Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 16

Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 7 Math math bac2 bac 2 math Sp Examen National Examen math science physique fonction complexes suite numérique équation différentielle

Exercice 1: (5 Pts)

Soit la suite numérique $(U_{n})_{n \geq 0}$ définie par :
$U_{0} = 4$
n∈IN: $U_{n + 1} = \frac{1}{2} U_{n} + 3$
1) Calculer $U_{1}, U_{2}$
2) Montrer par récurrence que ∀n ∈IN : $U_{n} \leq 6$
3) a) Montrer que ∀ n ∈IN ; $U_{n + 1} - U_{n} = \frac{6 - U_{n}}{2}$
b) En déduire la monotonie de la suite $(U_{n})$ .
c) La suite $(U_{n})$ est-elle convergente?
Justifier votre réponse
4) Soit $(V_{n})$ la suite définie par:
∀ n ∈IN: $V_{n} = U_{n} - 6$
a) Montrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique,
puis déterminer sa raison
b) Calculer $V_{n}$ et $U_{n}$ en fonction de n.
5) Calculer $lim_{n \to + \infty} U_{n}$ .
6) Calculer la somme $S_{n} = V_{0} + V_{1} + \dots + V_{n}$ en fonction de n.

Exercice 2: (3 Pts)

Soit h la fonction définie sur $] 0, + \infty [.$
par : $h (x) = \ln^{3} (x) + \ln (x) - 2$
1) Montrer que pour tout x de ] 0,+∞[: $h^{'} (x) = \frac{3 \ln^{2} (x) + 1}{x} .$
2) Calculer h(e), puis dresser le tableau
de variation de la fonction h
3) En déduire que $h (x) \leq 0$ sur $] 0, e]$
et $h (x) \geq 0$ sur $[e, + \infty [$

Exercice 3: (3 Pts)

Déterminer les primitives des fonctions suivantes:
1) $f (x) = \frac{\ln^{3} (x)}{x} + \frac{1}{x \ln (x)}$
2) $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1} + 3 x + 2$
3) $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 3}$
4) $f (x) = \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} - 4}}$

Exercice 4: (11 Pts)

Partie A:
On considère la fonction g définie par:
$g (x) = (x - 1) e^{x} + 1$
1 – Montrer que pour tout x de R:
$g^{'} (x) = x e^{x}$
2 – Calculer g(0), puis dresser le tableau
de variations de la fonction $g$ .
3 – En déduire que : $(\forall x \in R); g (x) \geq 0$
Partie B:
On considère la fonction f définie par:
$f (x) = (x - 2) (e^{x} + 1)$
et $(C_{f})$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$
1- a) Montrer que $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$
b) Montrer que pour tout $x$ de R ;
$f (x) - (x - 2) = x e^{x} - 2 e^{x}$ ,
c) En déduire que la droite (D) d’équation y=x-2 est une asymptote
oblique de la courbe $(C_{f})$ au voisinage de $- \infty$ .
d) Étudier la position relative de $(C_{f})$ et (D).
2-a) Calculer $lim_{x \to + \infty} f (x)$
b) Montrer que $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = + \infty$ ,
puis donner une interprétation géométrique

3-a) Montrer que pour tout x de R : $f^{'} (x) = g (x)$
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f
c) Montrer que l’équation de la tangent (T) de $(C_{f})$
au point d’abscisse 0 est y=-4
4 – Étudier la concavité de $(C_{f})$
et déterminer son point d’inflexion.
5- Dans la figure ci-dessous $(C_{f})$ la courbe
représentative de la fonction f et (D) la droite d’équation y=x-2 dans le
repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
(voir l’annexe $n^{\circ} 1$ )
a) Résoudre graphiquement sur R l’inéquation suivante: $f (x) \leq x - 2$
b) Déterminer graphiquement sur R le nombre de
solutions de l’équation $f (x) = 1$