Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 10

Exercice 1: (5 Pts)

I.
Soit $f$ l’application définie de $ℂ-\{-1\}$ par:
$f(z)=\frac{z+4}{z+1}$
1) Montrer que:
$f(i\sqrt{3}-1)=1–i\sqrt{3}$.
2) Vérifier que:
$f(z)=-z\iff z^2+2z+4=0$
3) Résoudre dans $C$ l’équation ( E ):
$z^2+2z+4=0$.

II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
On considère les points $A;B$ et $C$ d’affixes respectives:
$z_A=-1+i\sqrt{3};z_B=-1–i\sqrt{3}$ et $z_C=2$.
Et soit $T$ la translation de vecteur $\overrightarrow{u}(2i\sqrt{3})$.
1) a) Ecrire le nombre complexe $\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle $ABC$.
2) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit du triangle $ABC$.
3) Soit $D$ l’image du point $C$ par la translation $T$.
Montrer que l’affixe du point $D$ est $z_D=2+2i\sqrt{3}$
4) Déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
5) Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ du plan complexe
tel que:
$\arg (f(z)-1)\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]$

Exercice 2: (4 Pts)

Soit $(U_n)$ la suite deffinie par:
$U_0=5$
$(\forall n\in N)U_{n+1}=\frac{1}{3}{U}_n+2$
1) Montrer que: $(\forall n\in N)3<U_n<6$.
2) Etudier la monotonie de la suite $(U_n)$.
Que peut – on en déduire?
3) Montrer que:
$(\forall n\in N)U_n=2(\frac{1}{3}{)}^n+3$.
4)-a Calculer en fonction de $n$ la somme :
$S_n=U_0+U_1+\cdots +U_n$
b) Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}{S}_n$.
5) On considère la suite $(V_n)$ deffinie par:
$(\forall n\in N)V_n=\ln (\frac{U_n-3}{2})$
a) Montrer que:
$(V_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\ln 3$.
b) Déterminer la valeur de l’entier naturel $n$
tel que :
$V_1+V_2+\cdots +V_n=\ln (\frac{1}{27})$

Exercice 3: (11 Pts)

Partie 1
On considère la fonction $g$ deffinie sur IR par:
$g(x)=-1+x{e}^{\frac{x}{2}}$
1) Calculer:
$\underset{x➝-\infty }{lim}g(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}g(x)$.
2) Eludier les variations de la fonction $g$ sur $R$ et dresser sontableau de varialion.
3) Montrer que l’équation $g(x)=0$
admet une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $]\ln 2;\ln 3[$
4) Etudier le signe de $g(x)$ pour tout $x\in IR$.

Partie 2
Soit $f$ la fonction définie sur $IR$ par:
$f(x)=-x+2+(2x-4)e^{\frac{x}{2}}$
Et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repire orthonormé
$(o;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ (unité cm )
1) a) Montrer que $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=+\infty$
b) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$
* déterminer la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
2) a) Mantrer que: $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)=+\infty$
b) Montrer que la $(D)$ d’équation $y=-x+2$ est une asymptote
à la courbe$(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
c) Déterminer la position relative
de la droite $(D)$ et de la courbe $(C_f)$.
3)- a Montrer que: $(\forall x\in R):f^{\prime }(x)=g(x)$
b) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $R$.
4) Montrer que: $f(\alpha )=4–\alpha -\frac{4}{\alpha }$
5) Vérifier que $f(2)=0$ et construire la courbe $(C_f)$.
(On prend $\alpha \approx 0;7$ ).

6) Soit $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $I=]-\infty ;\alpha [$
a) Montrer que $h$ admet une fonction réciproque
définie sur un intervalle $J$ a determiner.
b) Calculer $(h^{-1}{)}^{\prime }(-2)$
(Remarquer que $h(0)=-2$ ).
7) A) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que:
${\int }_0^2(2x-4)e^{\frac{x}{2}}dx=\frac{5-e}{2}$
b) Calculer en $c{m}^2$ l’aire du domaine plan limité par
$(C_f)$; laxe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=2$.

By Prof. Youness BABA