Résumé cours Les suites numériques

* Définition

Une suite $(u_{n})$ est une application de l’ensemble $I$ ⊂ℕ ⟶ ℝ
qui à chaque élément n de $I$ associe un unique élément noté $u_{n}$
appelé terme d’indice n de la suite $(u_{n})$ .
On a deux types principaux des Suites numérique:

* $(u_{n})$ définie par l’expression du terme général:

Exemple:
$u_{n} = n ² + n + 1$ : n∊ℕ
pour l’indice 2 ona le terme $u_{2} = 2 ² + 2 + 1 = 7$

$u_{n} = \sqrt{3 n + 2}$ : n∊ℕ
son premier terme $u_{0} = \sqrt{3 \times 0 + 2} = \sqrt{2}$

$u_{n} = \frac{n + 1}{n + 3}$ : n≥2
son premier terme $u_{n} = \frac{2 + 1}{2 + 3} = \frac{3}{5}$

* $(u_{n})$ définie par une relation de récurrence:
Ce sont les suites définies par la donnée de leur premier terme $u_{n}$ et par une relation de récurrence, valable pour tout entier nn
$u_{n + 1}$ = f( $u_{n}$ ).
Les suites arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers de suites définies par relation de récurrence.

Exemple:
* f(x)=x-5: $u_{n + 1} = u_{n} - 5$ .
$u_{0} = 1 ⟶ u_{1} = u_{0} - 5 = 1 - 5 = - 4$ .
* $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1} : u_{n + 1} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$ .
$u_{1} = 2 ⟶ u_{2} = \frac{u_{1} - 1}{u_{1} + 1} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ .

* Majorée /Minorée / Bornée

*Majorée
une suite $(u_{n})$ est majorée par un réel M si ∀ n∊ℕ $u_{n} \leq M$ .

Astuce: pour la démonstration on étudie le signe de la différence: $u_{n} - M$ .

*Minorée
une suite $(u_{n})$ est minorée par un réel m si ∀ n∊ℕ $u_{n} \geq m$ .

Astuce: pour la démonstration on étudie le signe de la différence: $(u_{n} - m)$ .

*Bornée :
une suite $(u_{n})$ est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée.
Ceci équivaut au fait qu’il existe deux réels m et M

tels que: ∀ n∊ℕ

m \leq u_{n} \leq M

Exemple:

1ér cas: Suite terme général.
$u_{n} = n ² + 2$ (n∊ℕ).
Montrons que: $u_{n}$ est minorée par 2.
$u_{n}$ est minorée par 2 ⇔ ∀ n∊ℕ $u_{n} \geq 2$
Soit n∊ℕ:
➝ On étudie alors le signe de la différence: $u_{n} - 2$
$u_{n}$ -2=n²+2-2=n²≥0 ➝ $u_{n} \geq 2$ .
Donc: ∀ n∊ℕ $u_{n} \geq 2$ .
➝ $u_{n}$ est minorée par 2.

2ér cas: Suite définie par une relation de récurrence.
pour cela on utilise:

* Raisonnement par récurrence

Soit P(n) une proposition qui dépend d’un entier naturel n.

Si P(n₀) est vraie (initialisation)
Et si P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie (hérédité)
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n⩾n₀.

Exemple:
${\begin{cases} u_{0} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 n ∊ ℕ . \end{cases}$
Montrer que: ∀ n∊ℕ $u_{n} \geq 2$ (par récurrence)
1°)Initialisation: pour n=0 (n₀=0) on a $u_{0}$ = 2 ≥2 ➝ p(0) est vraie.
Soit n≥0:
2°)On suppose que P(n) est vraie: $u_{n} \geq 2$

3°)Montrons que P(n+1) est vraie :

u_{n + 1} \geq 2

Calcule la différence:

$u_{n + 1} - 2 = u_{n} + 3 - 2 = u_{n} + 1$
on a: $u_{n} \geq 2$ ⟶ $u_{n} + 1 \geq 3 \geq 0$
d’ où : $u_{n + 1} \geq 2.$

Alors ona: ∀ n∊ℕ

u_{n} \geq 2

* Suite croissante / décroissante / constante

La suite $(u_{n})$ est croissante ⇔ $u_{n + 1} \geq u_{n}$ .

