Sujet maths Bac Série D PDF 2013

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J),

on désigne par K, A et B les points d’affixes respectives

$z_1=2,z_2=4+2i$ et $z_3=2+4i.$ L’unité graphique est $2cm$

1- a) Placer les points K,A et B.

b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe:

2- On note S la similitude directe de centre K qui transforme A en B.

a) Démontrer que:

l’écriture complexe de S est : $z‘=(1+i)z-2i$

b) Déterminer les affixes respectives des points I’ et J’

 images respectives des points I et J puis placer I’ et J’.

3- Déterminer:

 le rapport et une mesure de l’angle orienté de la similitude directe S.

4- Soit (C) le cercle de centre $\Omega (1;1)$ et de rayon 2

a) Tracer (C).

b) Déterminer le centre et le rayon de (C’), image de (C) par S.

c)Construire $(C‘)$

5-a) Déterminer puis construire I’image par $S$ de la droite (IJ).

On pourra caractériser l’image par S de la droite (IJ) par deux de ses points.

b) On désigne par E le point d’intersection de (C)

et la droite (IJ) d’abscisse négative.

Placer E et l’image E ‘ de E par $S$.

Justifier la position du point E ‘

On considère la suite numérique $(u)$ définie par:

$u_0=\sqrt{2}$ et ∀ n∊IN:  $n,u_{n+1}=2+\frac{1}{2}{u}_n$

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

L’unité graphique est 2 cm.

1- Déterminer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$

2- Soit $f$ la fonction définie par:

 $f(x)=\frac{1}{2}x+2$ et de représentation graphique (D).

a) Tracer (D) et la droite ( $\Delta$ ) d’équation $y=x$

b) Placer $u_0$ sur l’axe (OI).

c) A l’aide de (D) et $(\Delta ),$

placer les termes $u_1,u_2$ et $u_3$ de la suite $(u)$ sur l’axe (OI).

3- a) Démontrer par récurrence que ∀ n∊IN: $n,u_n\le 4$

b) Démonter que la suite $(u)$ est croissante.

c) En déduire que la suite $(u)$ est convergente.

4. On considère la suite ( $v$ ) définie par:

∀ n∊IN : $v_n=u_n-4$

Démontrer que la suite ( $v$ ) est une suite géométrique

dont on précisera le premier terme et la raison

5- On pose, pour tout nombre entier naturel n :

la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $(v)$

la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $(u)$

a) Déterminer une expression de $T_n$ en fonction de $n$

b) Justifier que: $S_n=2(\sqrt{2}-4)(1-\frac{1}{2^{n+1}})+4(n+1)$

c)Déterminer la limite de $S_n$

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

L’unité graphique est 2 cm.

On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur ]-∞ ; 1[ par:

f(x)=x²-1+ln(1-x)

 On note (C) la courbe représentative de $f$

1- a) Calculer: lim_{x ⟶-∞} $f(x)$

b)Calculer: $\underset{x⟶-\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$

puis donner une interprétation graphique du résultat.

c)Calculer la limite de $f$ à gauche en 1

puis donner une interprétation graphique du résultat.

2- a) Pour tout nombre réel  x de l’intervalle ]-∞ ;1[ calculer  f  ‘(x).

b) Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur ]-∞;1[

c) Dresser le tableau de variation de $f$

3- a) Démontrer que l’équation (E):

x∊]-∞;1 [, f(x)=0  admet une solution unique α.

b) Justifier que -0,7<α<-0,6

4- a) Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C)

 au point d’abscisse 0 est: y=-x-1

b) On donne le tableau de valeurs suivant:

Tracer (T) et (C).

On pourra faire la figure dans la partie du plan caractérisée par:

 $\{\begin{array}{l}-3\le x\le 5\\ -4\le y\le 6\end{array}.$

5- On designe par $A$:

 l’aire de la partie du plan délimitée par (C), la droite (OI)

et les droites d’équations respectives x= α et x=0

a) Calculer:

 ${\int }_{\alpha }^{0}ln(1-x)dx$ à l’aide d’une intégration par parties.

b) Démontrer que la valeur de $A$ en unités d’airé est:

 $A=\frac{{\alpha }^3}{3}-2\alpha -(1-\alpha )ln(1-\alpha )$

c) Déterminer en cm²:

 l’arrondi d’ordre 2 de la valeur de $A$ pour $\alpha =-0,65$

6- Soit $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f$

et (C’) la courbe représentative de $f^{-1}$ dans le plan muni du repère ( O, I, J)

a) Calculer $f(-1)$

b) Démontrer que:

le nombre dérivé de $f^{-1}$ en ln2 existe puis le calculer.

c) Construire la courbe (C’)

et sa tangente ( $\Delta$ ) au point d’abscisse $\ln 2$ sur la figure de la question $4-b$ ).