Bac Economie et Gestion Session Principale 2019 Pdf Avec Correction

Bac Economie et Gestion Session Principale 2019 Pdf
Avec Correction

Durée de l’épreuve 2h

L’épreuve est composée de trois exercices et un problème

indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Calcule Matriciel (4.5 points )

* Statistique (4.5 points )

* Etude d’une fonction numérique (6 points )

* Suite Numérique (5 points )

* Calcule Matriciel (4.5 points )

A = (\begin{array}{ccc} 4 & - 2 & 6 \\ 3 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & - 3 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ - 2 & 5 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array})

On donne les matrices et

I_{3} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

1) a) Calculer le déterminant de

A

et déduire que la matrice A est inversible

b) Calculer la matrice

A \times (B - 2 I_{3})

puis déduire la matrice inverse de

A

2) Soit dans

R^{3}

le système

(S) :

{\begin{cases} 4 x - 2 y + 6 z = 1 \\ 3 x - y + 5 z = 2 \\ - x + y - 3 z = 1 \end{cases}

a) Existe-t-il un réel

α

pour que le triplet

(α, α, 0)

soit une solution de (S) Justifier votre réponse

b) Montrer que :

(a, b, c)

est solution de:

(S) si et seulement

s i (\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ - 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})

c) Résoudre alors dans $R³$ le système

(S)

* Statistique (4.5 points )

Dans le tableau suivant on donne l’évolution du prix moyen (en millimes)

d’un litre d’essence sans plomb entre les années 2009 et 2017

\begin{array}{lccccccccc} a n n é e & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017 \\ R a n g d e l^{'} a n n é e x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ P r i x m o y e n y_{i} & 1270 & 1320 & 1370 & 1420 & 1490 & 1570 & 1640 & 1670 & 1750 \end{array}

1) a) Représenter le nuage de points de la série statistique

(x_{i}; y_{i})

dans l’annexe ci-jointe.

b) Justifier que ce nuage permet d’envisager un ajustement affine.

c) Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer.

2) a) Déterminer par la méthode des moindres carrées

une équation cartésienne de la droite de régression D de y en x.

b) Tracer la droite D.

c) En utilisant cet ajustement,

estimer le prix moyen d’un litre d’essence sans plomb pour l’année 2023

* Etude d’une fonction numérique (6 points )

Soit la fonction

f

définie sur ]0,+∞[ par:

f(x)=(x-1)lnx et

C

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1) a) Calculer

lim_{x ➝ 0^{-}} f (x)

puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

b) calculer

lim_{x ➝ + \infty} f (x)

puis vérifier que

lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x} = + \infty

et interpreter graphiquement ce résultat.

2) Justifier que

f

est dérivable sur }]0,+∞[

et que

f ‘ (x) = l n x + \frac{x - 1}{x}

pour tout x∈]0,+∞[

3) a) Montrer que :

l n x

\frac{x - 1}{x}

sont de même signe

sur chacun des intervalles }]0,1[ ct ] 1,+∞[

b) Dresser alors le tableau de variations de

f

4) Tracer la courbe

C

5) Soit la fonction

F

définie sur ]0,+∞[ par:

F(x)=

\frac{x^{2}}{2} - x) l n x - \frac{x^{2}}{4} + x

a) Montrer que:

F

est une primitive de }

f

sur ]0,+∞[

b) Calculer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe

C

l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e

* Suite Numérique (5 points )

Soit la suite réelle

(u_{n})

définie sur IN par :

{\begin{cases} u_{0} = 0 \\ u_{n + 1} = \frac{2}{1 + u_{n}} p o u r t o u t n \in I N \end{cases} .

1) a) Calculer

u_{1}

u_{2}

et en déduire que la suite

(u_{n})

n’est pas monotone.

b) Montrer par récurrence que pour tout n∈IN : 0 ≤ u_{n} ≤ 2

2) Soit la suite

(v_{n})

définie sur IN par:

v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}

pour tout n∈IN

a) Montrer que :

la suite

(v_{n})

est géométrique de raison

- \frac{1}{2}

et déterminer

lim_{n ➝ + \infty} v_{n}

b) Montrer que pour tout n∈IN :

u_{n} = \frac{1 + 2 v_{n}}{1 - v_{n}}

c) En déduire que la suite

(u_{n})

est convergente.