La suite

(u_{n})

est décroissante ⇔

u_{n + 1} ​ \leq u_{n} ​

La suite

(u_{n})

est constante ⇔

u_{n + 1} ​ = u_{n}

La suite

(u_{n})

est monotone si elle est croissante ou décroissante.

* Suites arithmétiques

Définition

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite arithmétique ⇔

(u_{n + 1} - u_{n})

est constante.
⇔ il existe un nombre r∈ℝ tel que pour tout entier n on ait :

u_{n + 1} = u_{n} + r

(r est appelé la raison de la suite).
NB: Les suites arithmétiques sont les suites de la forme:

a n + b

: n∈ℕ

Application:

u_{n} = 3 n + 2

: n∈ℕ
Montrer que la suite

(u_{n})_{n \in N ​}

est arithmétique Préciser sa raison et son premier terme.

u_{n + 1} - u_{n}

=3(n+1) + 2)-(3n + 2)=3∈ℝ.
son premier terme

u_{0} = 3 n + 2 = 2

.
⟶

(u_{n})_{n \in N ​}

est une suite arithmétique de raison r=3 et son premier terme

u_{0} = 2

* Expression de un en fonctions de n (Terme général)
$(u_{n})_{n ⩾ n ₀ }$ est une suite arithmétique de raison r∈ℝ alors:
∀n⩾p⩾n₀, $u_{n} = u_{p} + (n - p) \times r$ .
pour p=0: ∀n∈N $u_{n} = u_{0} + n \times r$ .
pour p=1: ∀n∈N* $u_{n} = u_{1} + (n - 1) \times r$ .

* Somme de termes successifs d’une suite arithmétique
$(u_{n})_{n ⩾ n ₀ }$ est une suite arithmétique alors:
∀n⩾p⩾n₀, $S_{n} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots . + u_{n} = \frac{(u_{p} + u_{n}) \times (n - p + 1)}{2}$ .

$S_{n} = \frac{((1 e r t e r m e + d e r n i e r t e r m e) \times (n b r e d e t e r m e s)}{2}$
(nbre de termes=der-Pre+1=n-p+1)
pour p=0: $S_{n} = u_{0} + u_{p + 1} + \dots . + u_{n} = \frac{(u_{0} + u_{n}) \times (n + 1)}{2}$ .

* Suite géométrique

* Définition
$(u_{n})_{n ⩾ n ₀ }$ est une suite géométrique ⇔ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ est constante.
⇔ il existe un nombre q∈ℝ tel que pour tout entier n on ait :
$u_{n + 1} = q \times u_{n}$ (q est appelé la raison de la suite).
NB: Les suites arithmétiques sont les suites de la forme: $a b^{n}$ : n∈N

Application:

$u_{n} = 2^{n}$ : n∈ℕ
Montrer que la suite $(u_{n})_{n \in N }$ est géométrique Préciser sa raison et son premier terme.
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{2^{n}} = 2^{n + 1 - n} = 2 \in ℝ$ .
son premier terme $u_{0} = 2^{0} = 1$ .
⟶ $(u_{n})_{n \in N }$ est une suite géométrique de raison q=2 et son premier terme $u_{0} = 1$ .

