Exercice 1: (5 Pts)
I.
Soit (f) l’application définie de (ℂ -{- 1 }) par:
(f ( z )=frac{ z + 4 }{ z + 1 })
1) Montrer que:
(f ( i sqrt{ 3 }- 1 )= 1 – i sqrt{ 3 }).
2) Vérifier que:
(f ( z )=- z ⇔ z ^{2}+ 2 z + 4 = 0)
3) Résoudre dans (C) l’équation ( E ):
(z ^{2}+ 2 z + 4 = 0).
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
(( O ; overrightarrow{u} ; overrightarrow{v})).
On considère les points (A ; B) et (C) d’affixes respectives:
(z _{ A }=- 1 + i sqrt{ 3 } ; z _{ B }=- 1 – i sqrt{ 3 }) et (z _{C}= 2).
Et soit (T) la translation de vecteur (overrightarrow{ u }( 2 i sqrt{ 3 })).
1) a) Ecrire le nombre complexe (frac{ z _{A}- z _{ C }}{ z _{ B }- z _{ C }})
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle (ABC).
2) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit du triangle (A B C).
3) Soit (D) l’image du point (C) par la translation (T).
Montrer que l’affixe du point (D) est (z _{ D }= 2 +2 i sqrt{ 3 })
4) Déterminer la nature du quadrilatère (A B C D).
5) Déterminer l’ensemble des points (M ( z )) du plan complexe
tel que:
(arg ( f ( z )- 1 ) equiv frac{π}{3}[ 2 π ])
Exercice 2: (4 Pts)
Soit (( U _{ n })) la suite deffinie par:
(U _{0}= 5)
((∀ n∈ N ) U _{n+1}=frac{ 1 }{3} U _{ n }+ 2)
1) Montrer que: ((∀ n∈ N ) quad 3<U_{n}<6).
2) Etudier la monotonie de la suite (( U _{ n })).
Que peut – on en déduire?
3) Montrer que:
((∀ n∈ N ) quad U_{n}=2(frac{1}{3})^{n}+3).
4)-a Calculer en fonction de (n) la somme :
(S _{ n }= U _{ 0 }+ U _{ 1 }+cdots+ U _{ n })
b) Calculer (lim _{n➝+∞} S_{n}).
5) On considère la suite (( V _{n})) deffinie par:
((∀ n∈ N ) V_{n}=ln (frac{U_{n}-3}{2}))
a) Montrer que:
(( V _{ n })) est une suite arithmétique de raison (-ln 3).
b) Déterminer la valeur de l’entier naturel (n)
tel que :
(V _{ 1 }+ V _{2}+cdots+ V _{ n }=ln (frac{ 1 }{27}))
Exercice 3: (11 Pts)
Partie 1
On considère la fonction (g) deffinie sur IR par:
(g ( x )=- 1 + x e ^{frac{x}{2}})
1) Calculer:
(lim _{x➝-∞} g(x)) et (lim _{x➝+∞} g(x)).
2) Eludier les variations de la fonction (g) sur (R) et dresser sontableau de varialion.
3) Montrer que l’équation (g( x )= 0)
admet une solution unique (α) dans l’intervalle (] ln2 ; ln3 [)
4) Etudier le signe de (g ( x )) pour tout (x∈ IR).
Partie 2
Soit (f ) la fonction définie sur (IR) par:
(f ( x )=- x + 2 +( 2 x-4) e ^{frac{x}{2}})
Et soit (( C _{ f })) sa courbe représentative dans un repire orthonormé
(( o ; vec{ i } ; vec{j})) (unité cm )
1) a) Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞)
b) Calculer (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x})
* déterminer la branche infinie de (( C _{f})) au voisinage de (+∞).
2) a) Mantrer que: (lim _{x➝-∞} f(x)=+∞)
b) Montrer que la (( D)) d’équation (y =- x + 2) est une asymptote
à la courbe(( C _{ f })) au voisinage de (-∞).
c) Déterminer la position relative
de la droite (( D )) et de la courbe (( C _{f})).
3)- a Montrer que: ((∀ x∈ R ): f ^{prime}( x )= g ( x ))
b) Dresser le tableau de variation de (f) sur (R).
4) Montrer que: (f ( α )= 4 – α -frac{4}{α})
5) Vérifier que (f ( 2 )= 0) et construire la courbe (( C _{ f })).
(On prend (α approx 0;7) ).
6) Soit (h) la restriction de (f) à l’intervalle (I =]-∞ ; α [)
a) Montrer que (h) admet une fonction réciproque
définie sur un intervalle (J) a determiner.
b) Calculer (( h ^{- 1 })^{prime}(- 2 ))
(Remarquer que (h ( 0 )=- 2) ).
7) A) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que:
(int_{0}^{2}(2 x-4) e^{frac{x}{2}} d x=frac{5-e}{2})
b) Calculer en (cm ^{2}) l’aire du domaine plan limité par
((C_{f})); laxe des abscisses et les droites d’équations (x = 0) et (x = 2).
By Prof. Youness BABA