Examen National Math Bac 2 Science Physique 2021 bac Blanc 02

Exercice 1: (3 Pts)

Thème: Nombres complexes

1) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ ,
on considère les points $A, B$ et $C$ d’affixes respectives:
$z_{A} = - 4, z_{B} = - 1 + i \sqrt{3}$ et $z_{C} = - i z_{B}$ .
a) Montrer que le triangle $O B C$ est isocèle
et que $(\vec{O B}; \vec{O C}) \equiv - \frac{π}{2} [2 π]$ .
b) Mettre $z_{B}$ sous forme trigonométrique
et déduire que le point $B$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $2 .$
c) Placer le point $A$ et construire les points $B$ et $C$ .
2) Soit $D$ le point d’affixe $z_{D} = (1 - i) z_{B}$ .
a) Montrer que le quadrilatère $O C D B$ est un carré.
b) Montrer que $Aff (\vec{A B}) = \sqrt{3} z_{C}$
c) Déduire que les points $A, B$ et $D$ sont alignés
d) Calculer l’aire du quadrilatère $O A D C$ .

Exercice 2: (3 Pts)

Thème: Suites numériques

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{1}{2}$
et telle que pour tout entier naturel $n, u_{n + 1} = \frac{3 u_{n}}{1 + 2 u_{n}}$
1) a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ , $0 < u_{n} < 1$ .
2) On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} < 1$ .
a) Démontrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
b) Démontrer que la suite $(u_{n})$ converge.
3) Soit $(v_{n})$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ , par:
$v_{n} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$
a) Montrer que:
la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3 .
b) Exprimer pour tout entier naturel $n$ , $v_{n}$ en fonction de $n$ .
c) En déduire que:
pour tout entier naturel $n, u_{n} = \frac{3^{n}}{3^{n} + 1}$ .
d) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Exercice 3: (3 Pts)

Thème: Etude d’une fonction numérique

Partie I:
On considère $\ln$ fonction $g$ définie sur $] - 1; + \infty [$ par :
$g (x) = x + 1 - 2 \ln (x + 1)$
1) Calculer $g^{'} (x)$ puis dresser le tableau de variation de $g$ .
2) Calculer $g (1)$
puis déduire que $\forall x \in] - 1; + \infty [: g (x) > 0$ .

Partie II:
Soit $f$ une fonction définie sur $] - 1; + \infty [.$ par:
$f (x) = x + 1 - (\ln (x + 1))^{2}$
1) a) Calculer $lim_{x ➝ - 1^{+}} f (x)$
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
b) Calculer $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$
et montrer que $lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1$ .
c) Montrer que:
$G_{f}$ admet une branche parabolique de direction $(D) : y = x$
au voisinage de $+ \infty$ 2) a) Monter que:
$\forall x \in] - 1; + \infty [; f^{'} (x) = \frac{g (x)}{(x + 1)} .$
b) Montrer que: $f$ est strictement croissante sur $] - 1; + \infty [$
puis dresser le tableau de variation de $f$
3) Déterminer une équation de la tangente $(T)$
à la courbe $E_{}$ au point $A (0; 1)$ .
4) a) Montrer que ∀x∈[e-1;+∞[ : $f (x) - x \leq 0$ .
b) Étudier les positions relatives de $C_{g}$ et la droite $(D) : y = x$
5) (a) Montrer que ∀x∈]-1 ;+∞[:
$f^{''} (x) = \frac{- 2 + 2 \ln (x + 1)}{(x + 1)^{2}} .$ .
b) Montrer que:
le point d’abscisse $(1 - e)$ est une point d’inflexion à la courbe $C_{f}$ .
6) Montrer que:
l’équation $f (x) = 0$ admet une solution unique sur l’intervalle $] - 1; 0 [$
7) Tracer (D) ; (T) et $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans un repère orthonormé.

Partie III:
Soit $(U_{n})$ la suite numérique définie sur $N$ par :
$U_{0} = e$
∀n∈ IN: $U_{n + 1} = f (U_{n})$ ;
1) Montrer que $\forall n \in N; U_{n} \geq e - 1$
2) Calculer $lim (U_{n})$

Partie IV:
Soit $h$ la fonction définie par $h (x) = \frac{f (x)}{x + 1};$ pour tout $. x \in] - 1; + \infty [$
Déterminer la fonction $H$ , la primitive de la fonction $h$ qui vérifie $H (0) = 0$