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* Calcule Matriciel

1) a)

\det (A) = | \begin{array}{ccc} 4 & - 2 & 6 \\ 3 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & - 3 \end{array} |

\begin{array}{l} = 4 | \begin{array}{cc} - 1 & 5 \\ 1 & - 3 \end{array} | - (- 2) | \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} | \\ = 4 \times (- 2) + 2 \times (- 4) + 6 \times 2 \\ = - 4 \end{array}

Comme

\det (A) \neq 0,

alors la matrice

A

est inversible.

b) $B - 2 I_{3} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ - 2 & 5 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}) - (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})$
$= (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 3 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array})$
$A (B - 2 I_{3}) = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 6 \\ 3 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & - 3 \end{array}) (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 3 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array})$
$= (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) = 2 I_{3}$
$A (B - 2 I_{3}) = 2 I_{3} \Leftrightarrow A \times \frac{1}{2} (B - 2 I_{3}) = I_{3}$
Donc $A^{- 1} = \frac{1}{2} (B - 2 I_{3}) = (\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ - 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{array})$

2) a)

(α, α, 0)

est une solution de

(S)

\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 α - 2 α = 1 \\ 3 α - α = 2 \\ - α + α = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} α = \frac{1}{2} \\ α = 1 \\ 0 = 1 \end{matrix} \end{array}

Donc il n’existe aucun réel

α

pour lequel

(α, α, 0)

soit une solution de

(S)

(a, b, c)

est une solution de

(S)

(S) \Leftrightarrow (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ - 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{array}) \times (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \Leftrightarrow (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} \\ 0 \end{matrix})

S_{R^{3}} = {(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, 0)}

* Statistique

1) a) Le nuage

b) Le nuage a une forme allongée, donc un ajustement affine est possible.

\bar{x} = 5; \bar{y} = 1500; G (5, 1500)

2. a) Une équation de la droite

D

de régression de

x

y

est :

y = a x + b

Avec

a = 61

b = 1195

Donc

D : y = 61 x + 1195

b) 2023 correspond à

x = 15

On estime le prix moyen d’un litre d’essence sans plomb en 2023 à:

y = 61 \times 15 + 1195 = 2110

dinars.

* Etude d’une fonction numérique

1) a)

lim_{x ➝ 0^{+}} f (x)

= lim_{x ➝ 0^{+}} (x - 1) \ln x

=+∞
car

lim_{x ➝ 0^{+}} x - 1 = - 1

lim_{x ➝ 0^{+}} l n x = - \infty

⇒La droite d’équation

x = 0

est une asymptote verticale à la courbe

(C)

b) *

lim_{x ➝ + \infty} f (x)

= lim_{x ➝ + \infty} (x - 1) \ln x

=+∞
car

lim_{x ➝ + \infty} x - 1 = + \infty

lim_{x ➝ + \infty} \ln x = + \infty

lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x}

= lim_{x ➝ + \infty} \frac{x - 1}{x} \ln x

=+∞
car

lim_{x ➝ + \infty} \frac{x - 1}{x} = lim_{x ➝ + \infty} \frac{x}{x} = 1

lim_{x ➝ + \infty} \ln x = + \infty

$\Rightarrow$ La courbe
$(C)$ admet une branche parabolique au voisinage de $+ \infty$ de direction celle de l’axe des
ordonnées.
2) $\cdot La fonction x ⟼ x - 1 est dérivable sur R, en particulier sur] 0, + \infty [$
・ La fonction $x ⟼ \ln x est dérivable sur] 0, + \infty [$
Donc $f est dérivable sur] 0, + \infty [$
$f^{'} (x) = \ln x + (x - 1) \frac{1}{x} = \ln x + \frac{x - 1}{x}$
3) a)

b) Tableau de variation de

(f)

