Examen Bac 2 PC PDF 2020 Math Préparation 21

Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 21
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Équation et Inéquation  (2.5 points )
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Etude d’une fonction numérique (9.5 points )
 
 * Équation et Inéquation  (2.5 points )
1- 
a) Résoudre dans IR l’équation : x²+4 x-5=0
b) Résoudre dans l’intervalle ]0;+∞[  l’équation: ln (x²+5)=ln (x+2)+ln (2x).
 
2- Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞[ l’inéquation:  ln(x)+ln(x+1) ≥ ln (x²+1).
 
 * Suite Numérique   (3 points )
Soit (un) la suite numérique définie par: 
{u0=1un+1=un5+8un:∀n∈IN∗
1 Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN: u_{n}>0
2 On considère la suite (vn) définie par ∀ n ∈IN: vn=1un+2
a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 5 
puis exprimer vn en fonction de n.
Montrer que: un=13×5n−2 pour tout n de IN.
puis calculer la limite de la suite (un)
 
* Nombres complexes (5 points ) 
I- Résoudre dans ℂ l’équation (E):z2−18z+82=0
2 Dans le plan complexe associé a un repère orthonormé direct (O;i→;j→)
On considéré les point A,B et C d’affixes respectives:
 a=9+i, b=9-i et c=11-i.
3- a) Montrer que c−ba−b=−i 
puis en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en B
b) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe 4(1-i)
c) Montrer que (c−a)(c−b)=4(1−i) 
puis en déduire que  AC×BC=42
4- Soit z I’affixe du point M du plan et z ‘l’affixe du point M ‘ 
L’image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π2 
Montrer que:  z‘=−iz+10+8i 
puis vérifier que 1 ‘affixe du point C’ image du point C par la rotation R est 9-3i.
 
 * Etude d’une fonction numérique  (9.5 points )
 
Partie I:
On Considère la fonction g définie sur IR par: g(x)=(1−x)ex−1
1) Montrer que: ∀ x ∈R: g‘(x)=−xex
2) Montrer que la fonction g est décroissante sur [0 ;+∞[
et croissante sur ]-∞;0]  et vérifier que g(0)=0
3) En déduire que g(x) ≤ 0 pour tout x de IR
 
Partie II:
On Considère la fonction f définie sur IR par: f(x)=(2−x)ex−x 
On appelle (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormale 
(O;i→;j→).  (Unité: 1cm )
1- a) Montrer que limx➝+∞f(x)=−∞
b) Montrer que limx➝+∞f(x)x=−∞ 
puis en déduire que (Cf) admet une branche parabolique au voisinage de +∞
dont on précisera la direction
2- a) Montrer que limf(x)=+∞ puis calculer limx➝−∞[f(x)+x]
b) Montrer que la droite (D) d’équation y=-x est une asymptote 
 à la courbe (Cf) au voisinage de −∞
3- a) Montrer que ∀ x ∈IR: f ‘(x)=g(x)
b) Interpréter géométriquement le résultat f‘(0)=0
c) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur IR 
puis dresser son tableau de variation
4) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution réel unique α 
et que 32<α<2 ( On admettra que e32>3 )
5- a) Résoudre dans IR l’équation: f(x)+x=0.
et en déduire que (Cf) et (D) se coupe au point A(2 ;-2).
b) Étudier le signe de (f(x)+x) sur IR :
c) En déduire que (Cf) est au-dessus de (D) sur ]-∞;2[ 
et en-dessous de (D) sur]2;+∞[
6) Montrer que:
la courbe possède un point d’inflexion unique de coordonnées I(0;2)
7) Construire dans le même repère (O;i→;j→) la droite (D) et la courbe (Cf)
8- a) En utilisant une intégration par parties
Montrer que: ∫−10(2−x)exdx=3−4e
b) Calculer en cm²  l’aire du domaine délimité par
la courbe (Cf) la droite (D) et les droites d’équations respectives x=-1 et x=0
 
 
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