Exercice 1: (5 Pts)
I.
On considère dans \(C\) l’équation d’inconnue \(z\) définie par:
\(( E ): 4 z ^{2}-2 z +1=0\)
1) Résoudre dans \(C\) l’équation \((E)\).
2) En déduire les solutions de l’équation:
\(4(2 i z+1+i \sqrt{3})^{2}-2(2 i z+1+i \sqrt{3})+1=0\)
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\(( O ; \vec{ u } ; \vec{ v })\).
On considère les points \(A ; B\) et \(C\) d’affixes respectives:
\(z _{A}=\frac{ 1 }{2}+ i \frac{\sqrt{3}}{2} ; z_{B}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} ; z _{C}=- 1\),
1) a) Ecrire le nombre complexe \(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\)
sous forme trigonométrique.
b) En déduire la nature du triangle \(ABC\).
2) Soit \(D\) limage du point \(C\) par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{ BA }\).
a) Montrer que:
l’affixe du point \(D\) est \(z_{D}=-1+i \sqrt{3}\)
b) Montrer que:
les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires.
3) Soit \(h\) la transformation du plan qui a tout point \(M(z)\)
associe le point \(M'(z’)\)
tel que \(z’=2 z-i \sqrt{3}\)
a) Montrer que \(h\) est homothermie
de centre \(Ω(ω=i \sqrt{3})\) et de rapport \(=2\).
b) Déterminer l’affixe du point \(E\) limage du point \(A\) par l’homothétie \(h\).
4) Montrer que:
les points \(A; B; C\) et \(E\) appartiennent à un même cercle
dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2: (4 Pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I =[0;1]\) par:
\(f ( x )=- x^{2}+2x\)
1) Montrer que:
\(f\) est continue et strictement croissante sur l’intervalle \(I\).
2) Déterminer \(f (I)\).
3) Soit \((U_{n})\) la suite définie par :
\(U_{0}=\frac{3}{7}\)
∀n ∈ IN : \(U_{n+1}=f(U_{n})\)
a) Montrer que ∀n ∈ IN : 0<U_{n}<1\).
b) Etudier la monotonie de la suite \(( U _{ n })\).
Que peut – on en déduire?
c) Calculer \(\lim _{n➝+∞} U_{n}\).
4) On considère la suite \((V_{n})\) indéfinie par ∀n ∈ IN :
\(V_{n}=\ln(1-U_{n})\)
a) Montrer que:
\((V_{n})\) est une suite géométrique de raison 2 .
b) Calculer \(V_{n} e n\) fonction de \(n\);
puis déterminer la limite de la suite \((V_{n})\)
Exercice 3: (8,5 Pts)
Partie 1:
On considère la fonction \(g\) définie sur \(IR\) par:
\(g (x)=(2x+3) e^{x+1}+ 1\)
1) Calculer:
\(\lim _{x➝+∞} g(x)\) et \(\lim _{x➝-∞} g(x)\).
2) Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(IR\)
puis dresser son tableau de variation.
3) En déduire que pour tout réel x :\(g ( x )> 0\).
Partie 2 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(IR\) par:
\(f (x)=x-3+(2x+1 ) e ^{x+1}\).
Et soit \(( C _{f})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\(( o ; \vec{i} ; \vec{j})\)
1) a) Vérifier que: \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
b) Montrer que :
la courbe \(( C _{f})\) admet une branche parabolique de direction
l’axe des ordonnées au voisinage de \(+∞\).
2) a) Montrer que:
\(\lim _{x➝-∞} f(x)=-∞\)
b) Montrer que:
la \(( D )\) d’équation \(y = x -3\) est une asymptote à la courbe \(( C _{ f })\)
au voisinage de \(-∞\).
c) Déterminer la position relative
de la droite \(( D )\) et la courbe \(( C _{ f })\).
3) a) Montrer que ∀x ∈ IR : \(f^{\prime}( x )= g ( x )\)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(R\).
4) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(α\)
dans l’intervalle \(] 0 ; \frac{1}{2}[\)
5) Construire la courbe \((C_{f})\).
6) a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que:
\(\int_{0}^{1}(2 x+1) e^{x+1} d x=e^{2}+e\)
b) Calculer en \(c m ^{2}\) l’aire du domaine plan limité par \((C_{f})\);
l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x= 0\) et \(x= 1\).
Exercice 4: (2,5 Pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(IR\) par:
\(f ( x )=\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\)
1) Montrer que la fonction \(f\) est impaire.
2) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x)\);
puis déduire \(\lim _{x➝-∞} f(x)\).
3) Etudier les variations de la fonction \(f\) sur \(IR\).
4) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f ^{-1}\) définie sur \(IR\).
5) Montrer que ∀x ∈ IR:
\(f ^{-1}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)
By Prof.Younes Baba