Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 19 Avec Correction

Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 19
Avec Correction
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Etude d’une fonction numérique
* Suite Numérique
* Nombres complexes
 
 * Etude d’une fonction numérique 
Partie I
On considère la fonction f définie par: f(x)=1+e−x−x 
On note (Cf) sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O,i→,j→)
d’unité 1cm.
1 Montrer que l’ensemble de définition de f est IR
2) a) Calculer limx➝−∞f(x) et limx➝−∞f(x)x
b En déduire que:
 la courbe (Cf) présente une branche parabolique au voisinage -∞ 
dont on précisera la direction.
3- a) Calculer limx➝+∞f(x), 
puis montrer que la droite (D) d’équation y=−x+1 est une asymptote 
à la courbe (C) au voisinage +∞.
b Etudier la position relative de la courbe (Cf) par rapport la droite (D)
4 Montrer que:
 pour tout x de IR: f‘(x)=−(1+e−x21+e−x)
b Montrer que f est strictement décroissante sur IR.
c Établir le tableau de variations de f sur IR.
5. Montrer que:
l’équation f(x)=0 admet une seule solution α tel que 1<α<\ln (4)
6 Construire la courbe (Cf) et la droite ( D ) dans le repère (O,i→,j)
7 a Montrer que: la fonction f admet une fonction réciproque f−1 
de IR vers un intervalle J à déterminer.
b Déterminer le sens de variations de f−1 sur J
Montrer que f−1 est dérivable en 2 
et que (f−1)‘(2)=−81+8 
(Remarque que f(0)=2)
d) Tracer, dans le même repère, la courbe représentative de f−1.
 
Partie II
On considère la fonction g définie sur IR par :
 g(x)=e−x×f(x) 
Et soit (Cg) la courbe représentative de g dans le repère 
(O,i→,j→)
1) Montrer que pour x de [0;1]:⇔g(x)>0
2) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
 ∫01xe−xdx=1−2e
3) Calculer en cm ^{2} l’aire du domaine délimité par la courbe (Cg) 
les deux axes du repère et la droite d’équation x=1.
 
 
 * Suite Numérique 
On considère la suite (un) définie par: u0=1
 et un+1=un−6un−4 pour tout n de IN*
1 Montrer que pour tout n de IN: 1≤un<2
2 Montrer que la suite (un) est croissante. 
En déduire que (un) est convergente.
3 On pose pour tout n de IN: vn=un−3un−2
a Montrer que:
la suite (vn) est géométrique dont on précisera la raison.
b En déduire: l’expression de vn en fonction de n 
et que  pour tout n de IN:
un=2n+2−32n+1−1
4 Déterminer la limite de la suite (un)
 
 * Nombres complexes 
1 Résoudre dans ℂ l’équation suivante: z2−2z+4=0
2 On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, 
les points A, B et C d’affixes respectives:
a=4; b=1−i3 et c=b¯
a Écrire chacun des nombres b et c sous forme trigonométrique
b Montrer que b−ac−a=ein3
c Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
3 Soit z l’affixe d’un point M
et z ‘ l’affixe du M ‘l’image de M
par la rotation IR de centre A et d’angle −π3
a Montrer que z‘=4+(12−i32)(z−4)
b Montrer que :
le point D d’affixe d=4+i23 est l’image de C par la rotation IR
4 Montrer que ABCD est un losange.
 
 
 
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Examen Bac 2  2020 Math 19

Correction Bac 2  2020 Math 19

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