Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 5

Exercice 1: (4 Pts)

Soit $(U_{n_{n \in I N}})$ la suite définie par :
$U_{0} = e^{π} + 1$
∀n∈IN: $U_{n + 1} = \frac{(1 + 2 e^{π}) U_{n} - e^{2 π}}{u_{n} + 1}$
1) Montrer que : $\forall n \in I N; U_{n} \geq e^{π}$ .
2) a- Montrer que $(U_{n})$ est décroissante.
b- Déduire que : $e^{π} \leq U_{n} \leq e^{π} + 1, \forall n \in I N$ .
c- Décrire que $(U_{n})$ est convergente.
3) On considère la suite définie par : $V_{n} = \frac{1}{v_{n} - e^{π}}, n \in I N$ .
a- Montrer que:
$(V_{n})_{n \in I N}$ est une suite arithmétique de raison : $r = \frac{1}{e^{n} + 1}$ .
b- Déterminer:
$(V_{n})_{n \in I N}$ et $(U_{n})_{n \in I N}$ en fonction de $n$ .
c- Vérifier: $lim_{n ➝ + \infty} U_{n} = e^{π}$ .
4) On pose :
$S_{n} = \sum_{w = n}^{n = n - 1} V_{k}, T_{n} = \prod_{k = 0}^{w = n - 1} e^{(V_{k} - 1) (e^{π} + 1)}$
a- Déterminer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$ .
b- Calculer $lim_{n ➝ + \infty} T_{n}$ et $lim_{n ➝ + \infty} S_{n}$ .

Exercice 2: (5 Pts)

Partie I

1) Résoudre dans $C$
$(E_{1}) : Z^{2} - \sqrt{3} Z + 1 = 0$ .
2) Résoudre dans $C$
$(E_{2}) : ((- i \bar{Z} + \sqrt{3})^{2} - \sqrt{3} (- i \bar{Z} + \sqrt{3}) + 1 = 0.$
3) Mettre les solutions de $(E_{1})$ sous la forme exponentielle
avec $(I_{m} (Z_{1}) > 0)$ .
4) On pose : $U = Z_{1} + i Z_{2}$
a- Mettre U sous la forme algébrique.
b- Montrer que : $U = 2 \cos (\frac{π}{12}) e^{i \frac{π}{4}};$
puis déduire : $\cos (\frac{π}{12})$ et $\sin (\frac{π}{12})$ .
c- Montrer que:
$(\frac{U}{| U |})^{2024} + (\frac{U}{| U |})^{2024} = 2$ .

Partie II

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
$(o, \vec{u}, \vec{v})$
on considère les points : $A (1 + i); B (1 - i); C (2 - 2 i)$ .
1) a- Montrer que:
les points $A, B$ et $C$ appartient au cercle du centre $I (3)$
et du rayon : $r = \sqrt{5}$ .
b- Déduire la nature du triangle $A C I$
2) Soit $E (e)$ l’image de $O$
par la translation de vecteur $2 \vec{I C}$ déterminer $e .$
3) Soit $D (d)$ l’image de $E (e)$ par la relation de centre $O$ est d’angle $θ = \frac{π}{2}$ .
a- Déterminer $d$ puis montrer que $(A B) ⊥ (C D)$ .

Exercice 3: (11 Pts)

Partie I

On note $(C g)$ la courbe représentative de la fonction
$g$ définie sur: $[0, + \infty [$ par :
$g (0) = 1$
$\forall x > 0 :$ $g (x) = l n (x ² + 1) + 1$
1) Calculer:
$lim_{+ \infty} g (x); lim_{x ➝ + \infty} \frac{g (x)}{x}$
Interpréter le résultat graphiquement.
2) Etudier la dérivabilité de $g$ à droite de $x_{0} = 0$ ,
puis Interpréter le résultat graphiquement.
3) Soit $] 0, + \infty [.$
Calculer $g^{'} (x)$ ;
puis Tracer le tableau de variation de $g$ .
4) Etudier la concavité de $g$ .

Partie II

On note $C f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie par:
$f (x) = \ln (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) + 1$
1) a- Déterminer $D f$ .
b- Calculer :
$lim_{x ➝ + \infty} f (x)$ ; $lim_{x ➝ + \infty} \frac{f (x)}{x}$
puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
2) Calculer $lim_{x ➝ 0^{+}} f (x)$ ,
puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
3) a- Montrer que :
$\forall x > 0; f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 1}{x (x^{2} + 1)}$ .
b- Tracer le tableau de variation de $f$ .
4) Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ au point $A (1, 1)$ .

Partie III

On considère la fonction $h$ définie sur $I R_{+}^{*}$ par:
$h (x) = g (x) - f (x)$ .
1) a- Vérifier que :
$h (x) = \ln (x) - \ln (2), \forall x \in] 0, + \infty [$ .
b- Montrer que \
(h\) admet une fonction réciproque $h^{- 1}$
définie sur $J$ que l’on précisera.
c- Déduire $\exists! α \in] 0, + \infty [$ tel que: $g (α) = f (α)$ ,
et que : $α] e^{- 1}, 1 [$
d- Vérifier que: $α = \frac{1}{2}$ ,
puis étudier la position relative de $C f$ et $C g$ .
2) Construire $C$ f et $C g$
tel que : $‖ \vec{i} ‖ = 1 c m; ‖ \vec{j} ‖ = 2 c m$
3) a- Calculer :
$l = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{e}{2}} h (x) d x$ .
b- Déduire l’aire $A$ de la partie délimitée par $C$ f et $C g$
et $x = \frac{1}{2}$ et $x = \frac{e}{2}$ .

Partie IV

On considère la suite définie par :
${\begin{cases} U_{n + 1} = f (U_{n}), n \in I N^{*} \\ U_{1} = e . \end{cases}$
1) Montrer que : $\forall n \in I N^{*}; U_{n} \geq 1$
2) On admet que : $\forall x > 1; f (x) < x$ ,
montrer que $(U_{n})$ est décroissante.
3) Justifier que $(U_{n})$ est convergente,
puis déterminer sa limite.

Exercice 1: (4 Pts)

Exercice 2: (5 Pts)

Partie I

Partie II

Exercice 3: (11 Pts)

Partie I

Partie II

Partie III

Partie IV

Examen National Math Bac 2 Science Physique Bac Blan 2021: