Sujet maths Bac Série D PDF 2012 Avec Correction

Sujet maths Bac Série D PDF  2012 Avec Correction
 
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Nombres complexes (4 points )
* Suite Numérique (4.5 points )
* Etude d’une fonction numérique (11.5 points )
 
 * Probabilité   (4 points )

Madame Kouame, statisticienne à la retraite, a créé une petite entreprise de fabrication de colliers

traditionnels.
Dans 1 ‘intention de faire des prévisions pour la production de colliers de I’année 2011
elle a fait I’état des ventes des huit types de colliers fabriqués en 2010 .
Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous:

 

Type
de collier 
12345678
Prix  \(x_{i}\)
de vente en centaines de francs CFA
du collier de type i
54606672849096102
Nombre 
\(y_{i}\) de dizaines
de colliers vendus
au prix \(x_{i}\)
1816151310987

On désigne par:
X le caractère « prix de vente du collier « 
Y le caractère  « nombre colliers vendus au prix \(X\) ».
1- Représenter graphiquement le nuage de points associé a la série statistique

double de caractère \(( X ;Y )\) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,I,J)
On prendra 2 cm pour 10 centaines de
francs sur (OI) et \(2 cm\) pour 2 dizaines de colliers sur (OJ).
2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.
3- a) Calculer la variance \(V ( X )\) de \(X\).
b) Calculer la covariance \(COV(X;Y)\) de la série statistique double de caractère \((X ; Y)\)
c) On admet que \(V(Y)=14,50\)

Démontrer que I’arrondi d’ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire est égal à: -0,99

4-Soit (D) la droite de régression de \(Y\) en \(X\) par la méthode des moindres carres.
a) Justifier que l’arrondi d’ordre 2 du coefficient directeur de (D) est égal à – 0,23.
b) Démontrer qu’une équation de la droite (D) est : y=-0,23 x+29,94
5- Pour I’année 2011, Madame Kouamé souhaite fabriquer un nouveau type de collier
qu’elle vendrait à 11500 francs CFA l’unité.
Combien de colliers de ce type pourrait-elle vendre selon I’ajustement linéaire réalisé ?
 
 * Suite Numérique   (4.5 points )
On considère la suite numérique \(U_{n}\) définie sur IN* par:
\(\{\begin{array}{l}
U _{1}=3 \\
U _{m+1}-\frac{1}{2}( U _{n}+\frac{4}{ U _{n}})
\end{array}.\)
1- On considère la fonction \(f\) définie sur ]0 ;+∞[ par:
\(f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{4}{x})\)
On note (C) la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni d’un repère orthogonal
 (O, I, J) où les unites respectives sur (OI) et (OJ) sont \(4cm\) et 2cm.
La courbe (C) et la droite (D) d’équation y=x sont tracées
sur la feuille annexe à rendre avec la copie.
a) Représenter sur l’axe des abscisses (OI)
les termes \(U _{1}, U _{2},\) et \(U _{3}\) de la suite  \(U_{n}\)
cn utilisant la courbe (C) et la droite (D).
b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de la suite \(U_{n}\) ?
2- On admet que \(f\) est continue et strictement croissante sur [2;3]
a) Démontrer que: f[[2;3]⊂ [2;3]
b) En utilisant un raisonnement par récurrence.
démontrer que pour tout entier n≥1: \(2 ≤ U _{n} ≤ 3\)
3 -a) Démontrer que la suite  \(U_{n}\) est décroissante.
b) En déduire que la suite  \(U_{n}\) est convergente.
4. On considère la suite \(V_{n}\) définie sur IN* par : \(V _{n}=\frac{ U _{n}-2}{ U _{n}+2}\)
a) Démontrer que pour tout entier  \(n≥ 1:  V _{n+1}=( V _{n})^{2}\)
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier \( n≥ 1:  V_{n}=(V_{1})^{2^{n-1}}\)
c) Calculer \(V_{1}\) puis exprimer \(V_{n}\) en fonction de \(n\)
d) Exprimer \(U _{n}\) en fonction de \(n\)
e) Démontrer que \(\lim_{n➝+∞}U _{n}\)=0
En déduire \(\lim_{n➝+∞}V _{n}\).
 
 * Etude d’une fonction numérique   (11.5 points )
Partie A
On considéré la fonction \(g\) dérivable et définie sur ]0 ;+∞[ par :
\(g(x)=e^{x}+2ln x\)
1 -a) Déterminer \(\lim _{x⟶0} g(x)\) et \(\lim _{x⟶+∞} g(x)\)
b) Calculer g ‘(x).
c) Etudier le sens de variation de \(g\) puis dresser son tableau de variation.
2 -a) Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique α sur ]0 ;+∞[
b) Vérifier que 0,4<α<0,5
c) Démontrer que: ∀ x∊]0;α[: g(x)<0 et ∀ x ∊]α;+∞[: g(x)>0
 
Partic B
On considéré la fonction \(f\) définie sur [0;+∞[ par:
\( f(0)=1\; et\;  f(x)=e^{x}+2xlnx-2 x : x>0\)
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repere orthonome (O, \(1,\) J).
L’unite graphique est 4cm
1 -a) Déterminer \(\lim _{x⟶+∞} f(x)\) et \(\lim _{x⟶+∞} \frac{f(x)}{x}\)
b) Interpréter graphiquement les résultats.
2 -a) Démontrer que \(f\) est continue en 0
b) Démontrer que: \(\lim _{x⟶0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=-∞\)
c) La fonction \(f\) est-elle dérivable en 0? Justifier la réponse.
d) Interpréter graphiquement le résultat de la question 2. b)
3. On admet que \(f\) est dérivable sur  ]0 ;+∞[
a) Démontrer que: ∀ x ∊]0;+∞[, f ‘(x)=g(x).
b) Etudier les variations de \(f\) puis dresser son tableau de variation.
4. Tracer la courbe (C) sur I’intervalle [0;2].
(On prendra α=0,45 et on admettra que la courbe \((C)\)
coupe la droite (OI) en deux points \(d\) ‘ abscisses respectives 0,3 et 0,6 .)
5- a) On pose \(K=\int_{1}^{2}xln(x) dx\)
A l’aide d’une intégration par parties,
démontrer que : \(K=2ln 2-\frac{3}{4}\)
b) Soit \(A\) l’aire en cm² de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite (OI)
et les droites d’équations respectives x=1 et x=2
Calculer \(A\) puis donner 1 ‘arrondi d’ordre 2 du résultat.
 
Annexe

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