Examen Math Bac Economie 2018 Normal Avec Correction

Examen Math Bac Economie 2018 Normal

* Suite Numérique (4.5 points )

On considère la suite numérique

(u_{n})_{n \in N}

définie par:

u_{0} = 3

et ∀ n∊IN :

u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} + 5

1. Calculer

u_{1}

u_{2}

(0.5)

2. a. Montrer par récurrence que ∀ n∊IN :

N u_{n} < 15

(0.5)

b. Montrer que ∀ n∊IN :

u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{3} u_{n} + 5

(0.5)

c. Vérifier que ∀ n∊IN :

- \frac{1}{3} u_{n} + 5 > 0

(0.25)

d. En déduire que

(u_{n})_{n \in N}

est croissante et qu’elle est convergente. (0.5)

3. On pose ∀ n∊IN :

v_{n} = u_{n} - 15

a. Montrer que ∀ n∊IN :

v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}

(0.5)

b. Calculer le premier terme

v_{0}

et montrer que ∀ n∊IN :

v_{n} = (- 12) \times (\frac{2}{3})^{n}

(0.75)

4. a. Calculer

u_{n}

en fonction de n (0.5)

b. Calculer

lim_{n ➝ + \infty} u_{n}

. (0.5)

* Probabilité (4 points )

Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes.

On tire simultanément au hasard trois boules du sac.

On considère les événements suivants:

A: » Les trois boules tirées sont blanches »

B: » Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux «

C: » Il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées «

1. a. Montrer que

p (A) = \frac{1}{56}

. (0.5)

b. Calculer

p (B)

p (C)

. (1.5)

2. Soit

x

la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées.

a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses, (1.5)

\begin{array}{lc} x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ p (x = x_{i}) \end{array}

b. Calculer

E (x)

l’espérance mathématique de la variable aléatoire

x

* Etudes de Fonctions (9 points ) Partie I

On considère la fonction numérique

f

de la variable réelle x définie sur ]0,+∞[ par:

f (x) = x - \frac{1}{x} + \ln x

et soit

(C)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

1. Calculer

lim_{x \to 0} f (x)

et donner une interprétation géométrique du résultat (1)

2 . a. Calculer

lim_{x ⟶ + \infty} f (x)

(0.5)

b. Montrer que

lim_{x ⟶ + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1

(7.5)

c. Calculer

lim_{x ⟶ + \infty} (f (x) - x)

et donner une interprétation géométrique du résultat (1)

3. a. Montrer que ∀ x>0 :

f ‘ (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

(0.75)

b. Calculer

f (1)

puis dresser le tableau de variations de

f

(0.75)

c. En déduire le signe de

f

sur ]0,1] et sur [1,+∞[ (0.5)

d. Déterminer l’équation de la tangente

(T)

à la courbe

(C)

au point d’abscisse 1 (0.75)

4. Dans la figure ci-dessous (

C

) est la courbe représentative de

f

dans le repère

(0, \vec{i}, \vec{j})

a. En utilisant une intégration par parties, montrer que :

\int_{1}^{e} \ln (x) d x = 1

(1)

b. Montrer que l’aire de la parie hachurée est égale à

\frac{1}{2} (e^{2} - 1)

u.a (1)

(u.a signifie unité d’aire).

Partie II

Soit

g

la fonction numérique de la variable réelle

x

définie sur ]0,+∞[ par:

g (x) = \frac{1}{2} (x - 1) (x - 1 + 2 \ln x)

1. Montrer que∀ x>0 : g ‘(x)=f(x) (1)

2. En utilisant 3.c de la partie I, montrer que

g

est décroissante ]0,1] et et croissante sur [1,+∞[ (1)

3. a. Que représente la fonction

g

pour la fonction

f

? (justifier la réponse) (0.5)

b. En déduire, sans calcul, la valeur de

g (e) - g (1)

(justifier la réponse), (1)

Correction

* Suite Numérique

Soit n∊IN On a :

u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} + 5

u_{0} = 3

1.Calculer

u_{1}

u_{2}

u_{1} = \frac{2}{3} u_{0} + 5 = \frac{2}{3} (3) + 5 = 7

u_{2} = \frac{2}{3} u_{1} + 5 = \frac{2}{3} (7) + 5 = \frac{14}{3} + 5 = \frac{29}{3}

2. a. Montrer par récurrence que ∀ n∊IN :

N u_{n} < 15

Pour

n = 0

⟶ On a

u_{0} = 3

⟶ Donc

u_{0} < 15

(vrai) Soit n∊IN : Supposons que :

u_{n} < 15

Et montrons que :

u_{n + 1} < 15 ?

