Sujet maths Bac Série D PDF 2009 Avec Correction
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Probabilité
* Suites Numériques
* Etude d’une fonction numérique
* Probabilité
L’entreprise Ivoirbois, spécialisée dans l’industrie du bois, envisage de faire des prévisions pour l’année 2007 du coút de production de fcuilles de contre-plaqués en fonction du chiffre d’affaires.
Elle disposc à cet effet des statistiques résumées dans le tableau ci-dessous :
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Annoncés & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 \\
\hline C.A.X& 350 & 380 & 500 & 450 & 580 & 650 & 700 \\
\hline C.A.Y & 40 & 45 & 50 & 55 & 60 & 65 & 70 \\
\hline\end{array}\)
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Annoncés & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 \\
\hline C.A.X& 350 & 380 & 500 & 450 & 580 & 650 & 700 \\
\hline C.A.Y & 40 & 45 & 50 & 55 & 60 & 65 & 70 \\
\hline\end{array}\)
Avec:
C.A.X: Chiffre d’affaires X (en millions de francs)
C.A.Y: Coût de production Y (en millions de francs)
1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série double (X, Y) dans le plan rapporté à un repère orthogonal \(( O , I , J )\) On prendra I cm pour 50 millions de francs en abscisse et I cm pour 5 millions de francs en ordonnées.
2.a. Calculer le chiffre d’affaires moyen \(\overline{ X }\)
b. Calculer le coût moyen de production \(\bar{Y}\)
3.a. Vérifier qu’un arrondi à l’entier de la covariance cov (X, Y) de la série statistique est égal à 1193.
b. Justifier l’exisrcnce d’un ajustement lineairc entrc X ct Y.
4.a. Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement de \(Y\) en fonction de X par la méthode des moindres carrés.
b. Construire
(D) dans le repère (O, I, J).
5. Utiliser 1’ajustement précédent pour prévoir le coût de production de l’entreprise lvoirbois de 1’année 2007
si le chiffre d’affaires de l’année 2007 est de 800 millions de francs.
1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série double (X, Y) dans le plan rapporté à un repère orthogonal \(( O , I , J )\) On prendra I cm pour 50 millions de francs en abscisse et I cm pour 5 millions de francs en ordonnées.
2.a. Calculer le chiffre d’affaires moyen \(\overline{ X }\)
b. Calculer le coût moyen de production \(\bar{Y}\)
3.a. Vérifier qu’un arrondi à l’entier de la covariance cov (X, Y) de la série statistique est égal à 1193.
b. Justifier l’exisrcnce d’un ajustement lineairc entrc X ct Y.
4.a. Déterminer une équation de la droite (D) d’ajustement de \(Y\) en fonction de X par la méthode des moindres carrés.
b. Construire
(D) dans le repère (O, I, J).
5. Utiliser 1’ajustement précédent pour prévoir le coût de production de l’entreprise lvoirbois de 1’année 2007
si le chiffre d’affaires de l’année 2007 est de 800 millions de francs.
* Suites Numériques
Soit la suite défini \(\left(U_{n}\right)_{n∊IN}\) par:
\(\left\{\begin{array}{l}U_{0}=0 \\ U_{n+1}=\frac{3}{5} U_{n}+1\end{array}\right.\)
1. Dans le plan rapporté à un repère (O,I,J))
représenter sur l’axe des abscisses les termes
\(U_{0} ; U_{1} ; U_{2}\) et \(U_{3}\) de la suite \((U_{n})_{n∊IN}\) (unité graphique 2cm.
2. a. Démontrer par récurrence que:
la suite \(U_{n})_{n∊IN}\) est majorée par \(\frac{5}{2}\)
b. Démontrer que la suitc \((U_{n})_{n∊IN}\) converge.
3. Soit la suite \((V_{n})_{n \in N }\) défini par ∀n∊IN: \(V_{n}=U_{n}-\frac{5}{2}\)
b. Démontrer que la suitc \((U_{n})_{n∊IN}\) converge.
3. Soit la suite \((V_{n})_{n \in N }\) défini par ∀n∊IN: \(V_{n}=U_{n}-\frac{5}{2}\)
Démontrer que: la suite \((V_{n})_{n∊IN}\) est une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer \(V_{n}\) puis \(U_{n}\) on fonction de n
c) déterminer la limite de \((U_{n})_{n∊IN }\)
dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer \(V_{n}\) puis \(U_{n}\) on fonction de n
c) déterminer la limite de \((U_{n})_{n∊IN }\)
* Etude d’une fonction numérique
Partie A
On considère la fonction g dérivable sur IR et définie par:
\(g(x)=(1-x)e^{1-x}-1\)
1. a. Justifier que la limite de \(g\) en +∞ est -1
b. Déterminer la limite de \(g\) en -∞
2. a. Démontrer que:
pour tout x élément de IR \(g ‘(x)=(x-2) e^{1-x}\)
b. Etudier les variations de \(g\)et dresser son tableau de variation.
3. a. Démontrer que:
l’équation x ∈IR: \( g(x )=0\) admet une solution unique α.
b. Justifier que 0,4<α<0,5
5. En déduire que ∀ x∊]-∞ ; α[: g ( x )>0
et ∀ x∊] α ;+∞[: g (x )<0
Partie B
On considère la fonction \(f\) dérivable sur IR et définie par :
\(f (x)=xe ^{1-x}-x+2\)
On note (C) sa courbe représentative dans le plan
muni d’un repère orthonormé (O, \(1, J\) ).
L’unité graphique est 2cm
1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+∞\) et \(en -∞\).
2.a. Démontrer que \(f\) est une primitive de \(g\).
b. Etudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variation.
3. a. Démontrer que:
la droite (D) d’équation y=-x+2 est une asymptote oblique à (C) en \(+∞\)
b. Étudier la position relative de (D) et (C).
4. Démontrer que (C) admet en – œ une branche parabolique de direction (OJ).
5. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1.
6. Démontrer que \(f(α)=1-α+\frac{1}{1-α}\)
7. Justifier que, pour tout nombre réel x \(f(-x+2)=e^{x-1} f(x)\)
\(8 .\) On admet que l’équation \(f( x )=0\) admet exactement deux solutions.
On appelle β l’une de solutions. Démontrer quc (-β+2) est l’autre solution.
9. Tracer (D), (T), et (C).
(On prendra \(α=0,4\) et \(\beta=2,5\) ).
Partie C
Soit λ un nombre réel strictement positif
et (A(λ)l’aire en cm² de la partie du plan délimitée par (C),
la droite (D) d’équation y=-x+2 et les droites d’équation x=0 et x=λ
1. Calculer \(A(\lambda)\) à l’aide d’une intégration par parties.
2. Déterminer la limite A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
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