Examen Bac 2 2020 Math Préparation 09

Sujet Maths Bac 2 2020 Math Préparation 09
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Primitive et Intégrale  (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
 
 
 * Suite Numérique   ( 3  points )

1) Résoudre dans R l’équation x²+x-2=0
2) En déduire les solutions de l’équation:

ex+1−2e−x=0 dans IR.
3) Résoudre dans R l’inéquation (ex−1)(ex+2) ≥ 0
4) On considère la somme Sn telle que ∀n∊IN :
Sn=1+1e+1e²+…+1en
Montrer que ∀ n∊IN :
Sn=e−(1e)ne−1
puis en déduire que limn⇾+∞Sn=ee−1

 

 
 * Nombre Complexe    (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation z²-2 z+8=0
2) On considère dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé  et direct (O,u→,v→) 
les points  B C et D d’affixes respectives: a=2-2 i,b=3,c=4+2 i ,d=1+i
Calculer c−ba−b, puis en déduire que les points A B et C sont alignés.
3) Soit M'(z’) image du point M(z) par la rotation R de centre D et d’angle π2
a) Montrer que z’=iz+2
b) Vérifie que le point C est l’image du point A par la rotation R
c) Montrer que c−da−d=i, 
puis en déduire que le triangle ACD est rectangle et isocèle en D
 * Primitive et Intégrale    ( 3  points ) 
f(x)=x+1−(x²+1)ex ; x∈IR
(Cf) courbe de f (unité: cm²)
1) Montrer que (Cf) est en dessous de (D): y=x+1
2) Montrer que H:x➝(x−1)ex est une primitive de h:x➝xex
3) Calculer : I=∫−10xexdx

 

4) Calculer en utilisant une intégration par parties : 
J=∫−10(x²+1)exdx
5) Calculer I=∫01f(x)dx
6) Calculer en cm²  l’aire du domaine délimité par la courbe (Cf)
la droite (D), l’axe (Oy) et la droite d’équation x=-1.
 
 * Etudes de Fonctions    ( 11  points ) 
Partie I
Soit g  la fonction numérique définie par: ∀x ∈] 0,+∞[; g(x)=x+2-2ln x
1) a) Montrer que ∀x>0 ; g'(x)=x−2x puis dresser le tableau de variation de la fonction g.
b) En déduire que g(x)>0 pour tout x dans l’intervalle ] 0,+∞[
(on prend ln2<2)
 
Partie II
On considère la fonction numérique définie sur l’intervalle] 0,+∞[ par :f(x)=x-1+2ln x-(ln x)²
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f 
dans uns repère orthonormé (O,i→,j→) (unité:3 cm) 
1) a) Vérifie que  ∀x>0: f(x)=x-1+lnx(2-lnx)
b) En déduire que limx⇾0x>0f(x)=-∞ puis interpréter géométriquement le résultat.
c) Calculer limx⟶+∞f(x) puis montrer que limx⟶+∞(ln⁡x)2x=0 (on pose t=x )
d) Montrer que limx→+∞f(x)x=1 et que limx→+∞f(x)−x=−∞, 
puis en déduire que la courbe Cf admet une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite (D) d’équation y=x au voisinage de +∞.
e) Montrer que ∀ x>0: f(x)-x=-(1-Inx)² puis en déduire que Cf située en dessous de la droite (D)
2) a) Montrer que pour tout x dans l’intervalle ] 0,+∞[:
f‘(x)=g(x)x
b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ] 0,+∞[
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f
sur l’intervalle ] 0,+∞[
d) Déterminer I’équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse x0=1
3) Construire, dans le même repère (O,u→,v→) la tangente (T),
la droite (D) et la courbe Cf

 

 
Partie III

On considère la suite numérique (un définie par:
u0=3 et ∀ n∈IN: un+1=f(un)

1) Calculer u1
2) Montrer par récurrence que ∀nЄN : e<un<3
3) Montrer que la suite (un est décroissante
(on pourra utiliser le résultat de la question (1-e))
4) En déduire que la suite un est convergente et déterminer sa limite.
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