Exercice 1: (2 Pts)
1) Résoudre dans \(IR\) l’équation : \(\quad t^{2}-2 t-3=0\).
2) Déduire dans \(IR\) la solution de :
* \(\quad e^{x}-2-\frac{3}{e^{x}}=0\)
* \(\ln (x-2)+\ln (x)>\ln (3)\).
3) Résoudre dans \(( R ^{+})^{2}\) le système suivant:
\(\left\{\begin{array}{l}\ln \left(x^{3}\right)+5 \ln (y)=-1 \\ 2 \ln \left(x^{2}\right)-\ln \left(y^{3}\right)=2\end{array}\right.\)
Exercice 2: (4 Pts)
On considère la suite numérique \((U_{n})_{n ≥ 0}\) définie par:
\(U_{0}=\frac{1}{5}\)
\(U_{n+1}=\frac{2 U_{n}}{2 U_{n}+1}\) (∀n∈IN )
1) Calculer \(U_{1}\)
et montrer par récurrence que: \((∀n∈IN ) \quad 0<U_{n}<\frac{1}{2}\).
2) Montrer que \((U_{n})\) est strictement croissante.
3) Soit \((V_{n})\) la suite définie par : \((∀n∈IN )\),
\(V_{n}=\frac{3^{n}U_{n}}{2 U_{n}-1}\)
a) Démontrer que \((V_{n})\) est une suite géométrique de raison \(q=6\),
puis déterminer son premier terme \(V_{0}\) :
b) Exprimer \(V_{n}\) en fonction de \(n\) et montrer que \(U_{n}=\frac{2^{n}}{3+2^{n+1}}\)
4) Montrer que \((U_{n})\) est convergente
puis calculer \(\lim _{n➝+∞} U_{n} .\) .
5) On pose \(S_{n}=V_{3}+V_{4}+\ldots+V_{n}.\)
Monter que \(S_{n}=\frac{72}{5}(1-6^{n-2})\)
et déduire \(\lim _{n➝+∞} S_{n} .\)
Exercice 3: (3 Pts)
1) Résoudre dans l’ensemble \(C\) des nombres complexes l’équation:
\(z^{2}-2 z+4=0\)
2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O, \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})\),
on considère les points \(A, B\) et \(C\) d’affixes respectives:
\(a=1+i \sqrt{3}, b=1-i \sqrt{3}\) et \(c=4\).
a) Ecrire \(\frac{a-c}{b-c}\) sous forme trigonométrique,
puis déduire la nature du triangle \(ABC\)
b) Trouver \(e\) l’affixe de \(E\) image du point \(O\)
par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).
c) Démontrer que: \(C\) est l’image de \(E\)
par l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\sqrt{3}\).
d) Vérifier que: \(\arg (\frac{c}{c-a}) \equiv \frac{\pi}{6}[2\pi]\).
e) Soit \(D\) un point d’affixe \(d\),
appartenant au cercle circonscrit au triangle \(OAC\) et différent de \(O\) et de \(A\).
Déterminer un argument du nombre complexe \(\frac{d}{d-a}\).
Exercice 4: (1.5 Pts)
1) a) Vérifier que pour tout \(x∈IR -\{1\}\):
\(\frac{x^{3}+2 x-7}{x-1}=x^{2}+x+3-\frac{4}{x-1}\).
b) Déduire la valeur de l’intégrale :
\(\int_{-1}^{0} \frac{x^{3}+2 x-7}{x-1} d x\).
2) En utilisant une intégration par parties, montrer que:
\(\int_{-1}^{0} \ln (x+2) d x=\ln (4)-1\).
Exercice 5: (9.5 Pts)
I- On considère la fonction \(g\) définie sur \(] 0,+∞[\) par:
\(\quad g(x)=\ln ^{3}(x)+\ln (x)-2\)
1) Démontrer que pour tout \(x\) de \(] 0,+∞[\) :
\(g^{\prime}(x)=\frac{3 \ln ^{2}(x)+1}{x}\)
2) Calculer \(g(e)\), puis dresser le tableau de variation de \(g\).
3) Déduire que \(g(x) \leq 0\) sur \(] 0, e]\) et \(g(x) ≥ 0\) sur \([e,+∞[\).
II- Soit \(f\) la fonction numérique définie par: \(\quad f(x)=\ln (x)-\frac{1}{\ln (x)}+\frac{1}{\ln ^{2}(x)}\)
1) Montrer que \(.D_{f}=] 0,1[\cup] 1,+∞[\)
2) Calculer \(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)\),
puis donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
3) a) Montrer que \((∀x∈D_{f}) ; \quad f(x)=\frac{\ln ^{3}(x)-\ln (x)+1}{\ln ^{2}(x)}\)
b) Déduire que \(\lim _{x➝ 1^{-}} f(x)=+∞\) et \(\lim _{x➝ 1^{+}} f(x)=+∞\) ainsi interpréter géométriquement ces deux résultats.
4) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\) et montrer que \((C_{f})\) admet une branche parabolique au voisinage de \(+∞\) o déterminera sa direction.
5) a) Démontrer que pour tout \(x\) de \(] 0,1[\cup] 1,+∞[\):
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln ^{2}(x)}.\frac{g(x)}{\ln (x)}\)
b) Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \(] 0,1[\cup] 1,+∞[\).
c) Dresser le tableau de variation de \(f\).
d) Donner l’équation de la tangente \((T)\) au point d’abscisse \(e\)
6) Montrer que:
\((C_{f})\) coupe l’axe des abscisses en un unique point \(α\) tel que \(e^{-2}<α<e^{-1}\)
7) Construire la courbe \((C_{f})\) et la tangente \((T)\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
8) Soit \(h\) la fonction définie sur \([e,+∞[\) par : \(h(x)=f(x)\)
a) Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur \(J\) à déterminer.
b) Donner le tableau de variation de \(h^{-1}\).
c) Montrer que \(h(e^{2})=\frac{7}{4}\) puis déduire la valeur de \((h^{-1})^{\prime}(\frac{7}{4})\).
d) Construire la courbe \((C_{h^{-1}})\) dans le même repère et avec une autre couleur.