* Expression de un en fonctions de n (Terme général)

(u_{n})_{n ⩾ n ₀ ​}

est une suite géométriquede raison q∈ℝ alors:
∀n⩾p⩾n₀,

u_{n} = u_{p} \times q^{(n - p)}

pour p=0: ∀n∈N

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

.
pour p=1: ∀n∈N*

u_{n} = u_{1} \times q^{(n - 1)}

* Somme de termes successifs d’une suite géométrique
$(u_{n})_{n ⩾ n ₀ }$ est une suite géométrique alors:
∀n⩾p⩾n₀ $S_{n} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots . + u_{p} = \frac{1 - q^{(n - p + 1)}}{1 - q} \times u_{p}$ .
$S_{n} = \frac{1 - q^{(n b r e d e t e r m e s)}}{1 - q} \times (1 e r t e r m e)$ .

pour p=0: $S_{n} = \frac{1 - q^{(n + 1)}}{1 - q} \times u_{0}$ .
pour p=1: $S_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \times u_{1}$ .

* Suite convergente / divergente

Une suite

(u_{n})

a pour limite un nombre

l

∈IR.
lorsque les nombres

u_{n}

se rapprochent indéfiniment de

l

pour des entiers nn de plus en plus grands.
On dit alors que la suite

(u_{n})

converge vers

l

(convergente de limite

l

Ceci se note par:

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l

* Propriété 1
* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.

* Propriété 2
$(u_{n}), (v_{n}) e t (w_{n})$ trois suites telles que : $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ (∀n⩾n₀).
et si: $lim_{n ⟶ + \infty} v_{n} = w_{n} = l$ alors on a : $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l$ .

* Propriété 3
$(u_{n}) e t (v_{n})$ deux suites numériques telles que : $v_{n} \leq u_{n}$ (∀n⩾n₀).
et si: $lim_{n ⟶ + \infty} v_{n} = + \infty$ alors on a : $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = + \infty$ .
et si: $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = - \infty$ alors on a : $lim_{n ⟶ + \infty} v_{n} = - \infty$ .

* Limite de la suite géométrique

q^{n}

Si q>1 alors $lim_{n ⟶ + \infty} q^{n} = + \infty$
Si q =1 alors $lim_{n ⟶ + \infty} q^{n} = 1$
Si −1< q<1 alors $lim_{n ⟶ + \infty} q^{n} = 0$

Si q≤ −1 alors

q^{n}

n’a pas de limite.

* Limite de la suite

n^{a}

Si a>0 alors $lim_{n ⟶ + \infty} n^{a} = + \infty$
Si a<0 alors $lim_{n ⟶ + \infty} n^{a} = 0$

* Plan d’étude des suites

u_{n + 1} = f (u_{n})

Soient

(u_{n})_{n ⩾ n ₀}

une suite numérique définie par :

u_{n + 1} = f (u_{n})

.
les points essentiels de ce qu’il faut faire pour étudier cette suite.
1) il faut trouver un intervalle I = [a, b] (fermé et borné) qui soit stable par f, c’est-à-dire que

f (I) \subset I

.
2) Ensuite vérifier que la fonction f est continue sur I.

(u_{n})_{n ⩾ n ₀}

est une suite convergente.
Aors

lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l

avec

l

est la solution de l’équation : f (x) = x ( les points fixes de f ).

Application:
f(x)= $\frac{5 x - 4}{x + 1}$ I= [2,5]
$u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $u_{n}$ converge.
Calculer $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n}$

Ona :
* f est continue sur [2,5] ①
* f est croissante ⟶ f(2)=2 et f(5) = $\frac{21}{6}$ ⟶ $f ([2, 5]) = [2, \frac{21}{6}]$ ⟶ $f ([2, 5]) \subset [2, 5]$ ②
* $u_{n}$ converge ③
Alors $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = l$ avec f( $l$ =( $l)$
résoudre de l’équation : f (x) = x
$\frac{5 x - 4}{x + 1}$ =x⟶ 5x-4=x(x+1) ⟶ 5x-4=x²+x
⟶x²-4x+4=0 ⟶ (x-2)²=0 ⟶ x=2.
donc $lim_{n ⟶ + \infty} u_{n} = 2$ .

Résumé du Cours pour Bac 2

Nombres Complexes

Etudes de fonctions