) En déduire la position relative de la courbe \((C_{f})\) et la droite \((D)\)
5. Montrer que:
l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]2,3[
6. a) Montrer que: ∀ x ∈R : f « (x)=\((x^{2}-2 x-1) e^{-x}\)
(b) Étudier la concavité de la courbe \(C_{f}\),
et en déduire que la courbe \(C_{f}\) admet deux points d’inflexion
dont on déterminera ses coordonnées.
7. Tracer la courbe \((C_{f})\) et la droite (D)
( On prendra: α=2,5et \(\frac{4}{e}-1=0,5)\)
8. a) Montrer que la fonction:\(H: x⟶-(x+2) e^{-x}\)
est une fonction primitive de la fonction
\(h: x ⟶(x+1) e^{-x}\) sur \(R\)
b) En déduire que:
\(\int_{0}^{1}(x+1) e^{-x} d x=2-\frac{3}{e}\)
(c) En utilisant une intégration par partie,
montrer que:
\(\int_{0}^{1}(x+1)^{2} e^{-x} d x=10-\frac{10}{e}\)
d) Calculer en cm² l’aire
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Examen Bac 2 2020 Math Pré 16