* Fonction Logarithme (3.5 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (8 points )
1) Résoudre dans \(R\) les équations suivantes:
a- ln (3x-2) + ln(-x+3)=ln (x+1)
b) ln(x²+1) -ln (2x-3)=ln (3x-1)
c) (ln x)² – ln(x⁴) + 3=0
2) Résoudre dans R les inéquations suivantes:
a) ln (x-2) + ln (2 x+1) ≥ ln (x²+2)
b) ln (-2 x + 2)-ln(x+3) ≥ ln (3 x+5)
c) (ln x)² – ln(x⁵) + 6 ≤ 0
d) -3(ln x)²+ln (\(\sqrt{x}\) ) + 11 ≥ 0
* Suite Arithmétique (2,5 points )
1) On considère la suite \( u _{n}\) définie par: \(u _{0}=4\) et pour tout n∊\(\mathbb{N}\) \(u _{n+1}=\frac{6 u _{n}-9}{ u _{n}}\)
a – Vérifier que \((\forall n \in N ) u_{n+1}-3=\frac{3\left(u_{n}-3\right)}{u_{n}}\)
b – Montrer que \((\forall n \in N ) u _{n}>3\)
2) Soit la suite \(( v _{n})\) définie par, pour tout n∊\(\mathbb{N}\) \(v_{n}=\frac{6}{3- u_{n}}\)
a – Montrer que \(( v _{n})\) est une suite arithmétique de raison \(r =-2\)
b – Exprimer \(v _{n}\) en fonction de \(n ,\) puis déduire \(u _{n}\) en fonction de \(n\)
c – Calculer limite de la suite \(( u _{n})\).
* Suite Géométrique (3 points )
On considère la suite \( u _{n}\) definie par: \(u _{0}=3\) et pour tout n∊\(\mathbb{N}\): \(u _{n+1}=\frac{3}{4} u _{n}+3\)
1) Montrer que (∀ n∊\(\mathbb{N}\)): \( u_{n}<12\)
2) Montrer que la suite \( u _{n}\) est croissante et déduire qu’elle est convergente
3) Soit la suite \(v _{n}\) définie par pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) \(v _{n}= u _{n}-12\)
a – Montrer que ( \(v _{n}\) ) est une suite géométrique de raison \(q =\frac{3}{4}\)
b – \(\quad\) Montrer que \(v_{n}=-9(\frac{3}{4})^{n}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) puis déduire \(u_{n}\) en fonction de \(n\)
c – Calculer limite \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
d – Déterminer la plus petite valeur de \(n\) de \(\mathbb{N}\) pour laquelle \(u _{n}>11,0001\).
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^{2}+4 \sqrt{3} z+16=0\)
2) Dans le plan complexe rapporter au repère orthonormé directe \(( O , \overrightarrow{ u }, \overrightarrow{ v }),\)
on considère les points A,B,C et D d’affixe respectivement \(a =-2 \sqrt{3}-2 i , b =-2 i , c =-\sqrt{3}+ i\) et \(d =\sqrt{3}+ i\)
a – Ecrire C et D sous la forme trigonométrique et déduire \(d^{2016}+c^{2016}=2^{2017}\)
b – Montrer que \(\frac{b-d}{c-d}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\), puis déduire la nature du triangle \(B C D\)
c – Montrer que le quadrilatère ABDC est un losange
3) On considère l’homothétie \(h\) de centre B et qui transforme le point D au point E d’affixe \(e=-3 \sqrt{3}-11 i\)
a – Déterminer la valeur de \(k\) le rapport de l’homothétie \(h\)
b – Déterminer l’affixe du point F l’image de A par \(h\),
puis déduire que (A D) // (E F)
4) On considère la translation t qui transforme le point A au point D
a – Ecrire l’expression complexe de la translation \(t\)
b – Déterminer l’affixe du point B’ l’image de B par \(t\)
c- Montrer que le triangle BCB’ est rectangle en B.
* Etudes d’une Fonction Numérique ( 8 points )
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par \(f ( x )=\frac{1}{2} e ^{x}+3 e^{-x}\)
1) a- Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} f(x)\)
b – Montrer que \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\) et \(\lim _{x➝-∞} \frac{f(x)}{x}=-∞\)
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu au voisinage de +∞ et -∞.
2) a-Montrer que ∀x∊IR : \(f ‘ (x)=\frac{1}{2} e^{-x}(e^{x}+\sqrt{6})(e^{x}-\sqrt{6})\)
b- Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
c -Déduire que∀x∊IR : f(x) ≥ \(\sqrt{6}\)
3) On considère l’équation différentielle y »-y=0
a – Résoudre cette équation différentielle
b – Montrer que la fonction \(f\) est une solution de cette équation différentielle
4) a -Ecrire l’équation de la tangente (T) à \(C_{f}\) » la courbe représentative de \(f\) «
au point d’abscisse \(\ln (\sqrt{6})\)
b – Tracer la tangente(T) et la courbe \(C_{f}\) dans un repère orthonormé \(( O , \overrightarrow{ i }, \overrightarrow{ j })\) on prend \(\ln (\sqrt{6}) \simeq 0,9\)
c – Calculer en cm² la surface de la partie du plan délimitée par la courbe \((C_{f})\) et les axes du repère et la droite d’équation x =1.
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