Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 6

Exercice 1: (5 Pts)

I.
On considère dans $C$ l’équation d’inconnue $z$ définie par:
$(E):4z^2-2z+1=0$
1) Résoudre dans $C$ l’équation $(E)$.
2) En déduire les solutions de l’équation:
$4(2iz+1+i\sqrt{3}{)}^2-2(2iz+1+i\sqrt{3})+1=0$

II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
On considère les points $A;B$ et $C$ d’affixes respectives:
$z_A=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2};z_B=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2};z_C=-1$,
1) a) Ecrire le nombre complexe $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle $ABC$.
2) Soit $D$ limage du point $C$ par la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{BA}$.
a) Montrer que:
l’affixe du point $D$ est $z_D=-1+i\sqrt{3}$
b) Montrer que:
les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

3) Soit $h$ la transformation du plan qui a tout point $M(z)$
associe le point $M^{\prime }(z^{\prime })$
tel que $z^{\prime }=2z-i\sqrt{3}$
a) Montrer que $h$ est homothermie
de centre $\Omega (\omega =i\sqrt{3})$ et de rapport $=2$.
b) Déterminer l’affixe du point $E$ limage du point $A$ par l’homothétie $h$.
4) Montrer que:
les points $A;B;C$ et $E$ appartiennent à un même cercle
dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 2: (4 Pts)

Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;1]$ par:
$f(x)=-x^2+2x$
1) Montrer que:
$f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $I$.
2) Déterminer $f(I)$.
3) Soit $(U_n)$ la suite définie par :
$U_0=\frac{3}{7}$
∀n ∈ IN : $U_{n+1}=f(U_n)$
a) Montrer que ∀n ∈ IN : 0<U_{n}<1\).
b) Etudier la monotonie de la suite $(U_n)$.
Que peut – on en déduire?
c) Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}{U}_n$.
4) On considère la suite $(V_n)$ indéfinie par ∀n ∈ IN :
$V_n=\ln (1-U_n)$
a) Montrer que:
$(V_n)$ est une suite géométrique de raison 2 .
b) Calculer $V_{n}en$ fonction de $n$;
puis déterminer la limite de la suite $(V_n)$

Exercice 3: (8,5 Pts)

Partie 1:
On considère la fonction $g$ définie sur $IR$ par:
$g(x)=(2x+3)e^{x+1}+1$
1) Calculer:
$\underset{x➝+\infty }{lim}g(x)$ et $\underset{x➝-\infty }{lim}g(x)$.
2) Etudier les variations de la fonction $g$ sur $IR$
puis dresser son tableau de variation.
3) En déduire que pour tout réel x :$g(x)>0$.

Partie 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $IR$ par:
$f(x)=x-3+(2x+1)e^{x+1}$.
Et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(o;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$
1) a) Vérifier que: $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)=+\infty$
b) Montrer que :
la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction
l’axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
2) a) Montrer que:
$\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)=-\infty$
b) Montrer que:
la $(D)$ d’équation $y=x-3$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$
au voisinage de $-\infty$.
c) Déterminer la position relative
de la droite $(D)$ et la courbe $(C_f)$.
3) a) Montrer que ∀x ∈ IR : $f^{\prime }(x)=g(x)$
b) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $R$.

4) Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$
dans l’intervalle $]0;\frac{1}{2}[$
5) Construire la courbe $(C_f)$.
6) a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que:
${\int }_0^1(2x+1)e^{x+1}dx=e^2+e$
b) Calculer en $c{m}^2$ l’aire du domaine plan limité par $(C_f)$;
l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.

Exercice 4: (2,5 Pts)

Soit $f$ la fonction définie sur $IR$ par:
$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$
1) Montrer que la fonction $f$ est impaire.
2) Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$;
puis déduire $\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$.
3) Etudier les variations de la fonction $f$ sur $IR$.
4) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $IR$.
5) Montrer que ∀x ∈ IR:
$f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

By Prof.Younes Baba