Examen Math Bac Economie 2018 Normal
* Suite Numérique (4.5 points )
On considère la suite numérique \((u_{n})_{n \in N }\) définie par:
\(u_{0}=3\) et ∀ n∊IN : \(u_{n+1}=\frac{2}{3} u_{n}+5\)
1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\) (0.5)
2. a. Montrer par récurrence que ∀ n∊IN : \(Nu_{n}<15\) (0.5)
b. Montrer que ∀ n∊IN : \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1}{3} u_{n}+5\) (0.5)
c. Vérifier que ∀ n∊IN : \(-\frac{1}{3} u_{n}+5>0\) (0.25)
d. En déduire que \((u_{n})_{n \in N }\) est croissante et qu’elle est convergente. (0.5)
3. On pose ∀ n∊IN : \(v_{n}=u_{n}-15\)
a. Montrer que ∀ n∊IN : \(v_{n+1}=\frac{2}{3} v_{n}\) (0.5)
b. Calculer le premier terme \(v_{0}\) et montrer que ∀ n∊IN : \(v_{n}=(-12) × (\frac{2}{3})^{n}\) (0.75)
4. a. Calculer \(u_{n}\) en fonction de n (0.5)
b. Calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\). (0.5)
* Probabilité (4 points )
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes.
On tire simultanément au hasard trois boules du sac.
On considère les événements suivants:
A: » Les trois boules tirées sont blanches »
B: » Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux «
C: » Il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées «
1. a. Montrer que \(p(A)=\frac{1}{56}\). (0.5)
b. Calculer \(p(B)\) et \(p(C)\). (1.5)
2. Soit \(x\) la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées.
a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses, (1.5)
* Etudes de Fonctions (9 points )
Partie I
On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle x définie sur ]0,+∞[ par:
\(f(x)=x-\frac{1}{x}+\ln x\)
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\)
1. Calculer \(\lim _{x\rightarrow 0} f(x)\) et donner une interprétation géométrique du résultat (1)
2 . a. Calculer \(\lim_{x⟶+∞} f(x)\) (0.5)
b. Montrer que \(\lim _{x⟶+∞} \frac{f(x)}{x}=1\) (7.5)
c. Calculer \(\lim _{x⟶+∞}(f(x)-x)\) et donner une interprétation géométrique du résultat (1)
3. a. Montrer que ∀ x>0 : \( f ‘(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\) (0.75)
b. Calculer \(f(1)\) puis dresser le tableau de variations de \(f\) (0.75)
c. En déduire le signe de \(f\) sur ]0,1] et sur [1,+∞[ (0.5)
d. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C)\) au point d’abscisse 1 (0.75)
4. Dans la figure ci-dessous (\(C\)) est la courbe représentative de \(f\) dans le repère \((0,\vec{i}, \vec{j})\)
a. En utilisant une intégration par parties, montrer que : \(\int_{1}^{e} \ln (x) d x=1\) (1)
b. Montrer que l’aire de la parie hachurée est égale à \(\frac{1}{2}(e^{2}-1)\) u.a (1)
(u.a signifie unité d’aire).
Partie II
Soit \(g\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie sur ]0,+∞[ par:
\(g(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-1+2 \ln x)\)
1. Montrer que∀ x>0 : g ‘(x)=f(x) (1)
2. En utilisant 3.c de la partie I, montrer que \(g\) est décroissante ]0,1] et et croissante sur [1,+∞[ (1)
