Exercice 1: (5 Pts)
I.
On considère dans (C) l’équation d’inconnue (Z) définie par:
(( E ): z ^{2}+8 sqrt{3} z+64=0)
1) Résoudre dans (C) l’équation ((E)).
2) En déduire les solutions de l’équation:
((2 i bar{z}-4 sqrt{3})^{2}+8 sqrt{3}(2 i bar{z}-4 sqrt{3})+64=0)
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
(( O ; vec{ u } ; vec{v})).
On considère les points (A;B) et (C) d’affures respectives:
(z_{A}=-4 sqrt{3}-4 i ; z_{B}=-4 sqrt{3}+4 i ; z_{C}=sqrt{3}+i .)
1) A) Ecrire les nombres complexes (z_{A}) et (z_{B}) sous forme exponentielle.
b) Montrer que le triangle (OAB) est équilatéral.
2) Soit (D) l’image du point (C) par homothétie (h)
de centre (Ω (ω =2 sqrt{3})) et de rapport (k = 2).
a) Montrer que l’affixe du point (D) est (z_{D}=2 i)
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté (widehat{(overrightarrow{OB};overrightarrow{OD})}).
3) Soit (G) le barycentre du système pondéré ({(B;1 ) ;(D;1) ;(O;-1)}).
a) Montrer que l’affixe du point (G) est (z _{G}=-4 sqrt{3}+ 6 i).
b) Déterminer la nature du quadrilatère (OBGD).
4) Déterminer l’ensemble ((zeta)) des points (M( z )) du plan tels que:
(|overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}-overrightarrow{MO}|≤ 2)
Exercice 2: (4 Pts)
Soit ((U_{n})) la suite définie par:
(U_{0}=1)
∀n∈IN: (U_{n+1}=frac{2 U_{n}+3}{v_{n}+2})
1) Montrer que ∀n∈IN*: (0<U_{n}<sqrt{3}).
2) Etudier la monotonie de la suite (( U _{n})). Que peut -on en déduire?
3) a) Montrer que ∀n∈IN*:
((|U_{n+1}-sqrt{3}|<frac{1}{2}|U_{n}-sqrt{3}|).
b) En déduire que ∀n∈IN*:
(|U_{n}-sqrt{3}|<(frac{1}{2})^{n}(sqrt{3}-1)).
c) Déterminer la limite de la suite ((U_{n})).
4) On considère la suite ((V_{n})_{n ≥ 1}) définie par ∀n∈IN*:
(V_{n}=frac{U_{1}+U_{2}+…+U_{n}}{n})
a) Montrer que ∀n∈IN*: (V_{n}<U_{n} .)
b) Vérifier que ∀n∈IN*:
(V_{n+1}=frac{n V_{n}+U_{n}}{n+1})
4) Etudier la monotonie de la suite ((V_{n})_{n ≥ 1}),
puis déduire qu’elle est convergente.
Exercice 3: (11 Pts)
Partie I
On considère la fonction (g) définie sur (]0;+∞[) par:
(g ( x )=2 ln (x)+frac{1}{x}- 1)
1) Calculer les limites: (lim _{x➝ 0^{+}} g(x))
et (lim _{x➝+∞} g(x)).
2) Etudier les variations de la fonction (g) puis dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que:
l’équation (g(x)=0) admet une solution unique (α) dans l’intervalle (]0;frac{1}{2})
b) Montrer que: (frac{1}{4}<α<frac{1}{2});
puis déterminons un encadrement de (α) de longueur (125×10^{-3})
4) Calculer (g) (1) ; puis déterminer le signe de (g ( x )) sur (]0;+∞[).
Partie II
Soit (f) la fonction définie sur (R) par :
(f ( 0 )= 0)
∀ x >0 :(f (x)=x^{2}(ln x-1)+x 😉
et soit (( C _{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(( o;vec{ i};vec{ j})) (unité (2 cm) )
1) Montrer que la fonction (f) est continue à droite en (0).
2) Etudier la dérivabilité de la fonction (f) a droite de (0);
puis interpréter graphiquement le résultat.
3) a) Montrer que: (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞)
b) Calculer (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x}),
puis déterminer la branche infinie de (( C _{f})) au voisinage de (+∞).
4) a) Montrer que ∀x∈] 0 ;+∞[): (f^{prime}(x)=x g(x))
b) Dresser le tableau de variation de (f) sur (]0 ;+∞[).
c) Déduire que: (( ∀ x∈] 0;+∞[): f(x) ≥ 0)
5) Montrer que: (f ( α )=frac{α}{2}( 1 – α )).
6) Construire la courbe (( C _{ f })). (On prend (α approx 0 ; 3) ).
7) Soit (h) la restriction de (f) a l’intervalle (I=[ 1 ;+∞[)
a) Montrer que:
(h) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle (J) a déterminer.
b) Calculer ((h ^{-1})^{prime}( e ))) Remarquer que (h (e)= e) ).
c) Construire dans le même repère (( o;vec{i};vec{j}))
la courbe représentative de la fonction (h^{-1}).
8) a) A laide d’une intégration par parties, montrer que:
(int_{1}^{e} x^{2} ln x dx=frac{2 e^{3}+1}{9})
b) Calculer en (cm^{2}) l’aire du domaine plan limité par
((C_{f}) 😉 l’axe des abscisses et les droites d’équations (x=1) et (x=e).
By Prof. Youness BABA