Exercice 1: (7 Pts)
I- On considère dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation:
\((E): z^{2}-2 z+2=0\)
1) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les solutions de (E) tels que:
\(Im (z_{1}>0 .\)
2) Ecrire \(z_{1}\) puis \(z_{2}\) sous forme exponentielle
et montrer que: \((z_{1})^{8}=16\).
II- Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\),
On Considère les points E, F et G d’affixes:
\(z_{E}=1+i, z_{F}=1-i\) et \(z_{G}=-i \sqrt{3}\).
1) Soit N l’image de F par l’homothétie h de centre G et de rapport 2 .
Montrer que : \(z_{N}=2+i(\sqrt{3}-2)\).
2) Soit r la rotation de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{2}\),
On pose A=r(G) et C=r(N).
Montrer que \(z_{A}=\sqrt{3}.\)
et \(z_{C}=2-\sqrt{3}+2 i .\)
3) Soit t la translation de vecteur \(\vec{w}(2 i)\),
On pose B=t(N) et D=t(G).
Montrer que: \(z_{B}=2+i \sqrt{3}\) et \(z_{D}=(2-\sqrt{3}) i .\)
4) a) Montrer que E est le milieu de [AC] et [BD].
b) Vérifier que : \(\frac{z_{C}-z_{E}}{z_{B}-z_{E}}=i\),
puis en déduire la nature du triangle BCE.
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
justifier votre réponse.
Exercice 2: (13 Pts)
I-
Soit \(g\) la fonction définie sur \(R\) par:
\((∀x∈ R ) ; g(x)=(x+1) e^{x}-1\)
1) Justifier que: \(\lim _{x ➝+∞} g(x)=+∞\)
et \(\lim _{x ➝-∞} g(x)=-1\).
2) a) Montrer que: \((∀x∈ R ) ; g^{\prime}(x)=(x+2) e^{x} .\)
Puis dresser le tableau de variation complet de g en justifiant votre réponse.
3)- Calculer \(g(0)\)
puis en déduire que ∀x∈[0 ;+∞[: \(g(x) ≥ 0\)
et que ∀x∈]-∞;0]: \(g(x)≤ 0 \)
II-
On considère la fonction \(f\) définie sur \(IR\) par:
\((∀x∈IR ) ; f(x)=x(e^{x}-1)\)
1) Montrer que: \(\lim _{x ➝+∞} f(x)=+∞\)
et \(\lim _{x ➝-∞} g(x)=+∞\).
2) Montrer que: \(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\),
puis en déduire la nature de la branche infinie
De le courbe \((C_{f})\) au voisinage de \(+∞\)
3) a) Montrer que \((C_{f})\) admet au voisinage de \(-∞\)
une asymptote oblique \((Δ)\) d’équation: \(y=-x\).
b)- Etudier la position relative de la courbe \((C_{f})\)
et son asymptote \((Δ)\).
4) a) Montrer que : \((∀x∈ R ) ; f^{\prime}(x)=g(x)\).
b) – Dresser le tableau de variation de \(f\) en justifiant votre réponse.
5)- a)- Etudier la concavité de \((C_{f})\)
et déterminer son point d’inflexion.
b) Construire la courbe \((C_{f})\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
6)- a)- En utilisant une intégration par partie,
calculer \(I=\int_{-1}^{0} x e^{x} d x\).
b) En déduire la surface du secteur plan compris entre \((C_{f})\)
et [asymptote \((Δ)\)
Et les droites d’équations: \(x=-1\) et \(x=0\).
7) Soit h la restriction de f a l’intervalle \(I=[0 ;+∞[.\)
a) Montrer que h admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur \(I\).
b) Construire la courbe \((C_{h^{-1}})\)
dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
c) Montrer que \(h^{-1}\) est dérivable en \(b=\ln 2\)
et que \(:(h^{-1})^{\prime}(\ln 2)=\frac{1}{2 \ln 2-1}\).
III-
On considère la suite \((u_{n})_{n∈IN }\) définie par:
\(u_{0}=\ln (e-1)\)
\((∀n∈ N ) ; u_{n+1}=f(u_{n}) \).
1) Montrer par récurrence que ∀n∈ IN:
\(0≤ u_{n}≤ \ln 2\).
2) Montrer que \((u_{n})_{n∈ IN }\) est décroissante,
puis en déduire qu’elle est convergente.
3) Calculer \(\lim _{n ➝+∞} u_{n}\) en justifiant votre réponse.