3. a. Que représente la fonction \(g\) pour la fonction \(f\)? (justifier la réponse) (0.5)
b. En déduire, sans calcul, la valeur de \(g(e)-g(1)\) (justifier la réponse), (1)
Correction
* Suite Numérique
Soit n∊IN On a : \(u_{n+1}=\frac{2}{3} u_{n}+5 \quad \) et \(u_{0}=3 \)
1.Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\)
\(u_{1}=\frac{2}{3} u_{0}+5=\frac{2}{3}(3)+5=7\)
\(u_{2}=\frac{2}{3} u_{1}+5=\frac{2}{3}(7)+5=\frac{14}{3}+5=\frac{29}{3}\)
2. a. Montrer par récurrence que ∀ n∊IN : \(Nu_{n}<15\)
Pour \(n=0\) ⟶ On a \(u_{0}=3\)⟶ Donc \(u_{0}<15\) (vrai)
Soit n∊IN :
Supposons que : \(u_{n}<15\) Et montrons que : \(u_{n+1}<15 ?\)
On a:
\(u_{n+1}-15 =\frac{2}{3} u_{n}+5-15\)
\(=\frac{2}{3} u_{n}-10\)
\(=\frac{2}{3}(u_{n}-15)\)
D’après l’hypothèse de récurrence, on a : \(u_{n}<15\)
D’où \(u_{n}-15<0\)
⟶ \(\quad\frac{2}{3}(u_{n}-15)<0\)
Donc \(u_{n+1}-15<0\)
D’où \(u_{n+1}<15\)
On déduit que ∀n∊IN : \( u_{n}<15\)
b. Montrer que ∀ n∊IN : \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1}{3} u_{n}+5\)
Soit n∊IN :
On a : \(u_{n+1}-u_{n}\)
\(=\frac{2}{3} u_{n}+5-u_{n}\)
\(=\left(\frac{2}{3}-1\right) u_{n}+5\)
\(=-\frac{1}{3} u_{n}+5\)
Donc : ∀n∊IN : \( u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1}{3} u_{n}+5\)
c. Vérifier que ∀ n∊IN : \(-\frac{1}{3} u_{n}+5>0\)
c. Soit \(n \in N\)
On a \(u_{n}<15\)
➝ \(\quad-\frac{1}{3} u_{n}>-5\)
➝ \(\quad-\frac{1}{3} u_{n}+5>0\)
Donc ∀ n∊IN : \(-\frac{1}{3} u_{n}+5>0\)
d. En déduire que \((u_{n})_{n \in N }\) est croissante et qu’elle est convergente.
Soit n∊IN :
On a \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{1}{3} u_{n}+5\) et \(-\frac{1}{3} u_{n}+5>0\)
Donc pour tout \(n\) de \(N : u_{n+1}-u_{n}>0\)
D’où \((u_{n})_{n∊IN}\) est (strictement) croissante
Puisque \((u_{n})_{n∊IN}\) est croissante et majorée (par 15 ) alors
\((u_{n})_{n∊IN}\) est convergente.
3. Soit n∊IN On a : \(v_{n}=u_{n}-15\)
a. Montrer que ∀ n∊IN : \(v_{n+1}=\frac{2}{3} v_{n}\)
Soit n∊IN :
On a déjà montré que \(u_{n+1}-15=\frac{2}{3}(u_{n}-15)\)
Donc pour tout \(n\) de \(N : v_{n+1}=\frac{2}{3} v_{n}\)
b. Calculer de \(v_{0}\)
\(v_{0}=u_{0}-15=3-15=-12\)
*montrer que ∀ n∊IN : \(v_{n}=(-12) × (\frac{2}{3})^{n}\)
Soit n∊IN :
On a: \(N : v_{n+1}=\frac{2}{3} v_{n}\)
Donc \((v_{n})_{n∊IN}\) est une suite géométrique de raison \(q=\frac{2}{3}\) et de premier terme \(v_{0}=-12\)
Donc ∀ n∊IN : \( v_{n}=v_{0} × q^{n}\)
D’où ∀ n∊IN : \(v_{n}=(-12) × \frac{2}{2})^{n}\)
4. a. Calcule de \(u_{n}\) en fonction de n
Soit n∊IN :
on a \(v_{n}=u_{n}-15\)
donc \(u_{n}=v_{n}+15\)
d’où ∀ n∊IN : \(u_{n}=(-12) × \frac{2}{3})^{n}+15\)
b. Calcule de \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\)
on a : \(-1<\frac{2}{3}<1\)
donc \(\lim _{n➝+∞}\frac{2}{3})^{n}=0\)
d’où :
\(\lim _{n➝+∞} u_{n}=\lim _{n➝+∞}(-12) × \frac{2}{3})^{n}+15=15\).
* Probabilité
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher :
3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes.
On tire simultanément au hasard trois boules du sac.
