Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 18
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Équation et calcule Intégral (4.5 points )
* Suite Numérique (3.5 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (7.5 points )
* Équation et calcule Intégral (4.5 points )
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a) (x^{2}-2 x-3=0)
b) ((ln (x))^{2}-ln (x^{2})-3=0) c) (e^{x}-e^{-x+ln (3)}-2=0)
2) Résoudre dans IR les inéquations suivantes:
((ln (x))^{2}-2 ln (x)-3 ≤ 0) et (e^{2 x}-2 e^{x}-3> 0)
3) a-Montrer que la fonction:
(H x➝(x-1) e^{x}) est une fonction primitive de la fonction (h: x➝ x e^{x}) sur IR
Et déduire que (int_{0}^{1} x e^{x} d x=1)
* Suite Numérique (3.5 points )
Soit la suite ((U_{n})) définie par:
(U_{n+1}=frac{12 U_{n}-9}{4 U_{n}}) et (U_{0}=3) pour tout n de IN
1) Vérifier que:
(U_{n+1}-frac{3}{2}=frac{3(U_{n}-frac{3}{2})}{2 U_{n}}) pour tout n de IN
et Montrer que (U_{n} succ frac{3}{2}) pour tout n de IN
2) Montrer que:
((U_{n})) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente
On pose (V_{n}=frac{2}{2 U_{n}-3}) pour tout n) de IN
1) Montrer que la suite ((V_{n})) est arithmétique de raison (frac{2}{3})
et écrire (V_{n}) en fonction de n
2) Montrer que: (U_{n}=frac{3(2+n)}{2+2 n})
et calculer (lim _{n➝+∞} U_{n})
* Nombres complexes (4.5 points )
1) Résoudre dans ℂ l’équation (Z^{2}-2 Z+10=0)
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
((o ; vec{e}_{1} ; vec{e}_{2}))
les points A; B et ℂ d’affixes respectifs (a=2+i quad b=1+3 i quad c=1-3 i)
2) a) – Montrer que (frac{b-a}{b}=frac{1}{2}(1+i))
et écrire sous forme trigonométrique le nombre (frac{b-a}{b})
b – Montrer que (OB=sqrt{2} A B)
et que: ((overrightarrow{OB};overrightarrow{AB})⇔ frac{pi}{4}[2 π])
Soit (Z) l’affixe du point (M) et (Z ‘) l’affixe du point (M ‘) l’image du point (M)
par la translation (T) de vecteur (overrightarrow{AC})
3) a) – Montrer que (Z ‘=Z-1-4 i)
b- Déterminer l’affixe du point D l’image du point B par translation (T)
4) Déterminer l’ensemble des points tel que (|bar{Z}-2-3 i|=|i Z-1|)
* Etude d’une fonction numérique (7.5 points )
On considère la fonction (g) définie sur IR par (g(x)=e^{x}-2 x-1)
(( Cg )) est la courbe représentative de dans un repère orthonormé (voir la figure)
1) a- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation (g(x)=0)
On donne:
g(ln (2))⋍-0.39; g(ln (3))⋍-0.2; g(ln (4))⋍0.23; g(ln (5))⋍0.78
b- Montrer que l’équation (g(x)=0) admet une solution α
telle que: ln (2)≤α≤ln(4)
c- A partir de la courbe
montrer que: g(x) ≤ 0 ∀ x∊[0;α] et g(x)≥ 0 sur ]-∞ ; 0] et [α;+∞[
On considère la fonction (f) définie sur IR par:
(f(x)=x+(2x+3)e^{-x})
Et ((C f)) la courbe représentative de dans un repère orthonormé
((o ; vec{i}; vec{j}))
1) a) Montrer que: (f(x)=x+frac{2 x}{e^{x}}+frac{3}{e^{x}})
puis calculer (lim _{x➝+∞} f(x))
b) Montrer que la droite (Δ) d’équation (y=x)
est une asymptote oblique de la courbe ((c f))
2) calculer (lim _{x➝-∞} f(x)) et (lim _{x➝-∞} frac{f(x)}{x})
déduire que ((c f)) admet une branche parabolique,
dont On déterminera la direction au voisinage (+∞)
3) a) Montrer que f est dérivable sur IR
b-montrer que (f ‘(x)=frac{g(x)}{e^{x}})
c- déduire que ∀ x ∈IR: (f) croissante sur [α ;+∞[et ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0; α]
puis dresser le tableau de variations
d) Etudier la position relative de la courbe ((c f)) et la droite (Δ) d’équation y=x
4) a-Montrer que ∀ x ∈IR: (f « (x)=e^{-x}(2 x-1))
b-Montrer que ((c f)) admet un point (d) ‘inflexion et déterminer ses coordonnées
5) soit (h) la restriction de la fonction (f) sur l’intervalle [α ;+∞[
a) Montrer que (h) admet une fonction réciproque (h^{-1})
et déterminer son domaine de définition (J)
b- Etudier la dérivabilité de (h^{-1}) sur (J)
6) Construire ((C f))
On donne: ((C h^{-1})(sqrt{e}⋍1.6 ; frac{1}{sqrt{e}}⋍0.6 ; f(α)⋍2.7 ; α⋍1.6.).
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Examen Bac 2 2020 Math 18
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