Exercice 1: (4 Pts)
Soit \((u_{n})_{n∈IN }\) la suite numérique définie par:\(u_{0}=4 \)
\(∀n∈IN ; u_{n+1}=\frac{5 u_{n}-4}{u_{n}+1}\)
1) a)- calculer \(u_{1}\).
b) Montrer par récurrence que: \((∀n∈IN ) ; u_{n}>2\).
2)- a)- Vérifier que : \((∀n∈IN ) ; u_{n+1}-u_{n}=\frac{-(u_{n}-2)^{2}}{u_{n}+1}\).
b)- En déduire la monotonie de \((u_{n})_{n∈IN }\),
puis justifier qu’elle est convergente.
3) On pose pour tout \(n∈IN : a_{n}=\frac{1}{u_{n}-2}\).
a) Montrer que la suite \((a_{n})_{n∈IN }\) est arithmétique de raison \(r=\frac{1}{3}\).
b) Exprimer \(a_{n}\) en fonction de \(n\),
puis en déduire que : \((∀n∈IN ) ; u_{n}=\frac{4 n+12}{2 n+3}\).
c) – Déterminer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\) en justifiant la réponse.
4)- On pose pour tout \(n∈IN : S_{n}=a_{0} u_{0}+a_{1} u_{1}+\ldots+a_{n} u_{n}\).
Montrer que: \(∀n∈IN: S_{n}=\frac{n^{2}+7 n+6}{3}\),
puis calculer \(\lim _{n➝+∞} \frac{\ln (S_{n})}{\ln n}\).
Exercice 2: (5 Pts)
I-
On considère dans l’ensemble \(C\) l’équation:
\((E): z^{2}-2(1-\sqrt{2}) z+2(2-\sqrt{2})=0\)
1) a)-Montrer que le discriminant de (E) est : \(\Delta=-4\).
b) En déduire les solutions \(z_{1}\) et \(z_{2} de (E)\)
tels que: \(Im(z_{1})<0\).
2)- a)- Calculer \(|z_{1}|\),
puis montrer que : \((1+i) \cdot z_{1}=-\sqrt{2}×\bar{z}_{1}\).
b)- Déduire \(z_{1}\) sous forme trigonométrique,
puis calculer \(\cos (\frac{11π}{8})\) et \(\sin (\frac{11π}{8})\).
II-
On considère les points E, F et G d’affixes respectifs:
\(z_{E}=1+i\), \(z_{F}=1-i\) et \(z_{G}=-i \sqrt{3}\)
1) Soit N l’image de F par l’homothétie h de centre G et de rapport 2 .
Montrer que l’affixe de N est: \(z_{N}=2+i(\sqrt{3}-2)\).
2) Soit r la rotation de centre O et d’angle \(\frac{π}{2} .\)
On pose: A=r(G) et C=r(N).
Montrer que: \(z_{A}=\sqrt{3}\) et \(z_{C}=2-\sqrt{3}+2 i\).
3) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\vec{w}(2 i) .\)
On pose : B=t(N) et D=t(G).
Montrer que: \(z_{B}=2+i \sqrt{3}\) et \(z_{D}=(2-\sqrt{3}) i\).
4) a)- Montrer que E est milieu de [AC] et de [BD].
Que peut-on déduire?
6)- Vérifier que : \(\frac{z_{C}-z_{E}}{z_{B}-z_{E}}=i\),
puis en déduire la nature du triangle BCE.
c)- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Justifier la réponse.
Exercice 3: (11 Pts)
I-
Soit \(g\) la fonction définie sur \(] 0 ;+∞[\) par :
\((∀x∈] 0 ;+∞[) ; g(x)=x-\frac{1}{x}-2 \ln x \)
1) a) Montrer que \(:(∀x∈] 0 ;+∞[) ; g^{\prime}(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}\).
b) En déduire la monotonie de g sur l’intervalle \(] 0 ;+∞[.\)
2) Calculer \(g(1)\),
puis justifier que:\(∀x∈] 0 ; 1]: g(x)≤ 0\)
et que \(∀x∈[1 ;+∞[: g(x) \geq 0\)
II-
On considère [a fonction f définie sur \(]0;+∞[\) par:
∀x∈] 0 ;+∞[ ; \(f(x)=x+\frac{1}{x}-(\ln x)^{2}-2\)
1)a) – Montrer que : \(\lim _{x➝+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\),
puis en déduire que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\).
b)- Calculer: \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\) et \(\lim _{x➝+∞} f(x)-x\),
puis en déduire que la courbe \((C_{f})\) admet au voisinage de \(+∞\)
une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) d’équation: y=x.
2)- a)- Vérifier que :
\((∀x∈] 0 ;+∞[) ; f(x)=\frac{x^{2}+1-4(\sqrt{x} \ln \sqrt{x})^{2}-2}{x}\).
b)- En déduire que: \(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)=+∞\)
et donner une interprétation géométrique de ce résultat.
3) a) Montrer que : \((∀x∈] 0 ;+∞[) ; f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x}\).
b)- Dresser le tableau de variation complet de \(f\) en justifiant la réponse.
4) a)Construire la courbe \((C_{f})\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
6) Montrer géométriquement que l’équation
\((E): \frac{1}{x}-(\ln x)^{2}-2=0\) admet une unique solution a dans \(] 0 ;+∞[.\)
5) Soit h la restriction de f a l’intervalle \([1 ;+∞[\).
a) Montrer que h admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur \([0 ;+∞[.\)
b) Construire la courbe \((C_{h^{-1}})\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
b)- a)- Montrer que la fonction \(K: x \mapsto x \ln x-x\) est une primitive
de la fonction \(k: x \mapsto \ln x\) sur \(] 0 ;+∞[\).
b) En déduire que \(:∈t_{1}^{e} \ln (x) d x=1\).
c) En utilisant une intégration par parties, calculer la surface délimitée par la courbe
\((C_{f})\), la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations: \(x=1\) et \(x=e .\)