1. a. Montrer que \(p(A)=\frac{1}{56}\):
Soit Ω l’univers de cette expérience card (Ω) = \(C_{3}^{8}=56\)
A: » Les trois boules tirées sont blanches »: (BBB)
On a card (A) =\(C_{3}^{3}=1\)
Donc \(p(A)=\frac{card (A)}{card (Ω)}=\frac{1}{56}\)
b. Calcule de \(p(B)\) et \(p(C)\):
* B: » Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux « : (RVB)
On a : card (B) =\(C_{3}^{1} × C_{3}^{1} × C_{2}^{1}= 3× 3 × 2=18\)
Donc p(B) =\(\frac{card (B)}{card (Ω)}=\frac{18}{56}=\frac{9}{28}\)
* C: » Il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées « : \(\bar{B}\bar{B}\bar{B}\)
On a : card (C) =\(C_{5}^{3}=10\)
Donc p(C) = \(\frac{card (C)}{card (Ω)}=\frac{10}{56}=\frac{5}{28}\)
2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées. es valeurs possibles de \(X\)
Les valeurs possibles de X :
X=0 : \(\bar{B}\bar{B}\bar{B}\)
X=1 : \(B\bar{B}\bar{B}\)
X=2 :\(BB\bar{B}\)
X=3 :\(BBB\)
\(p(X=0)=p(C)=\frac{5}{28}\)
\(p(X=1)=\frac{C_{3}^{1} × C_{5}^{2}}{56}=\frac{3 × 10}{56}=\frac{15}{28}\)
\(p(X=2)=\frac{C_{3}^{2} × C_{5}^{1}}{56}=\frac{3× 5}{56}=\frac{15}{56}\)
\(p(X=3)=p(A)=\frac{1}{56}\)
b. Calcule de E(X)
\(E(X)=(0×\frac{5}{28})+(1×\frac{15}{28})+(2×\frac{15}{56})+(3×\frac{1}{56})=\frac{9}{8}\)
* Etudes de Fonctions
soit x∈ ]0,+∞[ : \(f(x)=x-\frac{1}{x}+\ln x\)
1. * Calculer \(\lim _{x\rightarrow 0 \atop x>0} f(x)\)
\(\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x-\frac{1}{x}+\ln (x)=-∞\)
Car:
\(\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} x=0^{+}\)
\(\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0}-\frac{1}{x}=-∞\)
\(\lim _{x \rightarrow 0 \atop x>0} \ln (x)=-∞\)
* Interprétation géométrique du résultat
\((C)\) admet une asymptote verticale d’équation \(x=0\)
2 . a. Calculer \(\lim_{x⟶+∞} f(x)\)
2. a. \(\lim _{x⟶+∞} f(x)=\lim _{x⟶+∞} x-\frac{1}{x}+\ln (x)=+∞\)
Car :
\(\lim _{x⟶+∞} x=+∞\)
\(\lim _{x⟶+∞}-\frac{1}{x}=0\)
\(\lim _{x⟶+∞}ln (x)=+∞\)
b. Montrer que \(\lim _{x⟶+∞} \frac{f(x)}{x}=1\)
\(\lim _{x⟶+∞} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x⟶+∞} \frac{x-\frac{1}{x}+\ln (x)}{x}\)
\(=\lim _{x⟶+∞} 1-\frac{1}{x^{2}}+\frac{\ln (x)}{x}=1\)
Car :
\(\lim _{x⟶+∞}-\frac{1}{x^{2}}=0\)
\(\lim _{x⟶+∞} \frac{\ln x}{x}=0\)
c. Calculer \(\lim _{x⟶+∞}(f(x)-x)\)
\(\lim _{x⟶+∞} f(x)-x=\lim _{x⟶+∞}-\frac{1}{x}+ln (x)=+∞\)
*Interprétation géométrique du résultat
\((C)\) admet une branche parabolique de direction l’axe d’équation y=x au voisinage de +∞.
3. a. Montrons que \( f ‘(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\) (x>0)
f est dérivable sur ] 0,+∞[
Soit x∈] 0,+∞[ on a:
\(f ‘ (x)=(x-\frac{1}{x}+lnx)’\)\(=1-\frac{-1}{x^{2}}+\frac{1}{x}\)\(=1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}\)Donc ∀ x>0, f ‘ (x)=\(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)
b. Calcule de \(f(1)\)
\(f(1)=1-\frac{1}{1}+\ln (1)=1-1+0=0\)
*le tableau de variations de \(f\)
Soit x∈] 0,+∞[ on a:
\(f ‘(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\)
Donc f ‘(x)>0 (car x>0)
D’où f est strictement croissante sur ] 0,+∞[
c.le signe de \(f\) sur ]0,1] et sur [1,+∞[
* Sur ] 0,1]:
On a : 0<x≤1
Et puisque f est strictement croissante sur] 0,1]
Alors : f(x)≤f(1)=0
Et par suite ∀∈] 0,1] : f(x)≤0.
* Sur [1,+∞[ :
On a x≥1
Et puisque f est strictement croissante sur [1,+∞[
Alors : \(f(x)≥ f(1)=0
Et par suite ∀∈[1,+∞[ : f(x)≥0.