Baccalauréat mathématiques série D 2018
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Nombres Complexes (5 points )
* Nombres Complexes (5 points )
* probabilité (5 points )
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
* Nombres Complexes (5 points )
Soit \(P\) le polynôme à variable complexe \(z\) défini par:
\(P(z)=z^{3}+(1-9 i) z^{2}-(24+6 i) z-14+18 i\)
1- a- Déterminer le nombre complexe \(z_{0}\) tel que:
\(P(z)=(z-z_{0})(z^{2}-4 i z-4-2 i)\)
b- En déduire les solutions dans ℂ de l’équation \(P(z)=0\)
2- Dans le plan complexe ( \(P\) ) muni d’un repère orthonormé direct
\((0, \vec{u}, \vec{v})\) d’unité \(1 cm\)
On considère les points A,B et C d’affixes respectives:
\(z_{A}=-1+5i\) ; \(z_{B}=1+3i\) et \(z_{C}=-1+i\)
a- Placer les points A, B et C.
b- Calculer les distances AB et BC.
et déterminer une mesure de l’angle \((\overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC})\)
En déduire la nature du triangle ABC.
c- On note I le milieu du segment [AC] .
Déterminer l’affixe \(z_{I}\) du point I.
d- Déterminer puis construire l’ensemble \(( C )\) des points M d’affixe \(z\)
Tels que: \(|z+1-3 i|=2\)
3- Soit \(S\) la similitude plane directe:
qui laisse invariant le point A et transforme le point C en B.
a- Déterminer l’expression complexe ainsi que les éléments caractéristiques de \(S\).
b- Déterminer et construire l’ensemble \((C ‘)\) image de \(( C )\) par \(S\).
* probabilité (5 points )
1- On lance une fois un dé tétraédrique à quatre faces numérotées 1,2,3 et 4.
On s’intéresse au numéro de la face cachée. Pour \(k ∈\{1 ; 2 ; 3 ; 4\},\)
on note \(P_{k}\) la probabilité pour que numéro de la face cachée soit égale à k.
Le dé est truqué de telle sorte que les probabilités \(P _{1}, P _{2}, P _{3}\) et \(P _{4}\)
vérifient les conditions suivantes:
\(P_{2}=\frac{1}{2}=P_{1}=\frac{1}{3}=P_{3}\) et \(P_{4}=2 P_{1}\)
Démontrer que \(P_{1}=\frac{1}{5} .\)
En déduire les probabilités \(P_{2}, P_{3}\) et \(P_{4}\)
2- On lance deux fois de suite ce même dé.
a- Calculer la probabilité de l’événement
A: » le produit des deux numéros des deux faces cachées est égal à 4 «
b- On désigne par \(a\) le numéro de la face cachée au premier lancer
et par \(b\) le numéro du deuxième.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre \(|b-a|\)
Donner la loi de probabilité de X.
– Calculer l’espérance mathématique E(X) de X.
3- On lance quatre fois de suite et d’une manière indépendante ce dé.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face n°1 est cachée.
a- Calculer la probabilité de l’événement \(( Y≥ 1)\)
b- Calculer E(Y) et V(Y).
* Etude d’une fonction numérique (10 points )
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur ]0;+∞[ par :
\(f(x)=-x+3+\frac{(-1+ln x)}{x}\)
On note par \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct
\((O,\vec{i},\vec{j})\) ) d’unité \(1cm\).
1- Soit \(g\) { la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par : g(x)=x^{2}-2+ln x.\)
a- Etudier le sens de variation de \ \(g\) sur ]0;+∞[
b- Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution réelle unique α
Telle que α ∈] 1.2 ; 1.4[
c- En déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de x.
2- a- Calculer \(\lim_{x➝0^{+}} f(x)\).
Interpréter graphiquement le résultat.
b- Calculer \(\lim_{x➝+∞} f(x)\)
c- Montrer que la droite \((D)\) d’équation y=-x+3 est asymptote oblique à \(( C )\).
d- Etudier la position relative de \((C)\) par rapport à \((D)\)
3- a- Montrer que, pour tout \(x ∈] 0 ;+∞[, f ‘(x)=\frac{-g(x)}{x^{2}}.\)
b- Démontrer que \(f(α)=\frac{-2 α^{2}+3 α+1}{α}\)
c- Dresser le tableau de variation de la fonction \(f { sur }] 0 ;+∞[\)
4- a- Déterminer les coordonnées du point A de \((C)\) où la tangente (T) est parallèle à (D).
b- Construire \((T),(D)\) et \((C)\).
(On prendra α=1,3 pour la construction).
5- Calculer en cm² l’aire \(A\) du domaine plan délimité par la courbe\((C)\))
la droite (D) et les droites d’équations x=1 et x=e.
On donne : e≃2,71 ; \(e^{2}\)≃7,38 ; \(\frac{1}{e^{2}}\)≃0,13
⇊⇊Télécharger Fichier PDF Gratuit:
➲ Si vous souhaitez signaler une erreur merci de nous envoyer un commentaire