On a:

u_{n + 1} - 15 = \frac{2}{3} u_{n} + 5 - 15

= \frac{2}{3} u_{n} - 10

= \frac{2}{3} (u_{n} - 15)

D’après l’hypothèse de récurrence, on a :

u_{n} < 15

D’où

u_{n} - 15 < 0

⟶

\frac{2}{3} (u_{n} - 15) < 0

Donc

u_{n + 1} - 15 < 0

D’où

u_{n + 1} < 15

On déduit que ∀n∊IN :

u_{n} < 15

b. Montrer que ∀ n∊IN :

u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{3} u_{n} + 5

Soit n∊IN :

On a :

u_{n + 1} - u_{n}

= \frac{2}{3} u_{n} + 5 - u_{n}

= (\frac{2}{3} - 1) u_{n} + 5

= - \frac{1}{3} u_{n} + 5

Donc : ∀n∊IN :

u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{3} u_{n} + 5

c. Vérifier que ∀ n∊IN :

- \frac{1}{3} u_{n} + 5 > 0

c. Soit

n \in N

On a

u_{n} < 15

➝ $\quad-\frac{1}{3} u_{n}>-5$

➝ $\quad-\frac{1}{3} u_{n}+5>0$

Donc ∀ n∊IN :

- \frac{1}{3} u_{n} + 5 > 0

d. En déduire que

(u_{n})_{n \in N}

est croissante et qu’elle est convergente.

Soit n∊IN :

On a

u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{3} u_{n} + 5

- \frac{1}{3} u_{n} + 5 > 0

Donc pour tout

n

N : u_{n + 1} - u_{n} > 0

D’où $(u_{n})_{n∊IN}$ est (strictement) croissante

Puisque $(u_{n})_{n∊IN}$ est croissante et majorée (par 15 ) alors

$(u_{n})_{n∊IN}$ est convergente.

3. Soit n∊IN On a :

v_{n} = u_{n} - 15

a. Montrer que ∀ n∊IN :

v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}

Soit n∊IN :

On a déjà montré que

u_{n + 1} - 15 = \frac{2}{3} (u_{n} - 15)

Donc pour tout

n

N : v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}

b. Calculer de

v_{0}

v_{0} = u_{0} - 15 = 3 - 15 = - 12

*montrer que ∀ n∊IN :

v_{n} = (- 12) \times (\frac{2}{3})^{n}

Soit n∊IN : On a:

N : v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}

Donc

(v_{n})_{n ∊ I N}

est une suite géométrique de raison

q = \frac{2}{3}

et de premier terme

v_{0} = - 12

Donc ∀ n∊IN :

v_{n} = v_{0} \times q^{n}

D’où ∀ n∊IN :

v_{n} = (- 12) \times \frac{2}{2})^{n}

4. a. Calcule de

u_{n}

en fonction de n

Soit n∊IN : on a

v_{n} = u_{n} - 15

donc

u_{n} = v_{n} + 15

d’où ∀ n∊IN :

u_{n} = (- 12) \times \frac{2}{3})^{n} + 15

b. Calcule de

lim_{n ➝ + \infty} u_{n}

on a :

- 1 < \frac{2}{3} < 1

donc

lim_{n ➝ + \infty} \frac{2}{3})^{n} = 0

d’où :

lim_{n ➝ + \infty} u_{n} = lim_{n ➝ + \infty} (- 12) \times \frac{2}{3})^{n} + 15 = 15

* Probabilité

Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher :

3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes.

On tire simultanément au hasard trois boules du sac.

