Exercice 1: (4 Pts)
Soit la suite \((u_{n})\) définie par :
\(u_{0}=2 \)
\(u_{n+1}=2-\frac{1}{u_{n}} \) pour tout n de \(IN\)
1. Montrer que:
\(∀n∈IN\) : \(u_{n}>1\).
2. a. Montrer que:
\(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{(u_{n}-1)^{2}}{u_{n}}\)
puis déduire la monotonie de la suite \((u_{n}) .\)
b. Montrer que la suite \((u_{n})\) est convergente.
3. Pour tout \(n\) de \(N\) on pose : \(v_{n}=\frac{u_{n}-2}{u_{n}-1}\).
a. Calculer \(v_{0}\) puis montrer que :
\(v_{n+1}-v_{n}=-1\) pour tout \(n\) de \(IN\).
b. Montrer que pour tout \(n\) de \(IN\), on \(a: v_{n}=-n\).
c. Déduire que pour tout \(n\) de \(IN\), on a :
\(u_{n}=\frac{n+2}{n+1}\).
Calculer lim \(_{n ➝+∞} u_{n}\).
4. Déterminer lim \(_{n ➝+∞} w_{n}\)
tel que \((w_{n})\) est la suite définie par: \(w_{n}=\ln (u_{n})\).
Exercice 2: (5 Pts)
1. Résoudre dans \(ℂ\) l’équation :
\((E): Z^{2}-\sqrt{2} Z+1=0 .\)
2. On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
\((O ; \vec{u} ; \vec{v})\)
les points \(A: B\) et \(C\) d’affixes respectives:
\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i \quad: b=\sqrt{2}+1+i ; c=\bar{b} .\)
a. Montrer que:
\(\arg (a) ≡ \frac{π}{4}[2π]\).
Soit \(R\) la rotation de centre 0 et d’angle \(\frac{\pi}{4}\)
et \(B\) l’image de \(C\) par la rotation \(R .\)
b. Montrer que: \(b=ac\).
c. Déduire que : \(\arg (b) ≡ \frac{π}{8}[2π]\)
et montrer que : \(|b|=\sqrt{2(\sqrt{2}+2)}\).
d. En déduire que : \(b^{4}=4(\sqrt{2}+2)^{2}\) i.
3. On considère le point \(D\) d’affixe: \(d=\sqrt{2}\).
a. Vérifier que : \(b-d=i(c-d)\).
b. Déduire que: \(DB=DC\)
puis determiner la mesure de l’angle \(\widehat{(\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DB})}\).
c. Déduire la nature du triangle BDC.
Exercice 3: (4,5 Pts)
On considère la fonction \(g\) definie sur \(IR\) par:
\(g(x)=1-e^{-\frac{3}{2} x}-\frac{1}{2} x\).
1. Montrer que ∀x∈\(IR\):
\( g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(e^{-\frac{1}{2} x}-1)\).
2.a. Montrer que \(g\) est décroissante sur \([0 ;+∞[.\)
b. Déduire que ∀x ≥ 0:
\( 1-e^{-\frac{1}{2} x}≤ \frac{1}{2} x\).
3. Montrer que ∀x ≥ 0:
\(\frac{1-e^{-\frac{1}{2} x}-x}{x^{2}}≤ -\frac{1}{2 x}\)
et déduire lim \(_{x ➝0^{+}} \frac{1-e^{-\frac{1}{x} x}-x}{x^{2}}\).
4.a. Montrer que:
la fonction \(G: x ➝2 e^{-\frac{1}{2} x}-(\frac{1}{2} x-1)^{2}\) est une primitive de \(g\) sur \(IR\)
b. Montrer que:
\(\int_{0}^{4} g(x) d x=2 e^{-2}(1-e)(1+e)\).
Exercice 4: (6,5 Pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(IR\) par:
\(f(0)=0\)
\(∀x \neq 0 \): \(f(x)=2 x+x \ln (1+\frac{1}{x^{2}})\)
1. Montrer que f est impaire.
2.a. Vérifier que \(∀x∈] 0 ;+∞[\):
\(x \ln (1+\frac{1}{x^{2}})=x \ln (1+x^{2})-2 x \ln (x).\).
b. Deduire que \(f\) est continue à droite en \(0 .\)
c. Etudier la dérivabilité de \(f\) a droite en 0 puis interpreter le résultat.
3. Montrer que:
\(\lim _{x ➝+∞} f(x)=+∞\).
4. a. Montrer que \(∀x∈R _{+}\):
\(f^{\prime}(x)=\ln (1+\frac{1}{x^{2}})+\frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}\).
b. Montrer que : \(∀x∈IR _{+}: \ln (1+\frac{1}{x^{2}})>0\).
c. Déduire que f est strictement croissante sur \(] 0 ;+∞[\)
puis dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(IR\)
5.a. Montrer que:
\(\lim _{x ➝+∞} x^{2} \ln (1+\frac{1}{x^{2}})=1\).
(poser \(.t=\frac{1}{x^{2}})\)
b. Déduire que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=2 x\) est une asymptote oblique
\((DC)\) au voisinage de \(+∞\).
c. Montrer que \(∀x∈] 0 ;+∞[\): \(f(x)>2x\).
déduire que \((C)\) est au-dessus de la droite (\Delta) sur \(]10 ;+∞[\).
6. Tracer la courbe \((C)\)
et la droite \((\Delta)\) dans un repère orthonormé
\((O ; \vec{i} ; \vec{j})\). (unité: \(1 cm\) )
7. Montrer que:
\(\int_{1}^{2} \frac{x}{1+x^{2}} d x=\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{2})\).
8. En utilisant une intégration par partie, montrer que:
\(\int_{1}^{2} x \ln (1+\frac{1}{x^{2}}) d x=\frac{5}{2} \ln (\frac{5}{4})\).
9. Déduire en \(cm ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \((C)\)
et \((\Delta)\) et les deux droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
By Prof. Mohammed Diaz