Exercice 1: (4 Pts)
Soit ((U_{n_{n∈IN}})) la suite définie par :
(U_{0}=e^{π}+1)
∀n∈IN: (U_{n+1}=frac{(1+2 e^{π}) U_{n}-e^{2π}}{u_{n}+1})
1) Montrer que : (∀n∈I N ; U_{n} geq e^{pi}).
2) a- Montrer que ((U_{n})) est décroissante.
b- Déduire que : (e^{pi}≤ U_{n}≤ e^{pi}+1, ∀n∈I N).
c- Décrire que ((U_{n})) est convergente.
3) On considère la suite définie par : (V_{n}=frac{1}{v_{n}-e^{pi}}, n∈I N).
a- Montrer que:
((V_{n})_{n∈IN}) est une suite arithmétique de raison : (r=frac{1}{e^{n}+1}).
b- Déterminer:
((V_{n})_{n∈IN}) et ((U_{n})_{n∈IN}) en fonction de (n).
c- Vérifier: (lim _{n ➝+∞} U_{n}=e^{pi}).
4) On pose :
(S_{n}=sum_{w=n}^{n=n-1} V_{k}, T_{n}=prod_{k=0}^{w=n-1} e^{(V_{k}-1)(e^{pi}+1)})
a- Déterminer (S_{n}) et (T_{n}) en fonction de (n).
b- Calculer (lim _{n ➝+∞} T_{n}) et (lim _{n ➝+∞} S_{n}).
Exercice 2: (5 Pts)
Partie I
1) Résoudre dans (C)
((E_{1}): Z^{2}-sqrt{3} Z+1=0).
2) Résoudre dans (C)
((E_{2}): ((-i bar{Z}+sqrt{3})^{2}-sqrt{3}(-i bar{Z}+sqrt{3})+1=0.)
3) Mettre les solutions de ((E_{1})) sous la forme exponentielle
avec ((I_{m}(Z_{1})>0)).
4) On pose : (U=Z_{1}+i Z_{2})
a- Mettre U sous la forme algébrique.
b- Montrer que : (U=2 cos (frac{pi}{12}) e^{i frac{pi}{4}} 😉
puis déduire : (cos (frac{pi}{12})) et (sin (frac{pi}{12})).
c- Montrer que:
((frac{U}{|U|})^{2024}+(frac{U}{|U|})^{2024}=2).
Partie II
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
((o, vec{u}, vec{v}))
on considère les points : (A(1+i) ; B(1-i) ; C(2-2 i)).
1) a- Montrer que:
les points (A, B) et (C) appartient au cercle du centre (I(3))
et du rayon : (r=sqrt{5}).
b- Déduire la nature du triangle (ACI)
2) Soit (E(e)) l’image de (O)
par la translation de vecteur (2vec{IC}) déterminer (e.)
3) Soit (D(d)) l’image de (E(e)) par la relation de centre (O) est d’angle (theta=frac{pi}{2}).
a- Déterminer (d) puis montrer que ((AB) perp(CD)).
Exercice 3: (11 Pts)
Partie I
On note ((Cg)) la courbe représentative de la fonction
(g) définie sur: ([0,+∞[) par :
(g(0)=1)
(∀x>0:) (g(x)=ln(x²+1)+1)
1) Calculer:
(lim _{+∞} g(x) ; lim _{x➝+∞} frac{g(x)}{x})
Interpréter le résultat graphiquement.
2) Etudier la dérivabilité de (g) à droite de (x_{0}=0),
puis Interpréter le résultat graphiquement.
3) Soit (]0,+∞[.)
Calculer (g^{prime}(x));
puis Tracer le tableau de variation de (g).
4) Etudier la concavité de (g).
Partie II
On note (C f) la courbe représentative de la fonction (f) définie par:
(f(x)=ln (frac{x}{2}+frac{1}{2 x})+1)
1) a- Déterminer (D f).
b- Calculer :
(lim _{x➝+∞} f(x)) ; (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x})
puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
2) Calculer (lim _{x➝0^{+}} f(x)),
puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
3) a- Montrer que :
(∀x>0 ; f^{prime}(x)=frac{x^{2}-1}{x(x^{2}+1)}).
b- Tracer le tableau de variation de (f).
4) Déterminer l’équation de la tangente ((T)) au point (A(1,1)).
Partie III
On considère la fonction (h) définie sur (IR_{+}^{*}) par:
(h(x)=g(x)-f(x)).
1) a- Vérifier que :
(h(x)=ln (x)-ln (2), ∀x in]0,+∞[).
b- Montrer que
(h) admet une fonction réciproque (h^{-1})
définie sur (J) que l’on précisera.
c- Déduire (∃! α in]0,+∞[) tel que: (g(α)=f(α)),
et que : (α] e^{-1}, 1[)
d- Vérifier que: (α=frac{1}{2}),
puis étudier la position relative de (C f) et (Cg).
2) Construire (C) f et (C g)
tel que : (|vec{i}|=1 cm ;|vec{j}|=2 cm)
3) a- Calculer :
(l=int_{frac{1}{2}}^{frac{e}{2}} h(x) d x).
b- Déduire l’aire (A) de la partie délimitée par (C) f et (C g)
et (x=frac{1}{2}) et (x=frac{e}{2}).
Partie IV
On considère la suite définie par :
(left{begin{array}{l}U_{n+1}=f(U_{n}), n∈I N^{*} \ U_{1}=e .end{array}right.)
1) Montrer que : (∀n∈I N^{*} ; U_{n} geq 1)
2) On admet que : (∀x>1 ; f(x)<x),
montrer que ((U_{n})) est décroissante.
3) Justifier que ((U_{n})) est convergente,
puis déterminer sa limite.