Exercice 1: (5 Pts)
Soit la suite numérique \((U_{n})_{n ≥ 0}\) définie par :
\(U_{0}=4\)
n∈IN: \(U_{n+1}=\frac{1}{2} U_{n}+3\)
1) Calculer \(U_{1}, U_{2}\)
2) Montrer par récurrence que ∀n ∈IN : \(U_{n}≤ 6\)
3) a) Montrer que ∀ n ∈IN ; \(U_{n+1}-U_{n}=\frac{6-U_{n}}{2}\)
b) En déduire la monotonie de la suite \((U_{n})\).
c) La suite \((U_{n})\) est-elle convergente?
Justifier votre réponse
4) Soit \((V_{n})\) la suite définie par:
∀ n ∈IN: \(V_{n}=U_{n}-6\)
a) Montrer que \((V_{n})\) est une suite géométrique,
puis déterminer sa raison
b) Calculer \(V_{n}\) et \(U_{n}\) en fonction de n.
5) Calculer \(\lim _{n →+∞} U_{n}\).
6) Calculer la somme \(S_{n}=V_{0}+V_{1}+…+V_{n}\) en fonction de n.
Exercice 2: (3 Pts)
Soit h la fonction définie sur \(] 0,+∞[.\)
par : \(h(x)=\ln ^{3}(x)+\ln (x)-2\)
1) Montrer que pour tout x de ] 0,+∞[: \( h^{\prime}(x)=\frac{3 \ln ^{2}(x)+1}{x}.\)
2) Calculer h(e), puis dresser le tableau
de variation de la fonction h
3) En déduire que \(h(x)≤ 0\) sur \(]0, e]\)
et \(h(x) ≥ 0\) sur \([e,+∞[\)
Exercice 3: (3 Pts)
Déterminer les primitives des fonctions suivantes:
1) \(f(x)=\frac{\ln ^{3}(x)}{x}+\frac{1}{x \ln (x)}\)
2) \(f(x)=x^{2} e^{x^{3}+1}+3 x+2\)
3) \(f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+2 x+3}\)
4) \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{3 x^{2}-4}}\)
Exercice 4: (11 Pts)
Partie A:
On considère la fonction g définie par:
\(g(x)=(x-1) e^{x}+1\)
1 – Montrer que pour tout x de R:
\(g^{\prime}(x)=x e^{x}\)
2 – Calculer g(0), puis dresser le tableau
de variations de la fonction \(g\).
3 – En déduire que : \((∀ x ∈ R ) ; g(x) ≥ 0\)
Partie B:
On considère la fonction f définie par:
\(f(x)=(x-2)(e^{x}+1)\)
et \(( C _{f})\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1- a) Montrer que \(\lim _{x →-∞} f(x)=-∞\)
b) Montrer que pour tout \(x\) de R ;
\(f(x)-(x-2)=x e^{x}-2 e^{x}\) ,
c) En déduire que la droite (D) d’équation y=x-2 est une asymptote
oblique de la courbe \(( C _{f})\) au voisinage de \(-∞\).
d) Étudier la position relative de \(( C _{f})\) et (D).
2-a) Calculer \(\lim _{x →+∞} f(x)\)
b) Montrer que \(\lim _{x →+∞} \frac{f(x)}{x}=+∞\),
puis donner une interprétation géométrique
3-a) Montrer que pour tout x de R : \(f^{\prime}(x)=g(x)\)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f
c) Montrer que l’équation de la tangent (T) de \(( C _{f})\)
au point d’abscisse 0 est y=-4
4 – Étudier la concavité de \(( C _{f})\)
et déterminer son point d’inflexion.
5- Dans la figure ci-dessous \(( C _{f})\) la courbe
représentative de la fonction f et (D) la droite d’équation y=x-2 dans le
repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
(voir l’annexe \(n ^{\circ} 1\) )
a) Résoudre graphiquement sur R l’inéquation suivante: \(f(x)≤ x-2\)
b) Déterminer graphiquement sur R le nombre de
solutions de l’équation \(f(x)=1\)
