* Définition
Une suite \((u_{n})\) est une application de l’ensemble \(I\) ⊂ℕ ⟶ ℝ
qui à chaque élément n de \(I\) associe un unique élément noté \(u_{n}\)
appelé terme d’indice n de la suite \((u_{n})\).
On a deux types principaux des Suites numérique:
* \((u_{n})\)définie par l’expression du terme général:
Exemple:
\(u_{n}=n²+n+1\) : n∊ℕ
pour l’indice 2 ona le terme \(u_{2}=2²+2+1=7\)
\(u_{n}=\sqrt{3n+2}\) : n∊ℕ
son premier terme \(u_{0}=\sqrt{3×0+2}=\sqrt{2}\)
\(u_{n}=\frac{n+1}{n+3}\) : n≥2
son premier terme \(u_{n}=\frac{2+1}{2+3}=\frac{3}{5}\)
* \((u_{n})\) définie par une relation de récurrence:
Ce sont les suites définies par la donnée de leur premier terme \(u_{n}\) et par une relation de récurrence, valable pour tout entier nn
\(u_{n+1}\) = f( \(u_{n}\)).
Les suites arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers de suites définies par relation de récurrence.
Exemple:
* f(x)=x-5: \(u_{n+1}= u_{n}-5\).
\(u_{0}=1 ⟶ u_{1}= u_{0}-5=1-5=-4\).
* \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}: u_{n+1}= \frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}\).
\(u_{1}=2 ⟶ u_{2}=\frac{u_{1}-1}{u_{1}+1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}\).
* Majorée /Minorée / Bornée
*Majorée
une suite \((u_{n})\) est majorée par un réel M si ∀ n∊ℕ \(u_{n}≤M\).
Astuce: pour la démonstration on étudie le signe de la différence:\(u_{n}-M\).
*Minorée
une suite\((u_{n})\) est minorée par un réel m si ∀ n∊ℕ \(u_{n}≥m\).
Astuce: pour la démonstration on étudie le signe de la différence:\((u_{n}-m)\).
*Bornée :
une suite \((u_{n})\) est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M
Exemple:
1ér cas: Suite terme général.
\(u_{n}=n²+2\) (n∊ℕ).
Montrons que: \(u_{n}\) est minorée par 2.
\(u_n\) est minorée par 2 ⇔ ∀ n∊ℕ \(u_n≥2\)
Soit n∊ℕ:
➝ On étudie alors le signe de la différence: \(u_n-2\)
\(u_n\)-2=n²+2-2=n²≥0 ➝ \(u_n≥2\).
Donc: ∀ n∊ℕ \(u_n≥2\).
➝ \(u_n\) est minorée par 2.
2ér cas: Suite définie par une relation de récurrence.
pour cela on utilise:
Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier naturel n.
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀.
Exemple:
\(\left\{\begin{array}{ll} u_{0}= 2 \\ u_{n+1}= u_{n}+3 \quad n∊ℕ. \end{array}\right.\)
Montrer que: ∀ n∊ℕ \(u_{n} ≥ 2\) (par récurrence)
1°)Initialisation: pour n=0 (n₀=0) on a \(u_{0}\)= 2 ≥2 ➝ p(0) est vraie.
Soit n≥0:
2°)On suppose que P(n) est vraie: \(u_n≥2\)
\(u_{n+1}-2=u_{n}+3-2=u_{n}+1\)
on a: \(u_{n} ≥ 2\) ⟶ \(u_{n}+1 ≥3≥0\)
d’ où : \(u_{n+1}≥2.\)
* Suite croissante / décroissante / constante
La suite \((u_n)\) est croissante ⇔ \(u_{n+1} ≥ u_n\).
* Suites arithmétiques
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique ⇔ \((u_{n+1}- u_n )\) est constante.
⇔ il existe un nombre r∈ℝ tel que pour tout entier n on ait :
\(u_{n+1} = u_n + r \) (r est appelé la raison de la suite).
NB: Les suites arithmétiques sont les suites de la forme: \(an+b\) : n∈ℕ
Application:
Montrer que la suite \((u_n)_{n∈N}\) est arithmétique Préciser sa raison et son premier terme.
\(u_{n+1}- u_n \)=3(n+1) + 2)-(3n + 2)=3∈ℝ.
son premier terme \(u_{0}=3n + 2=2\).
⟶ \((u_n)_{n∈N}\) est une suite arithmétique de raison r=3 et son premier terme \(u_{0}=2\).
* Expression de un en fonctions de n (Terme général)
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique de raison r∈ℝ alors:
∀n⩾p⩾n₀, \(u_{n} = u_{p} + (n-p)×r\).
pour p=0: ∀n∈N \(u_{n} = u_{0} + n×r \).
pour p=1: ∀n∈N* \(u_{n} = u_{1} + (n-1)×r \).
* Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite arithmétique alors:
∀n⩾p⩾n₀, \(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+….+u_{n}=\frac{(u_{p}+u_{n})×(n-p+1)}{2}\).
\(S_{n} =\frac{((1er\,terme\,+\,dernier\,terme\,)×(\,nbre\, de\, termes)}{2}\)
(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0: \(S_{n} = u_{0}+u_{p+1}+….+u_{n}=\frac{(u_{0}+u_{n})×(n+1)}{2}\).
* Suite géométrique
* Définition
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique ⇔ \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constante.
⇔ il existe un nombre q∈ℝ tel que pour tout entier n on ait :
\(u_{n+1} = q×u_n\) (q est appelé la raison de la suite).
NB: Les suites arithmétiques sont les suites de la forme: \(ab^{n}\) : n∈N
\(u_{n} =2^{n} \) : n∈ℕ
Montrer que la suite \((u_n)_{n∈N}\) est géométrique Préciser sa raison et son premier terme.
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2^{n+1-n}=2∈ℝ\).
son premier terme \(u_{0}=2^{0}=1\).
⟶ \((u_n)_{n∈N}\) est une suite géométrique de raison q=2 et son premier terme \(u_{0}=1\).
* Expression de un en fonctions de n (Terme général)
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométriquede raison q∈ℝ alors:
∀n⩾p⩾n₀, \(u_{n} = u_{p}×q^{(n-p)}\)
pour p=0: ∀n∈N \(u_{n} = u_{0}×q^{n}\).
pour p=1: ∀n∈N* \(u_{n} = u_{1}×q^{(n-1)}\).
* Somme de termes successifs d’une suite géométrique
\((u_n)_{n⩾n₀}\) est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀ \(S_{n} = u_{p}+u_{p+1}+….+u_{p}=\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}×u_{p}\).
\(S_{n} = \frac{1-q^{(nbre\, de\, termes)}}{1-q}×(1er\,terme)\).
pour p=0: \(S_{n} =\frac{1-q^{(n+1)}}{1-q}×u_{0}\).
pour p=1: \(S_{n} =\frac{1-q^{n}}{1-q}×u_{1}\).
* Suite convergente / divergente
Une suite \((u_n)\) a pour limite un nombre \(l\)∈IR.
lorsque les nombres \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(l\) pour des entiers nn de plus en plus grands.
On dit alors que la suite\((u_n)\) converge vers \(l\) (convergente de limite \(l\) ).
* Propriété 1
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
* Propriété 2
\((u_n), (v_n) et (w_n)\) trois suites telles que : \(v_n ≤ u_n ≤ w_n\) (∀n⩾n₀).
et si: \(\lim _{n⟶+∞}v_n=w_n=l\) alors on a : \(\lim _{n⟶+∞}u_n=l\).
* Propriété 3
\((u_n) et (v_n) \) deux suites numériques telles que : \(v_n ≤ u_n\) (∀n⩾n₀).
et si: \(\lim _{n⟶+∞}v_n=+∞\) alors on a : \(\lim _{n⟶+∞}u_n=+∞\).
et si: \(\lim _{n⟶+∞}u_n=-∞\) alors on a : \(\lim _{n⟶+∞}v_n=-∞\).
Si q>1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=+∞\)
Si q =1 alors\(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=1\)
Si −1< q<1 alors \(\lim _{n⟶+∞} q^{n}=0\)
Si a>0 alors \(\lim _{n⟶+∞} n^{a}=+∞\)
Si a<0 alors \(\lim _{n⟶+∞} n^{a}=0\)
Soient \(( u_{n})_ {n⩾n₀}\) une suite numérique définie par : \(u_{n+1}= f( u_{n})\).
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que \(f(I) ⊂ I\).
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.
Aors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec \(l\) est la solution de l’équation : f (x) = x ( les points fixes de f ).
Application:
f(x)=\(\frac{5x-4}{x+1}\) I= [2,5]
\(u_{n+1}= f( u_{n})\) avec \(u_{n}\) converge.
Calculer \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}\)
Ona :
* f est continue sur [2,5] ①
* f est croissante ⟶ f(2)=2 et f(5) =\(\frac{21}{6}\) ⟶ \(f([2,5])=[2,\frac{21}{6}]\) ⟶ \(f([2,5])⊂[2,5]\) ②
* \(u_{n}\) converge ③
Alors \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=l\) avec f(\(l\)=(\(l)\)
résoudre de l’équation : f (x) = x
\(\frac{5x-4}{x+1}\)=x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc \(\lim _{n⟶+∞} u_{n}=2\).