Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 9

Exercice 1: (3 Pts)

I.
On considère dans $C$ l’équation d’inconnue $Z$ définie par:
$(E):z^2-\sqrt{3}z+1=0$
1) Résoudre dans $C$ l’équation $(E)$.
2) Déterminer une écriture exponentielle de chacune des solutions de l’équation $(E)$.
3) Montrer que:
$(z_1^{2021}+z_2^{2021})\in IR$
II.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
On considère les points $A;B$ et $\overline{C}$ d’affures respectives:
$z_A=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i;z_B=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$
et $z_C=\sqrt{3}$.
Et soit $R$ la Rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{-2\pi }{3}$.
1) a) Ecrire le nombre complexe $\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle $ABC$.
2) Soit $D$ limage du point $B$ par la rotation $R$.
Montrer que l’affixe du point $D$ est $z_D=\sqrt{3}-i$
3) Déterminer la nature du quadrilatee $ABCD$.
4) Déterminer les valeurs de l’entier naturel $n$ pour que:
le nombre $(\frac{z_A}{z_B}{)}^n$ soit un réel positif.

Exercice 2: (3 Pts)

Soit $(U_n)$ la suite définie par:
$U_0=2$
∀n∈N: $U_{n+1}=\frac{3U_n-1}{2U_n}$.
1) Montrer que ∀n∈IN:
$U_n>1$.
2) a) Mantrer que ∀n∈IN:
$U_{n+1}-U_n=\frac{(U_n-1)(1-2U_n)}{2U_n}$.
b) Etudier la monotonie de la suite $(U_n)$.
Que peut-on en déduire?
3) a) Montrer que ∀n∈IN :
$U_{n+1}-1<\frac{1}{2}(U_n-1)$.
b) En déduire que ∀n∈IN :
$U_n-1<(\frac{1}{2}{)}^n$.
c) Déterminer la limite de la suite $(U_n)$.
4) On considère la suite $(V_n)$ définie par ∀n∈IN :
$V_n=\frac{U_n-1}{2U_n-1}$
a) Montrer que:
$V_n$ ) est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
b) Calculer $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$.
4) Calculer en fonction de $n$ la somme:
$S_n=\frac{V_0-1}{U_0}+\frac{V_1-1}{U_1}+\dots +\frac{V_n-1}{U_n}$

Exercice 3: (3 Pts)

partie 1 :
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [.$ par:
$g(x)=x^2-2+\ln (x)$.
1) Calculer les limites:
$\underset{x➝0^{+}}{lim}g(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}g(x)$.
2) Etudier les variations de la fonction $g$
puis dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que l’équation $g(x)=0$
admet une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $]0;+\infty [$
b) Montrer que $1<\alpha <\frac{3}{2}$;
puis déterminons un encadrement de $\alpha$ de longueur $25\times 10^{-2}$
4) Déduire le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]0;\alpha ]$ et $[\alpha ;+\infty [.$

partie 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [.$ par:
$f(x)=x+\frac{1}{x}-\frac{\ln (x)}{x}$
soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(o;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
1) Calculer: $\underset{x➝0^{+}}{lim}f(x)$,
et interpréter géométriquement ce résultat.
2) a) Vérifier que: $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=+\infty$.
b) Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x$ est une asymptote
à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
c) Determiner la position relative de la droite $(D)$ et la courbe $(C_f)$.
3) a) Montrer que $(\forall x\in ]0;+\infty [$ :
$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}$.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty [$.
4) Soit $h$ la restriction de $f$ à $I=[\alpha ,+\infty [$
a) Montrer que:
$h$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
b) Montrer que:
$h^{-1}$ est dérivable en $e$ puis calculer $(h^{-1}{)}^{\prime }(e)$
(remarquer que $h(e)=e)$
5) a- Vérifier que:
$f(\alpha )=2\alpha -\frac{1}{\alpha }$
b) Tracer dans le même repère les courbes $(C_f)$
et $(C_{h^{-1}})$. On prend $\alpha \approx 1,2$ )
6) a) Vérifier que:
la fonction $x\mapsto \frac{1}{2}{\ln }^2(x)$ est une fonction primitive
de la fonction $x\mapsto \frac{\ln (x)}{x}$ sur l’intervalle $]0;+\infty [$
b) Calculer en $c{m}^2$ l’aire du domaine plan limité par $(C_f);$
l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=e$.

By Prof. Youness BABA