Sujet maths Bac Série C PDF 2018

Exercice 1
L’unité graphique est le centimètre.
Dans le plan orienté, on considère un losange OABC tel que:
$O A = 7 et Mes (\vec{O A}; \vec{O C}) = \frac{π}{3}$
E est le point du segment [OB] tel que : OE = OA.
$F$ est le point de la demi-droite [OC) tel que : $C F = E B$ et $C ∊ [O F]$
On désigne par I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [OA], [AB], [BC] et [OC].
On désigne par $(Δ)$ la médiatrice du segment [OA] et par ( $Δ$ ‘) celle de [BC].
1. Fais une figure.
2. $a$ ) Justifie que les droites $(Δ)$ et $(Δ ‘)$ sont parallèles.
b) Justifie que le triangle OAC est équilatéral.
c) Justifie que : $O B = O F$
3. Soit $R_{1}$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{π}{6}$
et $R_{2}$ la rotation de centre $A$ et d’angle $- \frac{2 π}{3}$
On pose $: f = R_{1} o R_{2}$
a) Détermine $f (O)$ et $f (A)$
b) Démontre que $f$ est une rotation d’angle $- \frac{π}{2}$
c) Déduis de ce qui précède que : (EF) $⊥ (O A)$ et EF = OA.
d) Construis le centre $Ω$ de $f$
4. a) Justifie qu’il existe une isométrie $g$ et une seule telle que :
$g (O) = A, g (A) = C$ et $g (C) = B$
b) Justifie que $g$ est un antidéplacement.
c) Démontre que $g$ est une symétrie glissée.
5. Dans cette partie, on se propose de caractériser la symétrie glissée $g$ .
Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d’angle $- \frac{π}{3}$
et $S$ la symétrie orthogonale d’axe $(Δ)$
a) Démontre que : $g =$ RoS.
b) Détermine l’axe de la symétrie orthogonale $S_{1}$ telle que :
$R = S_{(A B)} O S_{1}$
c) Déduis de ce qui précède que:
$g = S_{(A B)}$ o $t_{\vec{u}}$ où $\vec{u}$ est un vecteur que l’on caractérisera.
d) En utilisant la relation $\vec{C B} = \vec{C J} + \vec{J B},$
détermine les éléments caractéristiques de $g$ .

Exercice 2
Dans tout cet exercice, $n$ est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2
1. Démontre que $n$ et $2 n + 1$ sont premiers entre eux.
2. On pose : $A = n + 3, B = 2 n + 1$ et $d = P G C D (A; B)$
a) Calcule $2 A - B$ et déduis-en les valeurs possibles de $d$
b) Démontre que:
$A$ et $B$ sont multiples de 5 si et seulement si $n - 2$ est multiple de 5
c) Soient $S = n^{3} + 2 n^{2} - 3 n$ et $P = 2 n^{2} - n - 1$
Justifie que $S$ et $P$ sont divisibles par $n - 1$
3. On pose : $δ = P G C D (n (n + 3); 2 n + 1)$
a) Démontre que $d$ divise $δ$
b) Démontre que $δ$ et $n$ sont premiers entre eux.
c) Déduis des questions $3 - a$ ) et $3 - b$ ) que $δ$ est égal à $d$
d) Détermine le $P G C D (S; P)$ en fonction de $n$
4. Détermine $P G C D (S; P)$ pour $n = 2016$ puis pour $n = 2017$

Problème
Soit n un entier naturel non nul et $g_{n}$ la fonction numérique
définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : $g_{n} (t) = (- \frac{2}{t} + \ln t)^{n}$
On note $(C_{n})$ la courbe représentative de $g_{n}$ dans le plan

muni d’un repère orthogonal (O, I, J).

