Examen Bac 2 2020 Math Préparation 01

1) Résoudre dans $R$ les équations suivantes:
a- ln (3x-2) + ln(-x+3)=ln (x+1)
b) ln(x²+1) -ln (2x-3)=ln (3x-1)
c) (ln x)² – ln(x⁴) + 3=0
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a) ln (x-2) + ln (2 x+1) ≥ ln (x²+2)
b) ln (-2 x + 2)-ln(x+3) ≥ ln (3 x+5)
c) (ln x)² – ln(x⁵) + 6 ≤ 0
d) -3(ln x)²+ln ($\sqrt{x}$ ) + 11 ≥ 0

 * Suite Arithmétique     (2,5 points )

1) On considère la suite $u_n$ définie par: $u_0=4$ et pour tout n∊$\mathbb{N}$ $u_{n+1}=\frac{6u_n-9}{u_n}$
a – Vérifier que $(\mathrm{\forall }n\in N)u_{n+1}-3=\frac{3(u_n-3)}{u_n}$
b – Montrer que $(\mathrm{\forall }n\in N)u_n>3$
2) Soit la suite $(v_n)$ définie par, pour tout n∊$\mathbb{N}$ $v_n=\frac{6}{3-u_n}$
a – Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$
b – Exprimer $v_n$ en fonction de $n,$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$
c – Calculer limite de la suite $(u_n)$.

 * Suite Géométrique   (3 points )

On considère la suite $u_n$ definie par: $u_0=3$ et pour tout n∊$\mathbb{N}$: $u_{n+1}=\frac{3}{4}{u}_n+3$
1) Montrer que (∀ n∊$\mathbb{N}$): $u_n<12$
2) Montrer que la suite $u_n$ est croissante et déduire qu’elle est convergente
3) Soit la suite $v_n$ définie par pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ $v_n=u_n-12$
a – Montrer que ( $v_n$ ) est une suite géométrique de raison $q=\frac{3}{4}$
b – $$ Montrer que $v_n=-9(\frac{3}{4}{)}^n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$
c – Calculer limite $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$
d – Déterminer la plus petite valeur de $n$ de $\mathbb{N}$ pour laquelle $u_n>11,0001$.

 * Nombre Complexe    (3 points )

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2+4\sqrt{3}z+16=0$
2) Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}),$
on considère les points A,B,C et D d’affixe respectivement $a=-2\sqrt{3}-2i,b=-2i,c=-\sqrt{3}+i$ et $d=\sqrt{3}+i$
a – Ecrire C et D sous la forme trigonométrique et déduire $d^{2016}+c^{2016}=2^{2017}$
b – Montrer que $\frac{b-d}{c-d}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, puis déduire la nature du triangle $BCD$
c – Montrer que le quadrilatère ABDC est un losange
3) On considère l’homothétie $h$ de centre B et qui transforme le point D au point E d’affixe $e=-3\sqrt{3}-11i$
a – Déterminer la valeur de $k$ le rapport de l’homothétie $h$
b – Déterminer l’affixe du point F l’image de A par $h$,
puis déduire que (A D) // (E F)
4) On considère la translation t qui transforme le point A au point D
a – Ecrire l’expression complexe de la translation $t$
b – Déterminer l’affixe du point B’ l’image de B par $t$
c- Montrer que le triangle BCB’ est rectangle en B.

 * Etudes d’une Fonction Numérique    ( 8  points )

On considère la fonction $f$ définie sur IR par $f(x)=\frac{1}{2}{e}^x+3e^{-x}$
1) a- Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$ et $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$
b – Montrer que $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}=+\infty$ et $\underset{x➝-\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}=-\infty$
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu au voisinage de +∞ et -∞.
2) a-Montrer que ∀x∊IR : $f‘(x)=\frac{1}{2}{e}^{-x}(e^x+\sqrt{6})(e^x-\sqrt{6})$
b- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
c -Déduire que∀x∊IR : f(x) ≥ $\sqrt{6}$
3) On considère l’équation différentielle y »-y=0
a – Résoudre cette équation différentielle
b – Montrer que la fonction $f$ est une solution de cette équation différentielle
4) a -Ecrire l’équation de la tangente (T) à $C_f$  » la  courbe représentative  de $f$ « 
au point d’abscisse $\ln (\sqrt{6})$
b – Tracer la tangente(T) et la courbe $C_f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ on prend $\ln (\sqrt{6})\simeq 0,9$
c – Calculer en cm² la surface de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ et les axes du repère et la droite d’équation x =1.

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