Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 18

Examen Bac 2 2020 Math
Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 18
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Équation et calcule Intégral  (4.5 points )
* Suite Numérique (3.5 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (7.5 points )
 
 * Équation et calcule Intégral    (4.5 points )
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a) x2−2x−3=0
b) (ln⁡(x))2−ln⁡(x2)−3=0 c) ex−e−x+ln⁡(3)−2=0
2) Résoudre dans IR les inéquations suivantes:
(ln⁡(x))2−2ln⁡(x)−3≤0 et e2x−2ex−3>0
3) a-Montrer que la fonction:
 Hx➝(x−1)ex est une fonction primitive de la fonction h:x➝xex sur IR
Et déduire que ∫01xexdx=1
 
 * Suite Numérique   (3.5 points )
Soit la suite (Un) définie par:
 Un+1=12Un−94Un et U0=3 pour tout n de IN
1) Vérifier que:
 Un+1−32=3(Un−32)2Un pour tout n de IN 
et Montrer que Un≻32 pour tout n de IN
2) Montrer que:
 (Un) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente
On pose Vn=22Un−3 pour tout n\) de IN
1) Montrer que la suite (Vn) est arithmétique de raison 23 
et écrire Vn en fonction de n
2) Montrer que: Un=3(2+n)2+2n 
et calculer limn➝+∞Un
 
 * Nombres complexes   (4.5 points )
1) Résoudre dans ℂ l’équation Z2−2Z+10=0
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
 (o;e→1;e→2)
les points A; B et ℂ d’affixes respectifs a=2+ib=1+3ic=1−3i
2) a) – Montrer que b−ab=12(1+i) 
et écrire sous forme trigonométrique le nombre b−ab
b – Montrer que OB=2AB 
et que: (OB→;AB→)⇔π4[2π]
Soit Z l’affixe du point M et Z‘ l’affixe du point M‘ l’image du point M 
par la translation T de vecteur AC→
3) a) – Montrer que Z‘=Z−1−4i
b- Déterminer l’affixe du point D l’image du point B par translation T
4) Déterminer l’ensemble des points tel que |Z¯−2−3i|=|iZ−1|
 
 * Etude d’une fonction numérique    (7.5 points )
On considère la fonction g définie sur IR par g(x)=ex−2x−1
(Cg) est la courbe représentative de dans un repère orthonormé (voir la figure)
1) a- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation g(x)=0
On donne: 
g(ln (2))⋍-0.39;  g(ln (3))⋍-0.2;  g(ln (4))⋍0.23; g(ln (5))⋍0.78
b- Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution α 
telle que: ln (2)≤α≤ln(4)
c- A partir de la courbe

montrer que: g(x) ≤ 0 ∀ x∊[0;α]  et g(x)≥ 0 sur ]-∞ ; 0] et [α;+∞[
On considère la fonction f définie sur IR par:

f(x)=x+(2x+3)e−x

Et (Cf) la courbe représentative de dans un repère orthonormé 
(o;i→;j→)
1) a) Montrer que: f(x)=x+2xex+3ex 
puis calculer limx➝+∞f(x)
b) Montrer que la droite (Δ) d’équation y=x 
est une asymptote oblique de la courbe (cf)
2) calculer limx➝−∞f(x) et limx➝−∞f(x)x 
déduire que (cf) admet une branche parabolique,
dont On déterminera la direction au voisinage +∞
3) a) Montrer que f est dérivable sur IR
b-montrer que f‘(x)=g(x)ex 
c- déduire que ∀ x ∈IR: f croissante sur [α ;+∞[et ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0; α]
puis dresser le tableau de variations
d) Etudier la position relative de la courbe (cf) et la droite (Δ) d’équation y=x
4) a-Montrer que ∀ x ∈IR: f«(x)=e−x(2x−1)
b-Montrer que (cf) admet un point d ‘inflexion et déterminer ses coordonnées
5) soit h la restriction de la fonction f sur l’intervalle [α ;+∞[
a) Montrer que h admet une fonction réciproque h−1 
et déterminer son domaine de définition J
b- Etudier la dérivabilité de h−1 sur J
6) Construire (Cf) 
On donne:  (Ch−1)(e⋍1.6;1e⋍0.6;f(α)⋍2.7;α⋍1.6..
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