Exercice 1: (3 Pts)
I.
On considère dans (C) l’équation d’inconnue (Z) définie par:
(( E ): z^{2}-sqrt{3} z+1=0)
1) Résoudre dans (C) l’équation ((E)).
2) Déterminer une écriture exponentielle de chacune des solutions de l’équation ((E)).
3) Montrer que:
((z_{1}^{2021}+z_{2}^{2021}) ∈ IR)
II.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct (( O;vec{u};vec{v})).
On considère les points (A;B) et (bar{C}) d’affures respectives:
(z_{A}=frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i ;
z_{B}=frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2} i)
et (z_{C}=sqrt{3}).
Et soit (R) la Rotation de centre (A) et d’angle (frac{-2 pi}{3}).
1) a) Ecrire le nombre complexe (frac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}})
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle (ABC).
2) Soit (D) limage du point (B) par la rotation (R).
Montrer que l’affixe du point (D) est (z _{ D }=sqrt{ 3 }- i)
3) Déterminer la nature du quadrilatee (ABCD).
4) Déterminer les valeurs de l’entier naturel (n) pour que:
le nombre ((frac{z_{A}}{z_{B}})^{n}) soit un réel positif.
Exercice 2: (3 Pts)
Soit ((U_{n})) la suite définie par:
(U_{0}=2)
∀n∈N: (U_{n+1}=frac{3 U_{n}-1}{2 U_{n}}).
1) Montrer que ∀n∈IN:
(U_{n}>1).
2) a) Mantrer que ∀n∈IN:
(U_{n+1}-U_{n}=frac{(U_{n}-1)(1-2 U_{n})}{2 U_{n}}).
b) Etudier la monotonie de la suite (( U _{n})).
Que peut-on en déduire?
3) a) Montrer que ∀n∈IN :
( U_{n+1}-1<frac{1}{2}(U_{n}-1)).
b) En déduire que ∀n∈IN :
(U_{n}-1<(frac{1}{2})^{n}).
c) Déterminer la limite de la suite ((U_{n})).
4) On considère la suite ((V_{n})) définie par ∀n∈IN :
(V_{n}=frac{U_{n}-1}{2 U_{n}-1})
a) Montrer que:
(V_{n}) ) est une suite géométrique de raison (frac{1}{2})
b) Calculer (V_{n}) et (U_{n}) en fonction de (n).
4) Calculer en fonction de (n) la somme:
(S_{n}=frac{V_{0}-1}{U_{0}}+frac{V_{1}-1}{U_{1}}+…+frac{V_{n}-1}{U_{n}})
Exercice 3: (3 Pts)
partie 1 :
On considère la fonction (g) définie sur (] 0 ;+∞[.) par:
(g (x)=x^{2}-2+ln (x)).
1) Calculer les limites:
(lim _{x➝ 0^{+}} g(x)) et (lim _{x➝+∞} g(x)).
2) Etudier les variations de la fonction (g)
puis dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que l’équation (g ( x )= 0)
admet une solution unique (alpha) dans l’intervalle (]0;+∞[)
b) Montrer que (1<alpha<frac{3}{2});
puis déterminons un encadrement de (alpha) de longueur (25×1 0 ^{-2})
4) Déduire le signe de (g ( x )) sur chacun des intervalles (] 0 ; alpha ]) et ([ alpha ;+∞[.)
partie 2 :
Soit (f) la fonction définie sur (] 0 ;+∞[.) par:
(f(x)=x+frac{1}{x}-frac{ln (x)}{x})
soit (( C _{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (( o ; vec{i} ; vec{j})).
1) Calculer: (lim _{x➝ 0^{+}} f(x)),
et interpréter géométriquement ce résultat.
2) a) Vérifier que: (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞).
b) Montrer que la droite (( D )) d’équation (y = x) est une asymptote
à la courbe (( C _{ f })) au voisinage de (+∞).
c) Determiner la position relative de la droite ((D)) et la courbe (( C _{f})).
3) a) Montrer que ((∀x∈]0;+∞[) :
(f^{prime}(x)=frac{g(x)}{x^{2}}).
b) Dresser le tableau de variation de la fonction (f) sur l’intervalle (]0;+∞[).
4) Soit (h) la restriction de (f) à (I =[alpha,+∞[)
a) Montrer que:
(h) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle (J) à déterminer.
b) Montrer que:
(h^{-1}) est dérivable en (e) puis calculer (( h ^{-1})^{prime}(e) )
(remarquer que (h( e )= e ))
5) a- Vérifier que:
(f ( alpha )=2 alpha-frac{ 1 }{alpha})
b) Tracer dans le même repère les courbes (( C _{f}))
et (( C _{h^{-1}})). On prend (alpha approx 1,2) )
6) a) Vérifier que:
la fonction (x mapsto frac{1}{2} ln ^{2}(x)) est une fonction primitive
de la fonction (x mapsto frac{ln (x)}{x}) sur l’intervalle (]0;+∞[)
b) Calculer en (cm ^{2}) l’aire du domaine plan limité par (( C _{ f }) 😉
l’axe des abscisses et les droites d’équations (x=1) et (x=e).
By Prof. Youness BABA