Sujet maths Bac Série D 2018 Exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ((O,vec{i},vec{j})).
L’unité graphique est : 2cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives:
4i ; 2 et (1+i sqrt{3}).
1. a) Écris le nombre complexe (1+i sqrt{3}) sous forme trigonométrique.
b) Place les points A, B et C dans le plan muni du repère ((O,vec{i},vec{j})).
2. Soit (R) la similitude directe de centre O qui transforme B en C.
a) Justifie que l’expression complexe de (R) est : (z’=frac{1}{2}(1+i sqrt{3})z)
b) Justifie que (R) est une rotation dont on précisera une mesure de l’angle.
3. Soit (E) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : |z-4 i|=2
a) Détermine et construis (E).
b) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de (E ‘)1’image de (E) par (R)
4. Soit (F) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : (|z-2|=|z-1-i sqrt{3}|)
a) Détermine et construis (F).
b) Justifie que le point O et le point K milieu du segment [BC] appartiennent à (F).
c) Justifie que l’image de (F) par (R) est la droite (OJ).
Exercice 2
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.
En 1’an 2000, l’effectif était égal à mille (1000).
L’effectif de cette population évolue par rapport au temps t et peut être approché par une fonction (f), Le temps t est exprimé en années à partir de 2000.
La fonction (f) est dérivable, strictement positive sur l’intervalle [2000;+∞[ et est solution de l’équation différentielle:((E _{1}): ; y'(t)+frac{1}{200} y(t)=frac{-200}{t^{2}}+frac{1}{t}).
1. Soit h la fonction dérivable et définie sur l’intervalle [2000;+∞[ par :
(h(t)=frac{200}{t}) Vérifie que (h) est une solution de ( E _{1}).
2. Résous L’équation différentielle
(( E _{2}): ; y^{prime}(t)+frac{1}{200} y(t)=0)
3. a) Démontre :
qu’une fonction (g) est solution de ( E _{1}) si et seulement si (g-h) est solution de (E _{2})
b) Déduis-en les solutions de ( E _{1}).
c) Sachant que f(2000)=1000, vérifie que:
∀ t∊[2000;+∞[ : (; f(t)=999,9 e^{(10-frac{t}{200})}+frac{200}{t})d) Détermine le nombre d’individus de cette population animale en 2020.
Donne le résultat arrondi à l’ordre 0.
Problème Partie A On considère la fonction (g) dérivable et définie sur l’intervalle]0 ;+∞[ par:g(x)=2+x-3xln(x)1. Calcule la limite de g en 0 et la limite de g en +∞.2.a) On désigne par g’, la fonction dérivée de g. Calcule g'(x) pour tout nombre réel x strictement positif.b) Étudie les variations de gc) Vérifie que: (g(e^{-frac{2}{3}})=2+3 e^{-frac{2}{3}})Dresse le tableau de variation de g.3.a) Démontre que: l’équation g(x)=0 admet dans 1’intervalle ([e^{-frac{2}{3}};+∞[) une solution unique notée αb) Justifie que : 1,9<α<24. Démontre que : ∀x∊]0;α[, g(x)>0 et ∀x∊]α;+∞[,g(x)<0 Partie B Soit (f) la fonction dérivable et définie sur l’intervalle ]0;+∞[par:
(f(x)=frac{20ln(x)}{(x+2)^{3}}).((C)) désigne la courbe représentative de (f) dans le plan muni
du repère orthonormé ((O,vec{i},vec{j})) d’unité graphique 5cm.
1.a) Calcule la limite de (f) en 0 . Interprété graphiquement le résultat.
b) Justifie que la limite de (f) en +∞ est égale à 0 Interprété graphiquement le résultat.
2. On note (f ‘) la fonction dérivée de (f)
a) Démontre que: ∀x∊] 0 ;+∞[, f ‘(x)=(frac{20 g(x)}{x(x+2)^{4}})
b) Déduis-en les variations de (f).
c) Dresse le tableau de variation de (f). On ne calculera pas (f(α))
3. Justifie qu’une équation de la tangente (T) à ( (C) ) au point d’abscisse l est :
(y=frac{20}{27}x-frac{20}{27})
4. Trace (T) et ((C)). On prendra α=1,95 et (f(α)=0,22)
Partie C
On pose:
(U=int_{1}^{2} frac{1}{x(x+2)^{2}}dx)(V=int_{1}^{2}frac{ln(x)}{(x+2)^{3}}dx)1. On admet que ∀x∊]0;+∞[ :
(frac{1}{x(x+2)^{2}}=frac{1}{4 x}-frac{1}{4(x+2)}frac{1}{2(x+2)^{2}})
Déduis-en que: (U =frac{ln 3}{4}-frac{ln 2}{4}-frac{1}{24})
2.a) A l’aide d’une intégration par parties, démontre que :
(V =-frac{ln 2}{32}+frac{1}{2}U)
b) Calcule en cm² I’aire (A) de la partie du plan délimite par la courbe ((C),) l’axe (OI), les droites d’équations x=1 et x=2,Donne le résultat arrondi à I’ordre 1. ⇊⇊Télécharger PDF Gratuit maths Bac Série D 2018 :Sujet 2018 Bac DCorrection Sujet 2018 Bac D
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