Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 18
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Équation et calcule Intégral (4.5 points )
* Équation et calcule Intégral (4.5 points )
* Suite Numérique (3.5 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Nombres complexes (4.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (7.5 points )
* Équation et calcule Intégral (4.5 points )
1) Résoudre dans IR les équations suivantes:
a) \(x^{2}-2 x-3=0\)
b) \((\ln (x))^{2}-\ln (x^{2})-3=0\) c) \(e^{x}-e^{-x+\ln (3)}-2=0\)
2) Résoudre dans IR les inéquations suivantes:
\((\ln (x))^{2}-2 \ln (x)-3 ≤ 0\) et \(e^{2 x}-2 e^{x}-3> 0\)
3) a-Montrer que la fonction:
\(H x➝(x-1) e^{x}\) est une fonction primitive de la fonction \(h: x➝ x e^{x}\) sur IR
Et déduire que \(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=1\)
* Suite Numérique (3.5 points )
Soit la suite \((U_{n})\) définie par:
\(U_{n+1}=\frac{12 U_{n}-9}{4 U_{n}}\) et \(U_{0}=3\) pour tout n de IN
1) Vérifier que:
\(U_{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{3(U_{n}-\frac{3}{2})}{2 U_{n}}\) pour tout n de IN
et Montrer que \(U_{n} \succ \frac{3}{2}\) pour tout n de IN
2) Montrer que:
\((U_{n})\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente
On pose \(V_{n}=\frac{2}{2 U_{n}-3}\) pour tout n\) de IN
1) Montrer que la suite \((V_{n})\) est arithmétique de raison \(\frac{2}{3}\)
et écrire \(V_{n}\) en fonction de n
2) Montrer que: \(U_{n}=\frac{3(2+n)}{2+2 n}\)
et calculer \(\lim _{n➝+∞} U_{n}\)
* Nombres complexes (4.5 points )
1) Résoudre dans ℂ l’équation \(Z^{2}-2 Z+10=0\)
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
\((o ; \vec{e}_{1} ; \vec{e}_{2})\)
les points A; B et ℂ d’affixes respectifs \(a=2+i \quad b=1+3 i \quad c=1-3 i\)
2) a) – Montrer que \(\frac{b-a}{b}=\frac{1}{2}(1+i)\)
et écrire sous forme trigonométrique le nombre \(\frac{b-a}{b}\)
b – Montrer que \(OB=\sqrt{2} A B\)
et que: \((\overrightarrow{OB};\overrightarrow{AB})⇔ \frac{\pi}{4}[2 π]\)
Soit \(Z\) l’affixe du point \(M\) et \(Z ‘\) l’affixe du point \(M ‘\) l’image du point \(M\)
par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{AC}\)
3) a) – Montrer que \(Z ‘=Z-1-4 i\)
b- Déterminer l’affixe du point D l’image du point B par translation \(T\)
4) Déterminer l’ensemble des points tel que \(|\bar{Z}-2-3 i|=|i Z-1|\)
* Etude d’une fonction numérique (7.5 points )
On considère la fonction \(g\) définie sur IR par \(g(x)=e^{x}-2 x-1\)
\(( Cg )\) est la courbe représentative de dans un repère orthonormé (voir la figure)
1) a- Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation \(g(x)=0\)
On donne:
g(ln (2))⋍-0.39; g(ln (3))⋍-0.2; g(ln (4))⋍0.23; g(ln (5))⋍0.78
b- Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution α
telle que: ln (2)≤α≤ln(4)
c- A partir de la courbe
montrer que: g(x) ≤ 0 ∀ x∊[0;α] et g(x)≥ 0 sur ]-∞ ; 0] et [α;+∞[
On considère la fonction \(f\) définie sur IR par:
\(f(x)=x+(2x+3)e^{-x}\)
Et \((C f)\) la courbe représentative de dans un repère orthonormé
\((o ; \vec{i}; \vec{j})\)
1) a) Montrer que: \(f(x)=x+\frac{2 x}{e^{x}}+\frac{3}{e^{x}}\)
puis calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
b) Montrer que la droite (Δ) d’équation \(y=x\)
est une asymptote oblique de la courbe \((c f)\)
2) calculer \(\lim _{x➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} \frac{f(x)}{x}\)
déduire que \((c f)\) admet une branche parabolique,
dont On déterminera la direction au voisinage \(+∞\)
3) a) Montrer que f est dérivable sur IR
b-montrer que \(f ‘(x)=\frac{g(x)}{e^{x}}\)
c- déduire que ∀ x ∈IR: \(f\) croissante sur [α ;+∞[et ]-∞ ; 0] et décroissante sur [0; α]
puis dresser le tableau de variations
d) Etudier la position relative de la courbe \((c f)\) et la droite (Δ) d’équation y=x
4) a-Montrer que ∀ x ∈IR: \(f « (x)=e^{-x}(2 x-1)\)
b-Montrer que \((c f)\) admet un point \(d\) ‘inflexion et déterminer ses coordonnées
5) soit \(h\) la restriction de la fonction \(f\) sur l’intervalle [α ;+∞[
a) Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\)
et déterminer son domaine de définition \(J\)
b- Etudier la dérivabilité de \(h^{-1}\) sur \(J\)
6) Construire \((C f)\)
On donne: \((C h^{-1})(\sqrt{e}⋍1.6 ; \frac{1}{\sqrt{e}}⋍0.6 ; f(α)⋍2.7 ; α⋍1.6.\).
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