Exercice 1: (4 Pts)
Soit \((U_{n_{n∈IN}})\) la suite définie par :
\(U_{0}=e^{π}+1\)
∀n∈IN: \(U_{n+1}=\frac{(1+2 e^{π}) U_{n}-e^{2π}}{u_{n}+1}\)
1) Montrer que : \(∀n∈I N ; U_{n} \geq e^{\pi}\).
2) a- Montrer que \((U_{n})\) est décroissante.
b- Déduire que : \(e^{\pi}≤ U_{n}≤ e^{\pi}+1, ∀n∈I N\).
c- Décrire que \((U_{n})\) est convergente.
3) On considère la suite définie par : \(V_{n}=\frac{1}{v_{n}-e^{\pi}}, n∈I N\).
a- Montrer que:
\((V_{n})_{n∈IN}\) est une suite arithmétique de raison : \(r=\frac{1}{e^{n}+1}\).
b- Déterminer:
\((V_{n})_{n∈IN}\) et \((U_{n})_{n∈IN}\) en fonction de \(n\).
c- Vérifier: \(\lim _{n ➝+∞} U_{n}=e^{\pi}\).
4) On pose :
\(S_{n}=\sum_{w=n}^{n=n-1} V_{k}, T_{n}=\prod_{k=0}^{w=n-1} e^{(V_{k}-1)(e^{\pi}+1)}\)
a- Déterminer \(S_{n}\) et \(T_{n}\) en fonction de \(n\).
b- Calculer \(\lim _{n ➝+∞} T_{n}\) et \(\lim _{n ➝+∞} S_{n}\).
Exercice 2: (5 Pts)
Partie I
1) Résoudre dans \(C\)
\((E_{1}): Z^{2}-\sqrt{3} Z+1=0\).
2) Résoudre dans \(C\)
\((E_{2}): ((-i \bar{Z}+\sqrt{3})^{2}-\sqrt{3}(-i \bar{Z}+\sqrt{3})+1=0.\)
3) Mettre les solutions de \((E_{1})\) sous la forme exponentielle
avec \((I_{m}(Z_{1})>0)\).
4) On pose : \(U=Z_{1}+i Z_{2}\)
a- Mettre U sous la forme algébrique.
b- Montrer que : \(U=2 \cos (\frac{\pi}{12}) e^{i \frac{\pi}{4}} ;\)
puis déduire : \(\cos (\frac{\pi}{12})\) et \(\sin (\frac{\pi}{12})\).
c- Montrer que:
\((\frac{U}{|U|})^{2024}+(\frac{U}{|U|})^{2024}=2\).
Partie II
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
\((o, \vec{u}, \vec{v})\)
on considère les points : \(A(1+i) ; B(1-i) ; C(2-2 i)\).
1) a- Montrer que:
les points \(A, B\) et \(C\) appartient au cercle du centre \(I(3)\)
et du rayon : \(r=\sqrt{5}\).
b- Déduire la nature du triangle \(ACI\)
2) Soit \(E(e)\) l’image de \(O\)
par la translation de vecteur \(2\vec{IC}\) déterminer \(e.\)
3) Soit \(D(d)\) l’image de \(E(e)\) par la relation de centre \(O\) est d’angle \(\theta=\frac{\pi}{2}\).
a- Déterminer \(d\) puis montrer que \((AB) \perp(CD)\).
Exercice 3: (11 Pts)
Partie I
On note \((Cg)\) la courbe représentative de la fonction
\(g\) définie sur: \([0,+∞[\) par :
\(g(0)=1\)
\(∀x>0:\) \(g(x)=ln(x²+1)+1\)
1) Calculer:
\(\lim _{+∞} g(x) ; \lim _{x➝+∞} \frac{g(x)}{x}\)
Interpréter le résultat graphiquement.
2) Etudier la dérivabilité de \(g\) à droite de \(x_{0}=0\),
puis Interpréter le résultat graphiquement.
3) Soit \(]0,+∞[.\)
Calculer \(g^{\prime}(x)\);
puis Tracer le tableau de variation de \(g\).
4) Etudier la concavité de \(g\).
Partie II
On note \(C f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=\ln (\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x})+1\)
1) a- Déterminer \(D f\).
b- Calculer :
\(\lim _{x➝+∞} f(x)\) ; \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
2) Calculer \(\lim _{x➝0^{+}} f(x)\),
puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.
3) a- Montrer que :
\(∀x>0 ; f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-1}{x(x^{2}+1)}\).
b- Tracer le tableau de variation de \(f\).
4) Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) au point \(A(1,1)\).
Partie III
On considère la fonction \(h\) définie sur \(IR_{+}^{*}\) par:
\(h(x)=g(x)-f(x)\).
1) a- Vérifier que :
\(h(x)=\ln (x)-\ln (2), ∀x \in]0,+∞[\).
b- Montrer que \
(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\)
définie sur \(J\) que l’on précisera.
c- Déduire \(∃! α \in]0,+∞[\) tel que: \(g(α)=f(α)\),
et que : \(α] e^{-1}, 1[\)
d- Vérifier que: \(α=\frac{1}{2}\),
puis étudier la position relative de \(C f\) et \(Cg\).
2) Construire \(C\) f et \(C g\)
tel que : \(\|\vec{i}\|=1 cm ;\|\vec{j}\|=2 cm\)
3) a- Calculer :
\(l=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{e}{2}} h(x) d x\).
b- Déduire l’aire \(A\) de la partie délimitée par \(C\) f et \(C g\)
et \(x=\frac{1}{2}\) et \(x=\frac{e}{2}\).
Partie IV
On considère la suite définie par :
\(\left\{\begin{array}{l}U_{n+1}=f(U_{n}), n∈I N^{*} \\ U_{1}=e .\end{array}\right.\)
1) Montrer que : \(∀n∈I N^{*} ; U_{n} \geq 1\)
2) On admet que : \(∀x>1 ; f(x)<x\),
montrer que \((U_{n})\) est décroissante.
3) Justifier que \((U_{n})\) est convergente,
puis déterminer sa limite.