Exercice 1: (5 Pts)
Thème: Nombres complexes
I.
On considère dans (C) l’équation d’inconnue (Z) définie par
(( E ): z ^{2}-2 z + 5 = 0)
1) Vérifier que:
(z _{1}= 1 -2 i) est une solution de l’équation (( E )).
2) Déterminer :
(Z _{2}) la dewxième solution de l’équation (( E )).
3) Montrer que:
(( z _{1}+ 1 )^{ 8 } ∈ R).
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
(( O ; vec { u } ; vec{ v })).
On considère les points (A ; B) et (C) d’affixes respectives :
(z _{A}= 1 – 2 i ; z _{B}= 1 +2 i) et (z _{C}= 3).
Et soit (h) l’homothétie de centre (Ω ( omega = 1 + i )) et de rapport (k = 2).
1) a) Ecrire le nombre complexe (frac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}})
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle (A B C).
2) Soit (D) l’image du point (C) par l’homothétie (h).
Montrer que l’affixe du point (D) est (z _{D}=5- i)
3) Verifier que:
(frac{z_{D}-omega}{z_{C}-omega} ∈ R) et interpréter ce résultat.
4) Déterminer l’ensemble des points (M ( z )) du plan complexe tel que:
(|overline{ z }- 1 + 2 i |= 3)
Exercice 2: (4 Pts)
Thème: Suites numériques
Soit (( U _{ n })) la suite définie par:
(U _{0}= 2)
∀n ∈ IN : ( U _{ n + 1 }=frac{3}{4} U _{ n }+frac{7}{4})
1) Montrer que ∀n ∈ IN :
( 0≤ U_{n}≤ 7).
2) Etudier la monotonie de la suite (( U _{ n })).
Que peut – on en déduire?
3) On considère la suite (( V _{ n })) définie par ∀n ∈ IN ::
(V _{ n }= U _{ n }- 7)
a) Montrer que ∀n ∈ IN :
(( V _{ n })) est une suite géométrique de raison (frac{3}{4}).
b) Montrer que ∀n ∈ IN :
( U_{n}=7-5(frac{3}{4})^{n}).
c) Calculer (lim _{n ➝+∞} U_{n}).
4) Calculer en fonction de (n) la somme:
(S _{ n }= U _{0}+ U _{ 1 }+…+ U _{ n })
5) Déterminer la plus petit valeur de entier naturel (n) pour laquelle:
(| U _{ n }- 7 |≤ 1 0 ^{-3})
Exercice 3: (11 Pts)
Thème: Etude d’une fonction numérique
Partie1 :
On considère la fonction (g) deffinie sur (]0 ;+∞[.) par:
(g ( x )= e ^{ x }+ 2 operatorname { l n } boldsymbol { x }).
1) Calculer:
(lim _{x ➝+∞} g(x)) et (lim _{x ➝ 0^{+}} g(x)).
2) Etudier les variations de la fonction (.g _{text {sur }}] 0 ;+∞[)
puis dresser son tableau de variation.
3) Montrer que:
l’équation (g ( x )= 0) admet une solution unique (α)
dans l’intervalle (] frac{1}{3} ; frac{1}{2}[)
4) Donner le signe de (g ( x )) pour tout (x ∈] 0 ;+∞[).
Partie 2 :
Soit (f ) la fonction définie sur (R ^{+}) par:
(f ( 0 )= 1)
(f ( x )= e ^{x}+2 x ln ( x )-2 x )
Et soit (( C _{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(( o ; vec{i} ; vec{j})).
1) Montrer que:
la fonction (f) est continue a droite de (0).
2) a) Calculer: (lim _{x ➝+∞} f(x)) et (lim _{x ➝+∞} frac{f(x)}{x}),
puis déterminer la branche infinie de (( C _{f})) au voisinage de (+∞).
3) Etudier la dérivabilité de la fonction (f) a droite de (0);
puis interpréter graphiquement le résultat.
4) a) Montrer que ∀x ∈]0;+∞[ : (f ^{prime}(x)= g ( x ))
b) Donner le tableau de variation de la fonction.
5) Construire la courbe (( C _{ f })). (On prend (.α approx 0 ; 4 )).
6) Soit (h) la restriction de (f) à l’intervalle (I =] α ;+∞[)
a) Montrer que:
(h) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle (J) à déterminer.
b) Calculer: (( h ^{-1})^{prime}( e – 2 )(.) Remarquer que (h ^{- 1 }( e – 2 )= 1) ).
c) Construire dans le même repère (( o ; vec{i} ; vec{j})).
la courbe représentative de la fonction (h ^{- 1 }).
7) a) On pose:
(K =int_{1}^{2} xln (x) dx). A l’aide d’une intégration par parties;
démontrer que: (K =2 ln 2-frac{3}{2})
b) Calculer en (c m ^{2}) l’aire du domaine plan limité par (( C _{ f }));
l’axe des abscisses et les droites d’équations (x=1) et (x=2).
5) Construire la courbe (( C _{ f })). (On prend (.α approx 0 ; 4 )).
6) Soit (h) la restriction de (f) à l’intervalle (I =] α ;+∞[)
a) Montrer que:
(h) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle (J) à déterminer.
b) Calculer: (( h ^{-1})^{prime}( e – 2 )(.) Remarquer que (h ^{- 1 }( e – 2 )= 1) ).
c) Construire dans le même repère (( o ; vec{i} ; vec{j})).
la courbe représentative de la fonction (h ^{- 1 }).
7) a) On pose:
(K =int_{1}^{2} xln (x) dx). A l’aide d’une intégration par parties;
démontrer que: (K =2 ln 2-frac{3}{2})
b) Calculer en (c m ^{2}) l’aire du domaine plan limité par (( C _{ f }));
l’axe des abscisses et les droites d’équations (x=1) et (x=2).
5) Construire la courbe (( C _{ f })). (On prend (.α approx 0 ; 4 )).
6) Soit (h) la restriction de (f) à l’intervalle (I =] α ;+∞[)
a) Montrer que:
(h) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle (J) à déterminer.
b) Calculer: (( h ^{-1})^{prime}( e – 2 )(.) Remarquer que (h ^{- 1 }( e – 2 )= 1) ).
c) Construire dans le même repère (( o ; vec{i} ; vec{j})).
la courbe représentative de la fonction (h ^{- 1 }).
7) a) On pose:
(K =int_{1}^{2} xln (x) dx). A l’aide d’une intégration par parties;
démontrer que: (K =2 ln 2-frac{3}{2})
b) Calculer en (c m ^{2}) l’aire du domaine plan limité par (( C _{ f }));
l’axe des abscisses et les droites d’équations (x=1) et (x=2).
By. Prof Younes Baba