5) a) $F est dérivable sur] 0, + \infty [$
$\begin{aligned} F^{'} (x) & = (\frac{2 x}{2} - 1) \ln x + (\frac{x^{2}}{2} - x) \frac{1}{x} - \frac{2 x}{4} + 1 \\ = (x - 1) \ln x + (\frac{x^{2}}{2} - x) \frac{1}{x} - \frac{x}{2} + 1 \\ = (x - 1) \ln x + \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \frac{x}{2} + 1 \\ = (x - 1) \ln x + \frac{x}{2} - 1 - \frac{x}{2} + 1 = (x - 1) \ln x = f (x) \end{aligned}$

Donc

F

est une primitive de f sur] 0,+∞[
b) L’aire de la partie du plan limitée par la courbe

(C),

l’axe des abscisses

et les droites d’équations x=e et x=1 est:

\begin{array}{r} \begin{aligned} A & = \int_{1}^{e} | f (x) | d x \\ = \int_{1}^{e} f (x) d x car f (x) \geq 0 pour tout x \in [1, e] \\ = [F (x)]_{1}^{e} \\ = F (e) - F (1) \\ = (\frac{e^{2}}{2} - e) \ln e - \frac{e^{2}}{4} + e - ((\frac{1^{2}}{2} - 1) \ln 1 - \frac{1^{2}}{4} + 1) \\ = \frac{e^{2}}{2} - e - \frac{e^{2}}{4} + e - (- \frac{1}{4} + 1) \\ = \frac{e^{2}}{4} - \frac{3}{4} (u a) \end{aligned} \end{array}

* Suite Numérique

1) a)

u_{1} = \frac{2}{1 + u_{0}} = \frac{2}{1 + 0} = 2

u_{2} = \frac{2}{1 + u_{1}} = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3}

Comme

u_{0} < u_{2} < u_{1},

alors la suite

(u_{n})

n’est pas monotone.

0 \leq u_{0} = 0 \leq 2

vrai
Supposons que

0 \leq u_{n} \leq 2

et montres que

0 \leq u_{n + 1} \leq 2

\begin{aligned} 0 \leq u_{n} \leq 2 & \Leftrightarrow 1 \leq 1 + u_{n} \leq 3 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq \frac{1}{1 + u_{n}} \leq 1 \\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq \frac{2}{1 + u_{n}} \leq 2 \\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq u_{n + 1} \leq 2 \end{aligned}

Donc

0 \leq \frac{2}{3} \leq u_{n + 1} \leq 2

Conclusion :

0 \leq u_{n} \leq 2

pour tout

n \in I N

2) a)

v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}

v_{n + 1} = \frac{u_{n + 1} - 1}{u_{n + 1} + 2}

= \frac{\frac{2}{1 + u_{n}} - 1}{\frac{2}{1 + u_{n}} + 2}

= \frac{\frac{2 - 1 - u_{n}}{1 + u_{n}}}{\frac{2 + 2 + 2 u_{n}}{1 + u_{n}}}

= \frac{1 - u_{n}}{4 + 4 u_{n}}

= - \frac{1}{2} \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}

= - \frac{1}{2} v_{n}

Donc

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

q = - \frac{1}{2}

(v_{n})

est une suite géométrique de raison

q = - \frac{1}{2} \in] - 1, 1 [

alors

lim_{n ➝ + \infty} v_{n} = 0.

v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2} \Leftrightarrow v_{n} (u_{n} + 2) = u_{n} - 1

\Leftrightarrow v_{n} u_{n} + 2 v_{n} = u_{n} - 1

\Leftrightarrow u_{n} - v_{n} u_{n} = 1 + 2 v_{n}

\Leftrightarrow u_{n} (1 - v_{n}) = 1 + 2 v_{n}

\Leftrightarrow u_{n} = \frac{1 + 2 v_{n}}{1 - v_{n}}

lim_{n ➝ + \infty} u_{n} = lim_{n ➝ + \infty} \frac{1 + 2 v_{n}}{1 - v_{n}} = 1

(car

lim_{n ➝ + \infty} v_{n} = 0

)

Donc

(u_{n})