Sujet maths Bac Série D 2018
Exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j})\).
L’unité graphique est : 2cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives:
4i ; 2 et \(1+i \sqrt{3}\).
1. a) Écris le nombre complexe \(1+i \sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.
b) Place les points A, B et C dans le plan muni du repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
2. Soit \(R\) la similitude directe de centre O qui transforme B en C.
a) Justifie que l’expression complexe de \(R\) est : \(z’=\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})z\)
b) Justifie que \(R\) est une rotation dont on précisera une mesure de l’angle.
3. Soit \(E\) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : |z-4 i|=2
a) Détermine et construis (E).
b) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de \(E ‘\)1’image de \(E\) par \(R\)
4. Soit (F) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : \(|z-2|=|z-1-i \sqrt{3}|\)
a) Détermine et construis \(F\).
b) Justifie que le point O et le point K milieu du segment [BC] appartiennent à \(F\).
c) Justifie que l’image de \(F\) par \(R\) est la droite (OJ).
1. a) Écris le nombre complexe \(1+i \sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.
b) Place les points A, B et C dans le plan muni du repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
2. Soit \(R\) la similitude directe de centre O qui transforme B en C.
a) Justifie que l’expression complexe de \(R\) est : \(z’=\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})z\)
b) Justifie que \(R\) est une rotation dont on précisera une mesure de l’angle.
3. Soit \(E\) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : |z-4 i|=2
a) Détermine et construis (E).
b) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de \(E ‘\)1’image de \(E\) par \(R\)
4. Soit (F) l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que : \(|z-2|=|z-1-i \sqrt{3}|\)
a) Détermine et construis \(F\).
b) Justifie que le point O et le point K milieu du segment [BC] appartiennent à \(F\).
c) Justifie que l’image de \(F\) par \(R\) est la droite (OJ).
Exercice 2
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.
En 1’an 2000, l’effectif était égal à mille (1000).
L’effectif de cette population évolue par rapport au temps t et peut être approché par une fonction \(f\), Le temps t est exprimé en années à partir de 2000.
La fonction \(f\) est dérivable, strictement positive sur l’intervalle [2000;+∞[ et est solution de l’équation différentielle:
L’effectif de cette population évolue par rapport au temps t et peut être approché par une fonction \(f\), Le temps t est exprimé en années à partir de 2000.
La fonction \(f\) est dérivable, strictement positive sur l’intervalle [2000;+∞[ et est solution de l’équation différentielle:
\((E _{1}): \; y'(t)+\frac{1}{200} y(t)=\frac{-200}{t^{2}}+\frac{1}{t}\).
1. Soit h la fonction dérivable et définie sur l’intervalle [2000;+∞[ par :
\(h(t)=\frac{200}{t}\) Vérifie que \(h\) est une solution de \( E _{1}\).
2. Résous L’équation différentielle
\(( E _{2}): \; y^{\prime}(t)+\frac{1}{200} y(t)=0\)
3. a) Démontre :
qu’une fonction \(g\) est solution de \( E _{1}\) si et seulement si \(g-h\) est solution de \(E _{2}\)
b) Déduis-en les solutions de \( E _{1}\).
c) Sachant que f(2000)=1000, vérifie que:
∀ t∊[2000;+∞[ : \(\; f(t)=999,9 e^{(10-\frac{t}{200})}+\frac{200}{t}\)
1. Soit h la fonction dérivable et définie sur l’intervalle [2000;+∞[ par :
\(h(t)=\frac{200}{t}\) Vérifie que \(h\) est une solution de \( E _{1}\).
2. Résous L’équation différentielle
\(( E _{2}): \; y^{\prime}(t)+\frac{1}{200} y(t)=0\)
3. a) Démontre :
qu’une fonction \(g\) est solution de \( E _{1}\) si et seulement si \(g-h\) est solution de \(E _{2}\)
b) Déduis-en les solutions de \( E _{1}\).
c) Sachant que f(2000)=1000, vérifie que:
∀ t∊[2000;+∞[ : \(\; f(t)=999,9 e^{(10-\frac{t}{200})}+\frac{200}{t}\)
d) Détermine le nombre d’individus de cette population animale en 2020.
Donne le résultat arrondi à l’ordre 0.
Donne le résultat arrondi à l’ordre 0.