Unités graphiques :

O I = 2 c m

O J = 0, 5 c m

Partie A
1.

a

) Calcule la limite de

g_{1}

en 0 .
b) Interprète graphiquement ce résultat.
2.

a

) Calcule la limite de

g_{1}

+ \infty

.
b) Justifie que

(C_{1})

admet une branche parabolique de direction celle de (OI) en

+ \infty

3. On suppose que

. g_{1} est dérivable sur] 0; + \infty [

a) Démontre que $g_{1$ est strictement croissante sur }] 0 ;+∞[

On admet que l’équation t∊] 0 ;+∞[$g_{1}(t)=0$:

admet une solution α telle que

2, 3 < α < 2, 4

b) Justifie que l’équation t∊] 0 ;+∞c[, $g_{1}(t)=1$

admet une solution unique β telle que : \(4,3<β<4,4

4. Soit

t

un nombre réel strictement positif. Démontre que:
a)

. g_{1} (t) < 0 \Leftrightarrow t ∊] 0; α [

. g_{1} (t) > 0 \Leftrightarrow t ∊] α; + \infty [

Partie B
Dans cette partie, on suppose que

n

est supérieur ou égal à 2
1.

a

) Calcule

lim_{t ➝ + \infty} g_{n} (t)

b) Démontrer que :

lim_{t ➝ + \infty} \frac{g_{m (t)}}{t} = 0

(On pourra poser :

x = t^{\frac{1}{n}}

c

) Interprete graphiquement les résultats précédents.

2. On suppose que

n

est pair.

a) Calcule

lim_{t ➝ 0} g_{n} (t)

b

) Interprete graphiquement ce résultat.

3. On suppose que

n

est impair.

a) Calcule

lim_{t ➝ 0} g_{n} (t)

b) Soit

t

un nombre réel strictement positif.

i) Justifie que:

g (t) < 0 \Leftrightarrow t ∊] 0; α [

ii) $g_{n}(t)>0 ⇔ t∊] α;+∞[$

(On pourra utiliser la question 4 de la partie A).

4. On suppose que pour tout entier naturel n supérieur ou a 2:

$g_{n} \text { est dérivable sur }] 0 ;+∞[$

et on désigne par

g_{n}^{'}

sa fonction dérivée.

a) Démontre que, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2

et pour tout nombre réel strictement positif t:

g_{n} ‘ (t) = n g_{1} ‘ (t) \times g_{(n - 1)} (t)

b) Étudié suivant la parité de n:

le signe de $g_{n} ‘$ sur ]0;+∞[.

c) Dresse suivant la parité de

n

, le tableau de variation de

g_{n}

Partie

C

Soient

n

p

deux entiers naturels non nuls et

t

un nombre réel strictement positif.

a

) Exprime

g_{(n + p)} (t)

en fonction de

g_{n} (t)

g_{p} (t)

b

) Déduis de ce qui précède que :

g_{(x + p)} (t) - g_{n} (t) = (g_{p} (t) - 1) \times g_{n} (t)

Dans toute la suite du problème, on suppose que

n

est pair.

2. Justifie que:

. a) (C_{n}) est au-dessus de (C_{n + 1}) sur] 0; β [

. b) (C_{n}) est au-dessous de (C_{n + 1}) sur] β; + \infty [

(On pourra utiliser la question 3 de la partie A)

3. Construis (C

_{2}

) et

(C_{3})

dans le même repère (O, I,

J

On prendra:

a = 2, 35

β = 4, 35

4. Soit

A_{n}

l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par

(C_{n}), (C_{n + 1}

)

et les droites . d’équations

x = 1

x = 2

a) Justifie que, pour tout entier naturel

n

pair et non nul,

A_{n} = \int_{1}^{2} (1 - g_{1} (t)) \times g_{n} (t) d t

b) À l’aide d’une intégration par parties, calculer:

\int_{1}^{2} (1 - g_{1} (t)) d t

c

) Démontré que:

pour tout entier naturel

n

pair et non nul,

2 g_{n} (2) \leq A_{n} \leq 2 g_{n} (1)

d

Déduis de ce qui précède que:

pour tout entier naturel

n

pair et non nul,

2 (1 - \ln 2)^{n} \leq A_{n} \leq 2^{n + 1}

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