Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 21
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Équation et Inéquation (2.5 points )
* Équation et Inéquation (2.5 points )
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Nombres complexes (5 points )
* Etude d’une fonction numérique (9.5 points )
* Équation et Inéquation (2.5 points )
1-
a) Résoudre dans IR l’équation : x²+4 x-5=0
b) Résoudre dans l’intervalle ]0;+∞[ l’équation: ln (x²+5)=ln (x+2)+ln (2x).
2- Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞[ l’inéquation: ln(x)+ln(x+1) ≥ ln (x²+1).
* Suite Numérique (3 points )
Soit \((u_{n})\) la suite numérique définie par:
\(\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{5+8 u_{n}} : ∀ n ∈IN*\end {array}\)
1 Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN: u_{n}>0
2 On considère la suite \((v_{n})\) définie par ∀ n ∈IN: \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}}+2\)
a) Montrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison 5
puis exprimer \(v_{n}\) en fonction de n.
Montrer que: \(u_{n}=\frac{1}{3 × 5^{n}-2}\) pour tout n de IN.
puis calculer la limite de la suite \((u_{n})\)
* Nombres complexes (5 points )
I- Résoudre dans ℂ l’équation \((E): z^{2}-18 z+82=0\)
2 Dans le plan complexe associé a un repère orthonormé direct \((O;\vec{i} ; \vec{j})\)
On considéré les point A,B et C d’affixes respectives:
a=9+i, b=9-i et c=11-i.
3- a) Montrer que \(\frac{c-b}{a-b}=-i\)
puis en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en B
b) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe 4(1-i)
c) Montrer que \((c-a)(c-b)=4(1-i)\)
puis en déduire que \(AC × BC=4 \sqrt{2}\)
4- Soit z I’affixe du point M du plan et z ‘l’affixe du point M ‘
L’image de M par la rotation \(R\) de centre B et d’angle \(\frac{3 \pi}{2}\)
Montrer que: \( z ‘=-i z+10+8 i\)
puis vérifier que 1 ‘affixe du point C’ image du point C par la rotation \(R\) est 9-3i.
* Etude d’une fonction numérique (9.5 points )
Partie I:
On Considère la fonction \(g\) définie sur IR par: \(g(x)=(1-x) e^{x}-1\)
1) Montrer que: ∀ x ∈R: \(g ‘(x)=-x e^{x}\)
2) Montrer que la fonction \(g\) est décroissante sur [0 ;+∞[
et croissante sur ]-∞;0] et vérifier que g(0)=0
3) En déduire que g(x) ≤ 0 pour tout x de IR
Partie II:
On Considère la fonction \(f\) définie sur IR par: \(f(x)=(2-x) e^{x}-x\)
On appelle \((C_{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormale
\((O;\vec{i};\vec{j}).\) (Unité: 1cm )
1- a) Montrer que \(\lim_{x➝+∞} f(x)=-∞\)
b) Montrer que \(\lim_{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=-∞\)
puis en déduire que \((C_{f})\) admet une branche parabolique au voisinage de +∞
dont on précisera la direction
2- a) Montrer que \(\lim f(x)=+∞\) puis calculer \(\lim _{x➝-∞}[f(x)+x]\)
b) Montrer que la droite (D) d’équation y=-x est une asymptote
à la courbe \((C_{f})\) au voisinage de \(-∞\)
3- a) Montrer que ∀ x ∈IR: f ‘(x)=g(x)
b) Interpréter géométriquement le résultat \(f ‘(0)=0\)
c) Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur IR
puis dresser son tableau de variation
4) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution réel unique \(α\)
et que \(\frac{3}{2}<α<2\) ( On admettra que \(e^{\frac{3}{2}}>3\) )
5- a) Résoudre dans IR l’équation: f(x)+x=0.
et en déduire que \((C_{f})\) et (D) se coupe au point A(2 ;-2).
b) Étudier le signe de (f(x)+x) sur IR :
c) En déduire que \((C_{f})\) est au-dessus de (D) sur ]-∞;2[
et en-dessous de (D) sur]2;+∞[
6) Montrer que:
la courbe possède un point d’inflexion unique de coordonnées I(0;2)
7) Construire dans le même repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) la droite \((D)\) et la courbe \((C_{f})\)
8- a) En utilisant une intégration par parties
Montrer que: \(\int_{-1}^{0}(2-x) e^{x} dx=3-\frac{4}{e}\)
b) Calculer en cm² l’aire du domaine délimité par
la courbe \(( C_{f})\) la droite (D) et les droites d’équations respectives x=-1 et x=0
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