Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 8

Exercice 1: (5 Pts)

I.
On considère dans $C$ l’équation d’inconnue $Z$ définie par:
$(E):z^2+8\sqrt{3}z+64=0$
1) Résoudre dans $C$ l’équation $(E)$.
2) En déduire les solutions de l’équation:
$(2i\overline{z}-4\sqrt{3}{)}^2+8\sqrt{3}(2i\overline{z}-4\sqrt{3})+64=0$

II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
On considère les points $A;B$ et $C$ d’affures respectives:
$z_A=-4\sqrt{3}-4i;z_B=-4\sqrt{3}+4i;z_C=\sqrt{3}+i.$
1) A) Ecrire les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sous forme exponentielle.
b) Montrer que le triangle $OAB$ est équilatéral.
2) Soit $D$ l’image du point $C$ par homothétie $h$
de centre $\Omega (\omega =2\sqrt{3})$ et de rapport $k=2$.
a) Montrer que l’affixe du point $D$ est $z_D=2i$
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD})}$.
3) Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(B;1);(D;1);(O;-1)\}$.
a) Montrer que l’affixe du point $G$ est $z_G=-4\sqrt{3}+6i$.
b) Déterminer la nature du quadrilatère $OBGD$.
4) Déterminer l’ensemble $(\zeta )$ des points $M(z)$ du plan tels que:
$\Vert \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MO}\Vert \le 2$

Exercice 2: (4 Pts)

Soit $(U_n)$ la suite définie par:
$U_0=1$
∀n∈IN: $U_{n+1}=\frac{2U_n+3}{v_n+2}$
1) Montrer que ∀n∈IN*: $0<U_n<\sqrt{3}$.
2) Etudier la monotonie de la suite $(U_n)$. Que peut -on en déduire?
3) a) Montrer que ∀n∈IN*:
$(|U_{n+1}-\sqrt{3}|<\frac{1}{2}|U_n-\sqrt{3}|$.
b) En déduire que ∀n∈IN*:
$|U_n-\sqrt{3}|<(\frac{1}{2}{)}^n(\sqrt{3}-1)$.
c) Déterminer la limite de la suite $(U_n)$.
4) On considère la suite $(V_n{)}_{n\ge 1}$ définie par ∀n∈IN*:
$V_n=\frac{U_1+U_2+\dots +U_n}{n}$
a) Montrer que ∀n∈IN*: $V_n<U_n.$
b) Vérifier que ∀n∈IN*:
$V_{n+1}=\frac{n{V}_n+U_n}{n+1}$
4) Etudier la monotonie de la suite $(V_n{)}_{n\ge 1}$,
puis déduire qu’elle est convergente.

Exercice 3: (11 Pts)

Partie I
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par:
$g(x)=2\ln (x)+\frac{1}{x}-1$
1) Calculer les limites: $\underset{x➝0^{+}}{lim}g(x)$
et $\underset{x➝+\infty }{lim}g(x)$.
2) Etudier les variations de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que:
l’équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $]0;\frac{1}{2}$
b) Montrer que: $\frac{1}{4}<\alpha <\frac{1}{2}$;
puis déterminons un encadrement de $\alpha$ de longueur $125\times {10}^{-3}$
4) Calculer $g$ (1) ; puis déterminer le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty [$.

Partie II
Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :
$f(0)=0$
∀ x >0 :$f(x)=x^2(\ln x-1)+x;$
et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(o;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ (unité $2cm$ )
1) Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $0$.
2) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ a droite de $0$;
puis interpréter graphiquement le résultat.
3) a) Montrer que: $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=+\infty$
b) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{f(x)}{x}$,
puis déterminer la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
4) a) Montrer que ∀x∈] 0 ;+∞[): $f^{\prime }(x)=xg(x)$
b) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$.
c) Déduire que: $(\forall x\in ]0;+\infty [):f(x)\ge 0$
5) Montrer que: $f(\alpha )=\frac{\alpha }{2}(1–\alpha )$.
6) Construire la courbe $(C_f)$. (On prend $\alpha \approx 0;3$ ).

7) Soit $h$ la restriction de $f$ a l’intervalle $I=[1;+\infty [$
a) Montrer que:
$h$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ a déterminer.
b) Calculer $(h^{-1}{)}^{\prime }(e))$ Remarquer que $h(e)=e$ ).
c) Construire dans le même repère $(o;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$
la courbe représentative de la fonction $h^{-1}$.
8) a) A laide d’une intégration par parties, montrer que:
${\int }_1^e{x}^2\ln xdx=\frac{2e^3+1}{9}$
b) Calculer en $c{m}^2$ l’aire du domaine plan limité par
$(C_f);$ l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=e$.

By Prof. Youness BABA