Sujet maths Bac Série D 2018

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
L’unité graphique est : 2cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives:

4i ; 2 et

1 + i \sqrt{3}

.
1. a) Écris le nombre complexe

1 + i \sqrt{3}

sous forme trigonométrique.
b) Place les points A, B et C dans le plan muni du repère

(O, \vec{i}, \vec{j})

.
2. Soit

R

la similitude directe de centre O qui transforme B en C.
a) Justifie que l’expression complexe de

R

est :

z^{'} = \frac{1}{2} (1 + i \sqrt{3}) z

b) Justifie que

R

est une rotation dont on précisera une mesure de l’angle.
3. Soit

E

l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : |z-4 i|=2
a) Détermine et construis (E).
b) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de

E ‘

1’image de

E

par

R

4. Soit (F) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que :

| z - 2 | = | z - 1 - i \sqrt{3} |

a) Détermine et construis

F

.
b) Justifie que le point O et le point K milieu du segment [BC] appartiennent à

F

.
c) Justifie que l’image de

F

par

R

est la droite (OJ).

Exercice 2

Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.

En 1’an 2000, l’effectif était égal à mille (1000).
L’effectif de cette population évolue par rapport au temps t et peut être approché par une fonction

f

, Le temps t est exprimé en années à partir de 2000.
La fonction

f

est dérivable, strictement positive sur l’intervalle [2000;+∞[ et est solution de l’équation différentielle:

(E_{1}) : y^{'} (t) + \frac{1}{200} y (t) = \frac{- 200}{t^{2}} + \frac{1}{t}

.
1. Soit h la fonction dérivable et définie sur l’intervalle [2000;+∞[ par :

h (t) = \frac{200}{t}

Vérifie que

h

est une solution de

E_{1}

.
2. Résous L’équation différentielle

(E_{2}) : y^{'} (t) + \frac{1}{200} y (t) = 0

3. a) Démontre :
qu’une fonction

g

est solution de

E_{1}

si et seulement si

g - h

est solution de

E_{2}

b) Déduis-en les solutions de

E_{1}

.
c) Sachant que f(2000)=1000, vérifie que:
∀ t∊[2000;+∞[ :

f (t) = 999, 9 e^{(10 - \frac{t}{200})} + \frac{200}{t}

d) Détermine le nombre d’individus de cette population animale en 2020.
Donne le résultat arrondi à l’ordre 0.

Problème

Partie A

On considère la fonction

g

dérivable et définie sur l’intervalle]0 ;+∞[ par:

g(x)=2+x-3xln(x)

1. Calcule la limite de g en 0 et la limite de g en +∞.

2.a) On désigne par g’, la fonction dérivée de g.

Calcule g'(x) pour tout nombre réel x strictement positif.

b) Étudie les variations de g

c) Vérifie que:

g (e^{- \frac{2}{3}}) = 2 + 3 e^{- \frac{2}{3}}

Dresse le tableau de variation de g.

3.a) Démontre que:

l’équation g(x)=0 admet dans 1’intervalle

[e^{- \frac{2}{3}}; + \infty [

une solution unique notée α

b) Justifie que : 1,9<α<2

4. Démontre que : ∀x∊]0;α[, g(x)>0 et ∀x∊]α;+∞[,g(x)<0

Partie B

Soit

f

la fonction dérivable et définie sur l’intervalle ]0;+∞[par:

f (x) = \frac{20 l n (x)}{(x + 2)^{3}}

(C)

désigne la courbe représentative de

f

dans le plan muni
du repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

d’unité graphique 5cm.
1.a) Calcule la limite de

f

en 0 . Interprété graphiquement le résultat.
b) Justifie que la limite de

f

en +∞ est égale à 0 Interprété graphiquement le résultat.
2. On note

f ‘

la fonction dérivée de

f

a) Démontre que:

∀x∊] 0 ;+∞[, f ‘(x)=

\frac{20 g (x)}{x (x + 2)^{4}}

b) Déduis-en les variations de

f

.
c) Dresse le tableau de variation de

f

. On ne calculera pas

f (α)

3. Justifie qu’une équation de la tangente (T) à (

C

) au point d’abscisse l est :

y = \frac{20}{27} x - \frac{20}{27}

4. Trace (T) et

(C)

. On prendra α=1,95 et

f (α) = 0, 22

Partie C

On pose:

U = \int_{1}^{2} \frac{1}{x (x + 2)^{2}} d x

V = \int_{1}^{2} \frac{l n (x)}{(x + 2)^{3}} d x

1. On admet que ∀x∊]0;+∞[ :

\frac{1}{x (x + 2)^{2}} = \frac{1}{4 x} - \frac{1}{4 (x + 2)} \frac{1}{2 (x + 2)^{2}}

Déduis-en que:

U = \frac{\ln 3}{4} - \frac{\ln 2}{4} - \frac{1}{24}

2.a) A l’aide d’une intégration par parties, démontre que :

V = - \frac{\ln 2}{32} + \frac{1}{2} U

b) Calcule en cm² I’aire

A

de la partie du plan délimite par la courbe

(C),

l’axe (OI), les droites d’équations x=1 et x=2,

Donne le résultat arrondi à I’ordre 1.

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Sujet 2018 Bac D

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