Sujet Maths Bac 2 2020 Math Préparation 09Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:* Suite Numérique (3 points )* Nombres complexes (3 points )* Primitive et Intégrale (3 points )* Etude d’une fonction numérique (11 points ) * Suite Numérique ( 3 points )
1) Résoudre dans R l’équation x²+x-2=0
2) En déduire les solutions de l’équation:
(e^{x}+1-2 e^{-x}=0) dans IR.
3) Résoudre dans R l’inéquation ((e^{x}-1))((e^{x}+2)) ≥ 0
4) On considère la somme (S_{n}) telle que ∀n∊IN :
(S_{n}=1+frac{1}{e}+frac{1}{e²}+…+frac{1}{e^{n}})
Montrer que ∀ n∊IN :
( S_{n}=frac{e-left(frac{1}{e}right)^{n}}{e-1})
puis en déduire que (lim _{n ⇾+∞} S_{n}=frac{e}{e-1})
* Nombre Complexe (3 points )1) Résoudre dans l’ensemble C l’équation z²-2 z+8=02) On considère dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé et direct ((O, vec{u}, vec{v})) les points B C et D d’affixes respectives: a=2-2 i,b=3,c=4+2 i ,d=1+iCalculer (frac{c-b}{a-b},) puis en déduire que les points A B et C sont alignés.3) Soit M'(z’) image du point M(z) par la rotation R de centre D et d’angle (frac{π}{2})a) Montrer que z’=iz+2b) Vérifie que le point C est l’image du point A par la rotation Rc) Montrer que (frac{c-d}{a-d}=i,) puis en déduire que le triangle ACD est rectangle et isocèle en D * Primitive et Intégrale ( 3 points ) (f(x)=x+1-(x²+1) e^{x}) ; x∈IR
((C_{f})) courbe de f (unité: cm²)
1) Montrer que ((C_{f})) est en dessous de (D): y=x+1
2) Montrer que (H: x➝(x-1)e^{x}) est une primitive de (h: x➝xe^{x})
3) Calculer : (I=int_{-1}^{0} x{e}^{x}d x)
4) Calculer en utilisant une intégration par parties : (J=int_{-1}^{0} (x²+1){e}^{x}d x)5) Calculer (I=int_{0}^{1} f(x) d x)6) Calculer en cm² l’aire du domaine délimité par la courbe ((C_{f}))la droite (D), l’axe (Oy) et la droite d’équation x=-1. * Etudes de Fonctions ( 11 points ) Partie ISoit g la fonction numérique définie par: ∀x ∈] 0,+∞[; g(x)=x+2-2ln x1) a) Montrer que ∀x>0 ; g'(x)=(frac{x-2}{x}) puis dresser le tableau de variation de la fonction g.b) En déduire que g(x)>0 pour tout x dans l’intervalle ] 0,+∞[(on prend ln2<2) Partie IIOn considère la fonction numérique définie sur l’intervalle] 0,+∞[ par :f(x)=x-1+2ln x-(ln x)²Soit (C_{f}) la courbe représentative de la fonction (f) dans uns repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})) (unité:3 cm) 1) a) Vérifie que ∀x>0: f(x)=x-1+lnx(2-lnx)b) En déduire que (lim _{x⇾0 atop x>0})f(x)=-∞ puis interpréter géométriquement le résultat.c) Calculer (lim _{x⟶+∞} f(x)) puis montrer que (lim _{x⟶+∞ } frac{(ln x)^{2}}{x}=0) (on pose (t=sqrt{x}) )d) Montrer que (lim _{x rightarrow+infty} frac{f(x)}{x}=1) et que (lim _{x rightarrow+infty} f(x)-x=-infty,) puis en déduire que la courbe (C_{f}) admet une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite (D) d’équation y=x au voisinage de +∞.e) Montrer que ∀ x>0: f(x)-x=-(1-Inx)² puis en déduire que (C_{f}) située en dessous de la droite (D)2) a) Montrer que pour tout x dans l’intervalle ] 0,+∞[:(f ‘(x)=frac{g(x)}{x})
b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ] 0,+∞[
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f
sur l’intervalle ] 0,+∞[
d) Déterminer I’équation de la tangente (T) à (C_{f}) au point d’abscisse (x_{0}=1)
3) Construire, dans le même repère ((O,vec{u},vec{v})) la tangente (T),
la droite (D) et la courbe (C_{f})
Partie III
On considère la suite numérique ((u_{n}) définie par:
(u_{0}=3) et ∀ n∈IN: (u_{n+1}=f(u_{n}))
1) Calculer (u_{1})
2) Montrer par récurrence que ∀nЄN : (e<u_{n}<3)
3) Montrer que la suite ((u_{n}) est décroissante
(on pourra utiliser le résultat de la question (1-e))
4) En déduire que la suite (u_{n}) est convergente et déterminer sa limite.➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire