Exercice 1: (5 Pts)
I.
Soit \(f\) l’application définie de \(ℂ -\{- 1 \}\) par:
\(f ( z )=\frac{ z + 4 }{ z + 1 }\)
1) Montrer que:
\(f ( i \sqrt{ 3 }- 1 )= 1 – i \sqrt{ 3 }\).
2) Vérifier que:
\(f ( z )=- z ⇔ z ^{2}+ 2 z + 4 = 0\)
3) Résoudre dans \(C\) l’équation ( E ):
\(z ^{2}+ 2 z + 4 = 0\).
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\(( O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})\).
On considère les points \(A ; B\) et \(C\) d’affixes respectives:
\(z _{ A }=- 1 + i \sqrt{ 3 } ; z _{ B }=- 1 – i \sqrt{ 3 }\) et \(z _{C}= 2\).
Et soit \(T\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{ u }( 2 i \sqrt{ 3 })\).
1) a) Ecrire le nombre complexe \(\frac{ z _{A}- z _{ C }}{ z _{ B }- z _{ C }}\)
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle \(ABC\).
2) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit du triangle \(A B C\).
3) Soit \(D\) l’image du point \(C\) par la translation \(T\).
Montrer que l’affixe du point \(D\) est \(z _{ D }= 2 +2 i \sqrt{ 3 }\)
4) Déterminer la nature du quadrilatère \(A B C D\).
5) Déterminer l’ensemble des points \(M ( z )\) du plan complexe
tel que:
\(\arg ( f ( z )- 1 ) \equiv \frac{π}{3}[ 2 π ]\)
Exercice 2: (4 Pts)
Soit \(( U _{ n })\) la suite deffinie par:
\(U _{0}= 5\)
\((∀ n∈ N ) U _{n+1}=\frac{ 1 }{3} U _{ n }+ 2\)
1) Montrer que: \((∀ n∈ N ) \quad 3<U_{n}<6\).
2) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{ n })\).
Que peut – on en déduire?
3) Montrer que:
\((∀ n∈ N ) \quad U_{n}=2(\frac{1}{3})^{n}+3\).
4)-a Calculer en fonction de \(n\) la somme :
\(S _{ n }= U _{ 0 }+ U _{ 1 }+\cdots+ U _{ n }\)
b) Calculer \(\lim _{n➝+∞} S_{n}\).
5) On considère la suite \(( V _{n})\) deffinie par:
\((∀ n∈ N ) V_{n}=\ln (\frac{U_{n}-3}{2})\)
a) Montrer que:
\(( V _{ n })\) est une suite arithmétique de raison \(-\ln 3\).
b) Déterminer la valeur de l’entier naturel \(n\)
tel que :
\(V _{ 1 }+ V _{2}+\cdots+ V _{ n }=\ln (\frac{ 1 }{27})\)
Exercice 3: (11 Pts)
Partie 1
On considère la fonction \(g\) deffinie sur IR par:
\(g ( x )=- 1 + x e ^{\frac{x}{2}}\)
1) Calculer:
\(\lim _{x➝-∞} g(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} g(x)\).
2) Eludier les variations de la fonction \(g\) sur \(R\) et dresser sontableau de varialion.
3) Montrer que l’équation \(g( x )= 0\)
admet une solution unique \(α\) dans l’intervalle \(] \ln2 ; \ln3 [\)
4) Etudier le signe de \(g ( x )\) pour tout \(x∈ IR\).
Partie 2
Soit \(f \) la fonction définie sur \(IR\) par:
\(f ( x )=- x + 2 +( 2 x-4) e ^{\frac{x}{2}}\)
Et soit \(( C _{ f })\) sa courbe représentative dans un repire orthonormé
\(( o ; \vec{ i } ; \vec{j})\) (unité cm )
1) a) Montrer que \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
* déterminer la branche infinie de \(( C _{f})\) au voisinage de \(+∞\).
2) a) Mantrer que: \(\lim _{x➝-∞} f(x)=+∞\)
b) Montrer que la \(( D)\) d’équation \(y =- x + 2\) est une asymptote
à la courbe\(( C _{ f })\) au voisinage de \(-∞\).
c) Déterminer la position relative
de la droite \(( D )\) et de la courbe \(( C _{f})\).
3)- a Montrer que: \((∀ x∈ R ): f ^{\prime}( x )= g ( x )\)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(R\).
4) Montrer que: \(f ( α )= 4 – α -\frac{4}{α}\)
5) Vérifier que \(f ( 2 )= 0\) et construire la courbe \(( C _{ f })\).
(On prend \(α \approx 0;7\) ).
6) Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I =]-∞ ; α [\)
a) Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque
définie sur un intervalle \(J\) a determiner.
b) Calculer \(( h ^{- 1 })^{\prime}(- 2 )\)
(Remarquer que \(h ( 0 )=- 2\) ).
7) A) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que:
\(\int_{0}^{2}(2 x-4) e^{\frac{x}{2}} d x=\frac{5-e}{2}\)
b) Calculer en \(cm ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par
\((C_{f})\); laxe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\).
By Prof. Youness BABA