Exercice 1: (4 Pts)
Soit ((u_{n})_{n∈IN }) la suite numérique définie par:
(u_{0}=4)
((∀n∈IN ) ; u_{n+1}=frac{5 u_{n}-4}{u_{n}+1})
1)- a)- (alculer u (_{1}).
6)- Montrer par récurrence que: ((∀n∈IN ) ; u_{n}>2).
2)- a)- Vérifier que :
((∀n∈IN ) ; u_{n+1}-u_{n}=frac{-(u_{n}-2)^{2}}{u_{n}+1}).
6)- En déduire la monotonie de ((u_{n})_{n∈IN }),
justifier qu’elle est convergente.
3) On pose pour tout n∈IN: ( a_{n}=frac{1}{u_{n}-2}).
a)- Montrer que:
la suite ((a_{n})_{n∈IN }) est arithmétique de raison (r=frac{1}{3}).
b)- Exprimer (a_{n}) en fonction de (n).
en déduire que ∀n∈IN:
(u_{n}=frac{4 n+12}{2 n+3}).
c)- Déterminer (lim _{n➝+∞} u_{n}) en justifiant la réponse.
4)- On pose pour tout n∈IN:
( S_{n}=a_{0} u_{0}+a_{1} u_{1}+…+a_{n} u_{n}).
Montrer que ∀n∈IN:
(S_{n}=frac{n^{2}+7 n+6}{3})
calculer (lim _{n➝+∞} frac{ln (S_{n})}{ln n}).
Exercice 2: (5 Pts)
I- On considère dans [ensemble (C) l’équation:
(E): (z^{2}-2(1-sqrt{2}) z+2(2-sqrt{2})=0)
1)- a)- Montrer que le discriminant de ((E)) est : (Delta=-4).
6) En déduire les solutions de (E) (z_{1}) et (z_{2})
tels que: (Im(z_{1})<0).
2)- a)- Calculer (|z_{1}|),
puis montrer que : ((1+i)z_{1}=-sqrt{2}×bar{z}_{1}).
6) -Déduire (z_{1}) sous forme trigonométrique,
puis calculer (cos (frac{11 pi}{8})) et (sin (frac{11 pi}{8})).
II- On considère les points (E), (F) et (G) d’affixes respectifs:
(z_{E}=1+i), (z_{F}=1-i) et (z_{G}=-i sqrt{3})
1) Soit (N) l’image de (F) par l’homothétie h de centre (G) et de rapport 2 .
V. Montrer que l’affixe de N est: (z_{N}=2+i(sqrt{3}-2)).
2) Soit (r) la rotation de centre Oet d’angle (frac{pi}{2} .)
On pose: (A=r(G)) et (C=r(N)).
Montrer que: (z_{A}=sqrt{3}) et (z_{C}=2-sqrt{3}+2 i .)
3) Soit (t) la translation de vecteur (vec{w}(2 i) .)
On pose: (B=t(N)) et (D=t(G)).
Montrer que: (z_{B}=2+i sqrt{3}) et (z_{D}=(2-sqrt{3}) i .)
4)-a) Montrer que E est milieu de ([AC]) et de ([BD]).
Que peut-on déduire?
6)- Vérifier que : (frac{z_{C}-z_{E}}{z_{B}-z_{E}}=i),
en déduire la nature du triangle (BCE).
c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
Exercice 3: (11 Pts)
I- Soit g la fonction définie sur (] 0 ;+∞[) par :
(∀x∈] 0 ;+∞[) ; (g(x)=x-frac{1}{x}-2ln x) .
1) a) Montrer que (∀x∈] 0 ;+∞[) :
(g^{prime}(x)=frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}).
b) En déduire la monotonie de g sur [intervalle (]0;+∞[).
2) Calculer (g(1)),
justifier que:
((∀x∈]0;1]) ; g(x)≤ 0) et que (∀x∈[1;+∞[ ; g(x) ≥ 0)
II- On considère la fonction f définie sur (]0;+∞[) par:
(∀x∈]0;+∞[) ; (f(x)=x+frac{1}{x}-(ln x)^{2}-2)
1) a) (-) Montrer que (: lim _{x ➝+∞} frac{(ln x)^{2}}{x}=0),
puis en déduire que: (lim _{x ➝+∞} f(x)=+∞).
b)- Calculer: (lim _{x ➝+∞} frac{f(x)}{x}) et (lim _{x ➝+∞} f(x)-x),
puis en déduire que la courbe ((C_{f}))
admet au voisinage de (+∞) une branche parabolique de direction la droite ((Delta))
d’équation: (y=x).
2)-a)- Vénfier que: ((∀x∈]0;+∞[); f(x)=frac{x^{2}+1-4(sqrt{x} ln sqrt{x})^{2}-2}{x}).
b) En déduire que: (lim_{x ➝ 0^{+}} f(x)=+∞)
et donner une interprétation géométrique de ce résultat.
3) a)Montrer que ∀x∈]0;+∞[: (f^{prime}(x)=frac{g(x)}{x}).
6)- Dresser le tableau de variation complet de (f) en justifiant la réponse.
4)- a) Construire la courbe ((C_{f})) dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
b) Montrer géométriquement que l’équation
((E): frac{1}{x}-(ln x)^{2}-2=0) admet une unique solution a dans (]0;+∞[.)
5)- Soit (h) la restriction de (f) a (l) intervalle ([1;+∞[.)
a) Montrer que h admet une fonction réciproque (h^{-1}) définie sur ([0 ;+∞[.)
b) Construire la courbe ((C_{h^{-1}})) dans le repère ((O, vec{i}, vec{j})).
6) a)Montrer que:
la fonction (K: x→x ln x-x) est une primitive de la fonction (k: x→ln x) sur (]0;+∞[)
b)- En déduire que : (int_{1}^{e} ln (x) dx=1).
c) En utilisant une intégration par parties,
calculer la surface délimitée par a courbe ((C_{f})),
la droite ((Delta)) et les droites d’équations: (x=1) et (x=e).