Exercice 1: (5 Pts)
Thème: Nombres complexes
I.
On considère dans \(C\) l’équation d’inconnue \(Z\) définie par
\(( E ): z ^{2}-2 z + 5 = 0\)
1) Vérifier que:
\(z _{1}= 1 -2 i\) est une solution de l’équation \(( E )\).
2) Déterminer :
\(Z _{2}\) la dewxième solution de l’équation \(( E )\).
3) Montrer que:
\(( z _{1}+ 1 )^{ 8 } ∈ R\).
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\(( O ; \vec { u } ; \vec{ v })\).
On considère les points \(A ; B\) et \(C\) d’affixes respectives :
\(z _{A}= 1 – 2 i ; z _{B}= 1 +2 i\) et \(z _{C}= 3\).
Et soit \(h\) l’homothétie de centre \(Ω ( \omega = 1 + i )\) et de rapport \(k = 2\).
1) a) Ecrire le nombre complexe \(\frac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}}\)
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle \(A B C\).
2) Soit \(D\) l’image du point \(C\) par l’homothétie \(h\).
Montrer que l’affixe du point \(D\) est \(z _{D}=5- i\)
3) Verifier que:
\(\frac{z_{D}-\omega}{z_{C}-\omega} ∈ R\) et interpréter ce résultat.
4) Déterminer l’ensemble des points \(M ( z )\) du plan complexe tel que:
\(|\overline{ z }- 1 + 2 i |= 3\)
Exercice 2: (4 Pts)
Thème: Suites numériques
Soit \(( U _{ n })\) la suite définie par:
\(U _{0}= 2\)
∀n ∈ IN : \( U _{ n + 1 }=\frac{3}{4} U _{ n }+\frac{7}{4}\)
1) Montrer que ∀n ∈ IN :
\( 0≤ U_{n}≤ 7\).
2) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{ n })\).
Que peut – on en déduire?
3) On considère la suite \(( V _{ n })\) définie par ∀n ∈ IN ::
\(V _{ n }= U _{ n }- 7\)
a) Montrer que ∀n ∈ IN :
\(( V _{ n })\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\).
b) Montrer que ∀n ∈ IN :
\( U_{n}=7-5(\frac{3}{4})^{n}\).
c) Calculer \(\lim _{n ➝+∞} U_{n}\).
4) Calculer en fonction de \(n\) la somme:
\(S _{ n }= U _{0}+ U _{ 1 }+…+ U _{ n }\)
5) Déterminer la plus petit valeur de entier naturel \(n\) pour laquelle:
\(| U _{ n }- 7 |≤ 1 0 ^{-3}\)
Exercice 3: (11 Pts)
Thème: Etude d’une fonction numérique
Partie1 :
On considère la fonction \(g\) deffinie sur \(]0 ;+∞[.\) par:
\(g ( x )= e ^{ x }+ 2 \operatorname { l n } \boldsymbol { x }\).
1) Calculer:
\(\lim _{x ➝+∞} g(x)\) et \(\lim _{x ➝ 0^{+}} g(x)\).
2) Etudier les variations de la fonction \(.g _{\text {sur }}] 0 ;+∞[\)
puis dresser son tableau de variation.
3) Montrer que:
l’équation \(g ( x )= 0\) admet une solution unique \(α\)
dans l’intervalle \(] \frac{1}{3} ; \frac{1}{2}[\)
4) Donner le signe de \(g ( x )\) pour tout \(x ∈] 0 ;+∞[\).
Partie 2 :
Soit \(f \) la fonction définie sur \(R ^{+}\) par:
\(f ( 0 )= 1\)
\(f ( x )= e ^{x}+2 x \ln ( x )-2 x \)
Et soit \(( C _{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\).
1) Montrer que:
la fonction \(f\) est continue a droite de \(0\).
2) a) Calculer: \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}\),
puis déterminer la branche infinie de \(( C _{f})\) au voisinage de \(+∞\).
3) Etudier la dérivabilité de la fonction \(f\) a droite de \(0\);
puis interpréter graphiquement le résultat.
4) a) Montrer que ∀x ∈]0;+∞[ : \(f ^{\prime}(x)= g ( x )\)
b) Donner le tableau de variation de la fonction.
5) Construire la courbe \(( C _{ f })\). (On prend \(.α \approx 0 ; 4 )\).
6) Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I =] α ;+∞[\)
a) Montrer que:
\(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer: \(( h ^{-1})^{\prime}( e – 2 )(.\) Remarquer que \(h ^{- 1 }( e – 2 )= 1\) ).
c) Construire dans le même repère \(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\).
la courbe représentative de la fonction \(h ^{- 1 }\).
7) a) On pose:
\(K =\int_{1}^{2} xln (x) dx\). A l’aide d’une intégration par parties;
démontrer que: \(K =2 \ln 2-\frac{3}{2}\)
b) Calculer en \(c m ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \(( C _{ f })\);
l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
5) Construire la courbe \(( C _{ f })\). (On prend \(.α \approx 0 ; 4 )\).
6) Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I =] α ;+∞[\)
a) Montrer que:
\(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer: \(( h ^{-1})^{\prime}( e – 2 )(.\) Remarquer que \(h ^{- 1 }( e – 2 )= 1\) ).
c) Construire dans le même repère \(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\).
la courbe représentative de la fonction \(h ^{- 1 }\).
7) a) On pose:
\(K =\int_{1}^{2} xln (x) dx\). A l’aide d’une intégration par parties;
démontrer que: \(K =2 \ln 2-\frac{3}{2}\)
b) Calculer en \(c m ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \(( C _{ f })\);
l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
5) Construire la courbe \(( C _{ f })\). (On prend \(.α \approx 0 ; 4 )\).
6) Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I =] α ;+∞[\)
a) Montrer que:
\(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer: \(( h ^{-1})^{\prime}( e – 2 )(.\) Remarquer que \(h ^{- 1 }( e – 2 )= 1\) ).
c) Construire dans le même repère \(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\).
la courbe représentative de la fonction \(h ^{- 1 }\).
7) a) On pose:
\(K =\int_{1}^{2} xln (x) dx\). A l’aide d’une intégration par parties;
démontrer que: \(K =2 \ln 2-\frac{3}{2}\)
b) Calculer en \(c m ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \(( C _{ f })\);
l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
By. Prof Younes Baba