1. a. Montrer que

p (A) = \frac{1}{56}

Soit Ω l’univers de cette expérience card (Ω) =

C_{3}^{8} = 56

A: » Les trois boules tirées sont blanches »: (BBB)

On a card (A) =

C_{3}^{3} = 1

Donc

p (A) = \frac{c a r d (A)}{c a r d (Ω)} = \frac{1}{56}

b. Calcule de

p (B)

p (C)

* B: » Les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux « : (RVB) On a : card (B) =

C_{3}^{1} \times C_{3}^{1} \times C_{2}^{1} = 3 \times 3 \times 2 = 18

Donc p(B) =

\frac{c a r d (B)}{c a r d (Ω)} = \frac{18}{56} = \frac{9}{28}

* C: » Il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées « :

\bar{B} \bar{B} \bar{B}

On a : card (C) =

C_{5}^{3} = 10

Donc p(C) =

\frac{c a r d (C)}{c a r d (Ω)} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}

2. Soit

X

la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées. es valeurs possibles de

X

Les valeurs possibles de X : X=0 :

\bar{B} \bar{B} \bar{B}

X=1 :

B \bar{B} \bar{B}

X=2 :

B B \bar{B}

X=3 :

B B B

p (X = 0) = p (C) = \frac{5}{28}

p (X = 1) = \frac{C_{3}^{1} \times C_{5}^{2}}{56} = \frac{3 \times 10}{56} = \frac{15}{28}

p (X = 2) = \frac{C_{3}^{2} \times C_{5}^{1}}{56} = \frac{3 \times 5}{56} = \frac{15}{56}

p (X = 3) = p (A) = \frac{1}{56}

b. Calcule de E(X)

E (X) = (0 \times \frac{5}{28}) + (1 \times \frac{15}{28}) + (2 \times \frac{15}{56}) + (3 \times \frac{1}{56}) = \frac{9}{8}

* Etudes de Fonctions

soit x∈ ]0,+∞[ :

f (x) = x - \frac{1}{x} + \ln x

1. * Calculer

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x)

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} f (x) = lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} x - \frac{1}{x} + \ln (x) = - \infty

Car:

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} x = 0^{+}

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} - \frac{1}{x} = - \infty

lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} \ln (x) = - \infty

* Interprétation géométrique du résultat

(C)

admet une asymptote verticale d’équation

x = 0

2 . a. Calculer

lim_{x ⟶ + \infty} f (x)

2. a.

lim_{x ⟶ + \infty} f (x) = lim_{x ⟶ + \infty} x - \frac{1}{x} + \ln (x) = + \infty

Car :

lim_{x ⟶ + \infty} x = + \infty

lim_{x ⟶ + \infty} - \frac{1}{x} = 0

lim_{x ⟶ + \infty} l n (x) = + \infty

b. Montrer que

lim_{x ⟶ + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1

lim_{x ⟶ + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x ⟶ + \infty} \frac{x - \frac{1}{x} + \ln (x)}{x}

= lim_{x ⟶ + \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln (x)}{x} = 1

Car :

lim_{x ⟶ + \infty} - \frac{1}{x^{2}} = 0

lim_{x ⟶ + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0

c. Calculer

lim_{x ⟶ + \infty} (f (x) - x)

lim_{x ⟶ + \infty} f (x) - x = lim_{x ⟶ + \infty} - \frac{1}{x} + l n (x) = + \infty

*Interprétation géométrique du résultat

(C)

admet une branche parabolique de direction l’axe d’équation y=x au voisinage de +∞.

3. a. Montrons que

f ‘ (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

(x>0)

f est dérivable sur ] 0,+∞[

Soit x∈] 0,+∞[ on a:

f ‘ (x) = (x - \frac{1}{x} + l n x)^{'}

= 1 - \frac{- 1}{x^{2}} + \frac{1}{x}

= 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}

Donc ∀ x>0, f ‘ (x)=

1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

b. Calcule de

f (1)

f (1) = 1 - \frac{1}{1} + \ln (1) = 1 - 1 + 0 = 0

*le tableau de variations de

f

Soit x∈] 0,+∞[ on a:

f ‘ (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

Donc f ‘(x)>0 (car x>0)

D’où f est strictement croissante sur ] 0,+∞[

c.le signe de $f$ sur ]0,1] et sur [1,+∞[

* Sur ] 0,1]:

On a : 0<x≤1

Et puisque f est strictement croissante sur] 0,1]

Alors : f(x)≤f(1)=0

Et par suite ∀∈] 0,1] : f(x)≤0.

* Sur [1,+∞[ :

On a x≥1

Et puisque f est strictement croissante sur [1,+∞[

Alors : \(f(x)≥ f(1)=0

Et par suite ∀∈[1,+∞[ : f(x)≥0.

Autre Examen: