Examen Bac 2 2020 Math Préparation 10

Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 10
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle  (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
 
 * Suite Numérique   (3 points )
On considère la suite un 
définie par: u0=0 et un+1=un−1un+3:∀n∈N
1) Calculer les termes u1 et u2
2) a) Vérifier que : un+1=1−4un+3 ∀n∈N
b) Montrer par récurrence que: ∀n∈N : −1≤un≤0
3) Montrer que:
la suite un est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
4) Soit vn la suite auxiliaire définie par ∀n∈N: 
vn=1un+1
a. Montrer que:
vn est une suite arithmétique de raison r=12
b. Calculer:
v0 puis exprimer vn en fonction de n
c. En déduire un en fonction de n
d. Calculer limn⟶+∞un
5) Calculer en fonction de n la somme Sn telle que:
 Sn=u0v0+u1v1+…+unvn 
Puis en déduire limn⟶+∞Sn
 
 * Nombre Complexe   (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation : z²-6 z+21=0
2) On considère dans le plan complexe rapporté à 
un repère orthonormé (O,u→,v→) Les points A, B, C et D d’affixes respectives : zA=i3;zB=−i3 zC=3+2i3;zD=z¯c( conjugué de zc)
a) Montrer que les points A,B,C et D appartient au même cercle (c) de centre Ω d’affixe ω=3
b) Montrer que:
 (zD−14)2021+(zC−14)2018=zA
3) Soit E le symétrique du point D par rapport à l’origine 0
a) Déterminer zE l’affixe du point E
b) Montrer que zC−zBzE−zB=12−i32
c) En déduire que BCE est un triangle équilatérale.
4) Déterminer l’ensemble des points (E) d’affixe z telle que : 
|−iz+i3|=|1+i|
 
 * Fonction logarithmique et exponentielle   ( 3 points )
1) Calculer les limites suivantes:
a) limn⟶+∞2n−3n
b) limx⟶+∞−3x2+ln2⁡(x)
c) limx⟶0ln(e−1+x−e−1x)
2) Résoudre les équations suivantes:
a) ln⁡x−(lnx)2=0; 
b) 3e2lnx−10e−ln(2x)+2=0 
c) e−3x+1−e−x=0
3) Déterminer la fonction dérivée dans chaque cas:
a) g(x)=1+e−2x
b) h(x)=ln⁡(e−x2−2x)
4) Montrer que: limx⟶1lnxx−1=1 et limx⟶0ln(x+1)x=1
 
 * Etudes de Fonctions  ( 11  points )
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle] 0,+∞[
g(x)=x²-2Inx
1) Montrer que ∀x∈] 0,+∞[
 g′(x)=2(x+1)x(x−1)
2) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
3) En déduire que pour tout x dans l’intervalle] 0,+∞[: g(x)≥0
 
Partie II

On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
f(x)=1−x−2x(1+lnx)

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i→,j→) (unité: 1cm)
1) Montrer que limx⟶0x>0f(x)=+∞ 
et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
2) a) Montrer que limx⟶+∞f(x)=−∞
b) Calculer limx⟶+∞[f(x)−(1−x)] 
puis en déduire que la droite Δ d’équation y=−x+1 est une asymptote oblique 
aCf au voisinage de +∞
3) a) Montrer que ∀ x∈] 0,+∞[: f′(x)=−g(x)x2
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f
4) a) Montrer que ∀ x ≥1e:−2x(1+lnx)≤ 0 
et ∀ x ≤1e: −2x(1+lnx)≥0
b) En déduire la position relative de la courbe Cf et la droite Δ
5) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique dans l’intervalle  [0.41 ; 0.42]
6) Ecrire l’équation cartésienne de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse x0=1
7) Construire, dans le même repère (O,i→,j→), la droite Δ la tangente (T) et la courbe Cf.
 
Partie III
1) Vérifier que: 
la fonction x⟶12(lnx)2 est une fonction primitive de la fonction x⟶lnxx sur l’intervalle ]0,+∞[ 
2) Calculer, en cm² l’aire du domine plan délimité par: 
la droite Δ, la courbe Cf et les deux droites d’équations x=1 et x=e.
 
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