Sujet maths Bac Série D PDF avec correction 2013 Durée de l’épreuve 4hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Nombres complexes (4 points )* Suite Numérique (4.5 points )* Etude d’une fonction numérique (11.5 points ) * Nombres complexes (4 points )Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J),on désigne par K, A et B les points d’affixes respectives(z_{1}=2, z_{2}=4+2 i) et (z_{3}=2+4 i .) L’unité graphique est (2 cm)1- a) Placer les points K,A et B.b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe:(frac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}})2- On note S la similitude directe de centre K qui transforme A en B.a) Démontrer que:l’écriture complexe de S est : (z ‘=(1+i) z-2 i)b) Déterminer les affixes respectives des points I’ et J’ images respectives des points I et J puis placer I’ et J’.3- Déterminer: le rapport et une mesure de l’angle orienté de la similitude directe S.4- Soit (C) le cercle de centre (Ω(1;1)) et de rayon 2a) Tracer (C).b) Déterminer le centre et le rayon de (C’), image de (C) par S.c)Construire (( C ‘))5-a) Déterminer puis construire I’image par (S) de la droite (IJ).On pourra caractériser l’image par S de la droite (IJ) par deux de ses points.b) On désigne par E le point d’intersection de (C)et la droite (IJ) d’abscisse négative.Placer E et l’image E ‘ de E par (S).Justifier la position du point E ‘ * Suite Numérique (4.5 points )On considère la suite numérique ((u)) définie par:(u_{0}=sqrt{2}) et ∀ n∊IN: (n, u_{n+1}=2+frac{1}{2} u_{n})Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).L’unité graphique est 2 cm.1- Déterminer les valeurs exactes de (u_{1}) et (u_{2})2- Soit (f) la fonction définie par: (f(x)=frac{1}{2} x+2) et de représentation graphique (D).a) Tracer (D) et la droite ( (Δ) ) d’équation (y=x)b) Placer (u_{0}) sur l’axe (OI).c) A l’aide de (D) et ((Δ),)placer les termes (u_{1}, u_{2}) et (u_{3}) de la suite ((u)) sur l’axe (OI).3- a) Démontrer par récurrence que ∀ n∊IN: (n, u_{n} ≤ 4)b) Démonter que la suite ((u)) est croissante.c) En déduire que la suite ((u)) est convergente.4. On considère la suite ( (v) ) définie par:∀ n∊IN : (v_{n}=u_{n}-4)Démontrer que la suite ( (v) ) est une suite géométriquedont on précisera le premier terme et la raison5- On pose, pour tout nombre entier naturel n :(T _{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n})la somme des (n+1) premiers termes de la suite ((v))(S _{n}=u_{0}+u_{1}+…+u_{n})la somme des (n+1) premiers termes de la suite ((u))a) Déterminer une expression de (T _{n}) en fonction de (n)b) Justifier que: (S _{n}=2(sqrt{2}-4)(1-frac{1}{2^{n+1}})+4(n+1))c)Déterminer la limite de (S_{n}) * Etude d’une fonction numérique (11.5 points )Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).L’unité graphique est 2 cm.On considère la fonction (f) dérivable et définie sur ]-∞ ; 1[ par:f(x)=x²-1+ln(1-x) On note (C) la courbe représentative de (f)1- a) Calculer: lim_{x ⟶-∞} (f(x))b)Calculer: (lim _{x ⟶-∞} frac{f(x)}{x})puis donner une interprétation graphique du résultat.c)Calculer la limite de (f) à gauche en 1puis donner une interprétation graphique du résultat.2- a) Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]-∞ ;1[ calculer f ‘(x).b) Démontrer que (f) est strictement décroissante sur ]-∞;1[c) Dresser le tableau de variation de (f)3- a) Démontrer que l’équation (E):x∊]-∞;1 [, f(x)=0 admet une solution unique α.b) Justifier que -0,7<α<-0,64- a) Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0 est: y=-x-1b) On donne le tableau de valeurs suivant:
| x | -2 | -1.5 | -1 | -0.75 | -0.5 | -0.25 | 0.25 | 0.5 | 0.75 |
| Arrondi d’ordre I de f(x) | 4.1 | 2.2 | 0.7 | 0.1 | -0.3 | -0.7 | -1.2 | -1.4 | -1.8 |
Tracer (T) et (C).On pourra faire la figure dans la partie du plan caractérisée par: ({begin{array}{l}-3 ≤ x ≤ 5 \ -4 ≤ y ≤ 6end{array}.)5- On designe par (A): l’aire de la partie du plan délimitée par (C), la droite (OI)et les droites d’équations respectives x= α et x=0a) Calculer: (int_{α}^{0}ln(1-x) dx) à l’aide d’une intégration par parties.b) Démontrer que la valeur de (A) en unités d’airé est: (A =frac{α^{3}}{3}-2α-(1-α) ln (1-α))c) Déterminer en cm²: l’arrondi d’ordre 2 de la valeur de (A) pour (alpha=-0,65)6- Soit (f^{-1}) la bijection réciproque de (f)et (C’) la courbe représentative de (f^{-1}) dans le plan muni du repère ( O, I, J)a) Calculer (f(-1))b) Démontrer que:le nombre dérivé de (f^{-1}) en ln2 existe puis le calculer.c) Construire la courbe (C’)et sa tangente ( (Δ) ) au point d’abscisse (ln 2) sur la figure de la question (4-b) ). ⇊⇊Télécharger PDF Gratuit maths Bac Série D 2013 :Sujet 2013 Bac DCorrection Sujet 2013 Bac D ➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire