Exercice 1: (3 Pts)
1)- Résoudre dans l’ensemble, l’équation: \((E): z^{2}-4 z+13=0\).
2)- Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, \(\vec{u}, \vec{v})\),
On Considère les points A, B et C d’affixes: \(z_{A}=i, z_{B}=2+3 i\) et \(z_{C}=2-3 i .\)
a) Soit r la rotation de centre B et d’angle \(\frac{π}{4}\),
On pose \(A^{\prime}=r(A)\).
Montrer que: \(z_{A^{\prime}}=-2 i \sqrt{2}\).
b) Ecrire sous forme algébrique \(\frac{z_{A^{\prime}}-z_{B}}{z_{C}-z_{B}}\),
les points \(A\), B et \(C\) sont-ils alignés?
c) Donner l’écriture complexe de l’homothétie r de centre B tels que A’=h(C).
Exercice 2: (17 Pts)
I- Soit \(g\) la fonction définie sur \(R ^{*+}\) par:
\((∀x ∈ R ^{*+}) ; g(x)=1+x \ln x\)
1) Montrer que : \((∀x ∈ R ^{*+}) ; g^{\prime}(x)=1+\ln x\).
2)- Dresser le tableau de variation de g en justifiant votre réponse.
3) Justifier que : \((∀x ∈ R ^{*+}) ; g(x)>0\).
4) Montrer que : \((∀x ∈ R ^{*+}) ;(x-1) \ln x ≥ 0\)
(On pourra étudier deux cas).
II- On considère [a fonction \(f\) définie par.
\(f(x)=(\ln x)^{2}+\frac{\ln x}{x}+1\)
1) a) Déterminer \(D_{f}\),
puis calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\).
b) Montrer que \(\lim _{x ➝0^{+}} f(x)=-∞\),
puis interpréter géométriquement ce résultat.
2) a) Montrer que: \((∀x ∈ R ^{*+}) ; f^{\prime}(x)=\frac{(x-1) \ln x+g(x)}{x^{2}}\).
b) Ecrire l’équation de la tangente \((Δ)\) à \((C_{f})\)
au point d’abscisse \(x_{0}=1\).
c) Montrer que f est strictement croissante sur \(R ^{*+}\),
puis dresser son tableau de variation complet.
3)- a)- Montrer que: \(\lim _{x ➝+∞} \frac{(\ln x)^{2}}{x}=0\)
(On pourra poser \(t=\sqrt{x}\) ).
b) En déduire que: \(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}=0\),
puis déterminer la nature de la 6 ranche Infini de \((C_{f})\)
au voisinage de \(+∞\).
4) a) Montrer que l’équation \(f(x)=0\),
admet une solution unique \(\alpha\) dans \(R ^{*+}\)
Et que \(\frac{1}{4}<\alpha<\frac{3}{4}\).
b) Construire la tangente \((Δ)\) et \((C_{f})\)
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
5)a)- Montrer que f admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) sur \(R\).
b)- Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(b=1\) et que \(:(f^{-1})^{\prime}(1)=1\).
c) Construire [a courbe \((C_{f^{-1}})\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
6)- a) Calculer \(I=\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x\).
6) En utilisant une intégration par parties,
montrer que: \(\int_{1}^{e}(\ln x)^{2} d x=e-2\).
c) En déduire en \(cm ^{2}\) c’aire du domaine délimité
par la courbe \((C_{f})\) l’axe \((O x)\) Les droites d’équations: \(x=1\) et \(x=e\).
7) Graphiquement justifier que \((∀x ∈ R ^{*+}) ; f(x)≤ x\)
et que l’équation \(f(x)=x\)
Admet une solution unique que l’on déterminera.
III- On considère la suite \((u_{n})_{n ∈ IN }\) définie par:
\(u_{0}=2\)
∀n ∈ IN: \(u_{n+1}=f(u_{n})\)
1) Montrer par récurrence que: \((∀n ∈ IN ) ; u_{n} ≥ 1\).
2)- Montrer que \((u_{n})_{n ∈ IN }\) est décroissante,
puis en déduire qu’elle est convergente.
3) – Calculer \(\lim _{n ➝+∞} u_{n}\) en justifiant votre réponse.