Baccalauréat mathématiques série D 2018

Baccalauréat mathématiques D

Baccalauréat mathématiques série D 2018

Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème 
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: 
* Nombres Complexes (5 points )
* probabilité  (5 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
 * Nombres Complexes   (5 points )
Soit P le polynôme à variable complexe z défini par:
P(z)=z3+(1−9i)z2−(24+6i)z−14+18i
1- a- Déterminer le nombre complexe z0 tel que:

P(z)=(z−z0)(z2−4iz−4−2i)

b- En déduire les solutions dans ℂ de l’équation P(z)=0
2- Dans le plan complexe ( P ) muni d’un repère orthonormé direct 
(0,u→,v→) d’unité 1cm
On considère les points  A,B et C d’affixes respectives:

zA=−1+5i ; zB=1+3i et zC=−1+i

a- Placer les points A, B et C.
b- Calculer les distances AB et BC. 
et déterminer une mesure de l’angle (BA→;BC→) 
En déduire la nature du triangle ABC.
c- On note I le milieu du segment [AC] .
Déterminer l’affixe zI du point I.
d- Déterminer puis construire l’ensemble (C) des points M d’affixe z
Tels que: |z+1−3i|=2
3- Soit  S la similitude plane directe:
qui laisse invariant le point A et transforme le point C en B.
a- Déterminer l’expression complexe ainsi que les éléments caractéristiques de S.
b- Déterminer et construire l’ensemble (C‘) image de (C) par S.
 * probabilité  (5 points )
1- On lance une fois un dé tétraédrique à quatre faces numérotées 1,2,3 et 4.
On s’intéresse au numéro de la face cachée. Pour k∈{1;2;3;4}, 
on note Pk la probabilité pour que numéro de la face cachée soit égale à k. 
Le dé est truqué de telle sorte que les probabilités P1,P2,P3 et P4 
vérifient les conditions suivantes:
P2=12=P1=13=P3 et  P4=2P1
Démontrer que P1=15. 
En déduire les probabilités P2,P3 et P4
2- On lance deux fois de suite ce même dé.
a- Calculer la probabilité de l’événement
A:  » le produit des deux numéros des deux faces cachées est égal à 4 « 
b- On désigne par a le numéro de la face cachée au premier lancer 
et par b le numéro du deuxième. 
Soit X la variable aléatoire égale au nombre |b−a|
Donner la loi de probabilité de X.
– Calculer l’espérance mathématique E(X) de X.
3- On lance quatre fois de suite et d’une manière indépendante ce dé. 
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face n°1 est cachée.
a- Calculer la probabilité de l’événement (Y≥1)
b- Calculer E(Y) et V(Y).
 * Etude d’une fonction numérique  (10 points )
On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+∞[ par :
f(x)=−x+3+(−1+lnx)x
On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct 
(O,i→,j→) ) d’unité 1cm.
1- Soit  g { la fonction définie sur ]0 ;+∞[  par : g(x)=x^{2}-2+ln x.\)
a- Etudier le sens de variation de \ g sur ]0;+∞[
b- Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution réelle unique α 
Telle que α ∈] 1.2 ; 1.4[
c- En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
2- a- Calculer limx➝0+f(x). 
Interpréter graphiquement le résultat.
b- Calculer limx➝+∞f(x)
c- Montrer que la droite (D) d’équation y=-x+3 est asymptote oblique à (C).
d- Etudier la position relative de (C) par rapport à (D)
3- a- Montrer que, pour tout x∈]0;+∞[,f‘(x)=−g(x)x2.
b- Démontrer que f(α)=−2α2+3α+1α
c- Dresser le tableau de variation de la fonction fsur]0;+∞[
4- a- Déterminer les coordonnées du point A de (C) où la tangente (T) est parallèle à (D).
b- Construire (T),(D) et (C). 
(On prendra α=1,3 pour la construction).
5- Calculer en cm² l’aire A du domaine plan délimité par la courbe(C)) 
la droite (D) et les droites d’équations x=1 et x=e.
On donne : e≃2,71 ;  e2≃7,38  ; 1e2≃0,13
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