Exercice 1: (3 Pts)
On considère la suite numérique \((u_{n})_{n∈IN}\) définie par :
\(u_{0}=\frac{3}{2}\)
et pour tout n∈N : \( u_{n+1}=\frac{6 u_{n}-2}{u_{n}-3}\)
1) Montrer par récurrence que:
\(∀n∈IN ; \frac{3}{2}≤ u_{n}≤ 2\).
2) a) Vérifie que pour tout entier n∈IN:
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{(u_{n}-1)(2-u_{n})}{u_{n}+3}\)
b) Montrer que:
\((u_{n})_{n∈IN}\) est une suite croissante.
3) En déduire que:
la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est convergente.
4) a) Montrer que pour tout entier naturel n:
\(0≤ 2-u_{n+1}≤ \frac{1}{9}(2-u_{n})\)
b) Montrer que pour tout entier naturel n:
\(0≤ 2-u_{n}≤ \frac{1}{2}(\frac{8}{9})^{n}\)
c) Calculer la limite de la suite \((u_{n})\)
Exercice 2: (4 Pts)
1) Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation suivante:
\(2 z^{2}+6 z+17=0\).
2) On considère dans le plan complexe rapporté à
un repère orthonormé \((0 ; \vec{u} ; \vec{v})\).
les points \(A, B, C\) et \(D\) d’affixes respectives:
\(a=-4 ; b=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2} i ; c=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2} i ;\)
a) Montrer que \(\frac{b-a}{c-a}=-i\)
b) En déduire la nature du triangle \(ABC\).
c) Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
3) Soit \(M'(z’)\) l’image du point \(M(z)\)
par la transformation \(T\) tel que :\(z’=-i z+1-4 t\)
a) Quelle est la nature de la transformation \(T\).
(déterminer ses éléments caractéristiques)
b) Déterminer \(d\) l’affixe du point \(D\) image du point A
par la transformation T.
5) Déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixes \(z\) tels que:
\(|2 z+3+5 i|=|-8+2 z|\)
Exercice 3: (3 Pts)
Soit \(f\) une fonction définie par:
\(f ( x )=2 \ln ( x +1)-\frac{x^{2}+2}{x+1}\)
1) Déterminer \(D_{f}\) le domine de définition de \(f\).
2) Calculer les limites:
\(\lim _{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝(-1)+} f(x)\)
3) Etudier les variations de la fonction \(f\) sur \(D_{f}\)
puis dresser le tableau de variations de \(f\).
4) Etudier la branche infinie de la courbe \(C _{f}\) au voisinage de \(+∞\)
5) Tracer la courbe \(( C _{f})\) dans un repère orthonormé.
Exercice 4: (10 Pts)
Partie I
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(R\) par :
\(g(x)=1-x e^{1-x}\)
Le tableau ci-contre est le tableau de variation
de la fonction \(g\)
1) Vérifie que \(g(1)=0\).
2) Déterminer le signe de \(g(x)\) sur chacun des intervalles:
\(]-∞;1]\) et \([1;+∞[.\)
Partie II
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(R\) par :
\(f(x)=x-3+(x+1) e^{1-x}\)
1) Montrer que \(\lim{x➝+∞} f(x)=+∞\)
2) Montrer que \(\lim{x ➝+∞} (f(x)-(x-3))=0\)
et interpréter le résultat géométriquement.
3) Montrer que \(\lim _{x ➝-∞}(f(x)-(x-3))=-∞\)
et interpréter le résultat géométriquement.
4) Étudier la position relative de la courbe \((C_{f})\)
par rapport a la droite \((D)\) d’équation \(y=x-3\)
5) Montrer que pour tout \(x∈R ; f'(x)=g(x)\)
6) Calculer \(g'(1)\) puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
7) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(R\)
8) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
pour tout \(x\) appartenant a \(R\).
9) Étudier la position relative de la courbe \((C_{f})\)
par rapport à la droite \((D)\).
10) Montrer que:
la courbe \((C_{f})\) admet un point d’inflexion unique de coordonnées \((1;0)\)
11) Soit \(h\) la restriction de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I=]-∞;1]\)
a) Montrer que:
la fonction \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie
sur l’intervalle \(J\) à déterminer.
b) Vérifier que \(h(0)=e-3\)
puis en déduire que \((h^{-1})'(e-3)=0\)
12) Construire la droite (D) et la courbe \((C_{f})\)
dans le même repère \(( O , \vec{i}, \vec{j})\).
Partie III
1) A l’aide d’une intégration par parties montrer que:
\(\int_{0}^{1}(x+1) e^{1-x} d x=2 e-3\)
2) Calculer en \(cm ^{2}\) Paire du domine plan limité par
\((C_{f})\) et la droite \((D)\) et les droites des d’équation \(x=0\) et \(x=1\).