Problème
Partie A
On considère la fonction \(g\) dérivable et définie sur l’intervalle]0 ;+∞[ par:
g(x)=2+x-3xln(x)
1. Calcule la limite de g en 0 et la limite de g en +∞.
2.a) On désigne par g’, la fonction dérivée de g.
Calcule g'(x) pour tout nombre réel x strictement positif.
b) Étudie les variations de g
c) Vérifie que:
\(g(e^{-\frac{2}{3}})=2+3 e^{-\frac{2}{3}}\)
Dresse le tableau de variation de g.
3.a) Démontre que:
l’équation g(x)=0 admet dans 1’intervalle \([e^{-\frac{2}{3}};+∞[\) une solution unique notée α
b) Justifie que : 1,9<α<2
4. Démontre que : ∀x∊]0;α[, g(x)>0 et ∀x∊]α;+∞[,g(x)<0
Partie B
Soit \(f\) la fonction dérivable et définie sur l’intervalle ]0;+∞[par:
\(f(x)=\frac{20ln(x)}{(x+2)^{3}}\).
\(f(x)=\frac{20ln(x)}{(x+2)^{3}}\).
\((C)\) désigne la courbe représentative de \(f\) dans le plan muni
du repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) d’unité graphique 5cm.
1.a) Calcule la limite de \(f\) en 0 . Interprété graphiquement le résultat.
b) Justifie que la limite de \(f\) en +∞ est égale à 0 Interprété graphiquement le résultat.
2. On note \(f ‘\) la fonction dérivée de \(f\)
a) Démontre que:
du repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) d’unité graphique 5cm.
1.a) Calcule la limite de \(f\) en 0 . Interprété graphiquement le résultat.
b) Justifie que la limite de \(f\) en +∞ est égale à 0 Interprété graphiquement le résultat.
2. On note \(f ‘\) la fonction dérivée de \(f\)
a) Démontre que:
∀x∊] 0 ;+∞[, f ‘(x)=\(\frac{20 g(x)}{x(x+2)^{4}}\)
b) Déduis-en les variations de \(f\).
c) Dresse le tableau de variation de \(f\). On ne calculera pas \(f(α)\)
3. Justifie qu’une équation de la tangente (T) à ( \(C\) ) au point d’abscisse l est :
\(y=\frac{20}{27}x-\frac{20}{27}\)
4. Trace (T) et \((C)\). On prendra α=1,95 et \(f(α)=0,22\)
b) Déduis-en les variations de \(f\).
c) Dresse le tableau de variation de \(f\). On ne calculera pas \(f(α)\)
3. Justifie qu’une équation de la tangente (T) à ( \(C\) ) au point d’abscisse l est :
\(y=\frac{20}{27}x-\frac{20}{27}\)
4. Trace (T) et \((C)\). On prendra α=1,95 et \(f(α)=0,22\)
Partie C
On pose:
\(U=\int_{1}^{2} \frac{1}{x(x+2)^{2}}dx\)
\(V=\int_{1}^{2}\frac{ln(x)}{(x+2)^{3}}dx\)
1. On admet que ∀x∊]0;+∞[ :
\(\frac{1}{x(x+2)^{2}}=\frac{1}{4 x}-\frac{1}{4(x+2)}\frac{1}{2(x+2)^{2}}\)
Déduis-en que:
\(\frac{1}{x(x+2)^{2}}=\frac{1}{4 x}-\frac{1}{4(x+2)}\frac{1}{2(x+2)^{2}}\)
Déduis-en que:
\(U =\frac{\ln 3}{4}-\frac{\ln 2}{4}-\frac{1}{24}\)
2.a) A l’aide d’une intégration par parties, démontre que :
\(V =-\frac{\ln 2}{32}+\frac{1}{2}U\)
b) Calcule en cm² I’aire \(A\) de la partie du plan délimite par la courbe \((C),\) l’axe (OI), les droites d’équations x=1 et x=2,
2.a) A l’aide d’une intégration par parties, démontre que :
\(V =-\frac{\ln 2}{32}+\frac{1}{2}U\)
b) Calcule en cm² I’aire \(A\) de la partie du plan délimite par la courbe \((C),\) l’axe (OI), les droites d’équations x=1 et x=2,
Donne le résultat arrondi à I’ordre 1.
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