Exercice 1: (3 Pts)
Thème: Nombres complexes
1) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \(( O , \vec{u}, \vec{v})\),
on considère les points \(A, B\) et \(C\) d’affixes respectives:
\(z_{A}=-4, z_{B}=-1+i \sqrt{3}\) et \(z_{C}=-i z_{B}\).
a) Montrer que le triangle \(OBC\) est isocèle
et que \((\overrightarrow {OB} ; \overrightarrow {OC}) \equiv-\frac{\pi}{2}[2 \pi]\).
b) Mettre \(z_{ B }\) sous forme trigonométrique
et déduire que le point \(B\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(2 .\)
c) Placer le point \(A\) et construire les points \(B\) et \(C\).
2) Soit \(D\) le point d’affixe \(z_{ D }=(1-i) z_{ B }\).
a) Montrer que le quadrilatère \(O C D B\) est un carré.
b) Montrer que \(\operatorname{Aff}(\overrightarrow{ AB })=\sqrt{3} z_{ C }\)
c) Déduire que les points \(A, B\) et \(D\) sont alignés
d) Calculer l’aire du quadrilatère \(OADC\).
Exercice 2: (3 Pts)
Thème: Suites numériques
On considère la suite \((u_{n})\) définie par \(u_{0}=\frac{1}{2}\)
et telle que pour tout entier naturel \(n , u _{n+1}=\frac{3 u_{ n }}{1+2 u_{n}}\)
1) a) Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\).
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), \( 0<u_{n}<1\).
2) On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \( u _{n}< 1\).
a) Démontrer que la suite \((u_{n})\) est croissante.
b) Démontrer que la suite \((u_{n})\) converge.
3) Soit \((v_{n})\) la suite définie, pour tout entier naturel \(n\), par:
\(v_{n}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}\)
a) Montrer que:
la suite \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison 3 .
b) Exprimer pour tout entier naturel \(n\),\( v _{n}\) en fonction de \(n\).
c) En déduire que:
pour tout entier naturel \(n, u_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}+1}\).
d) Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\).
Exercice 3: (3 Pts)
Thème: Etude d’une fonction numérique
Partie I:
On considère \(\ln\) fonction \(g\) définie sur \(]-1;+∞[ \) par :
\(g(x)=x+1-2 \ln (x+1)\)
1) Calculer \(g^{\prime}(x)\) puis dresser le tableau de variation de \(g\).
2) Calculer \(g(1)\)
puis déduire que \(∀x∈]-1;+∞[: g(x)>0\).
Partie II:
Soit \(f\) une fonction définie sur \(]-1;+∞[.\) par:
\(f(x)=x+1-(\ln (x+1))^{2}\)
1) a) Calculer \(\lim _{x➝-1^{+}} f(x)\)
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\)
et montrer que \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}=1\).
c) Montrer que:
\(G _{f}\) admet une branche parabolique de direction \((D): y=x\)
au voisinage de \(+∞\)2) a) Monter que:
\(∀x∈]-1 ;+∞[; \quad f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{(x+1)}.\)
b) Montrer que: \(f\) est strictement croissante sur \(]-1 ;+∞[\)
puis dresser le tableau de variation de \(f\)
3) Déterminer une équation de la tangente \((T)\)
à la courbe \(E _{}\) au point \(A(0;1)\).
4) a) Montrer que ∀x∈[e-1;+∞[ :\(f(x)-x≤ 0\).
b) Étudier les positions relatives de \(C _{ g }\) et la droite \((D): y = x\)
5) (a) Montrer que ∀x∈]-1 ;+∞[:
\(f^{\prime \prime}(x)=\frac{-2+2 \ln (x+1)}{(x+1)^{2}}.\).
b) Montrer que:
le point d’abscisse \((1-e)\) est une point d’inflexion à la courbe \(C _{f}\).
6) Montrer que:
l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique sur l’intervalle \(]-1;0[\)
7) Tracer (D) ; (T) et \(C _{f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\)
dans un repère orthonormé.
Partie III:
Soit \((U_{n})\) la suite numérique définie sur \(N\) par :
\(U_{0}=e\)
∀n∈ IN: \(U_{n+1}=f(U_{n})\) ;
1) Montrer que \(∀n∈ N ; U _{n} \geq e-1\)
2) Calculer \(\lim (U_{n})\)
Partie IV:
Soit \(h\) la fonction définie par \(h(x)=\frac{f(x)}{x+1} ;\) pour tout \(.x∈]-1 ;+∞[ \)
Déterminer la fonction \(H\), la primitive de la fonction \(h\) qui vérifie \(H(0)=0\)