Examen National Math Bac 2 Science Physique 2021 bac Blanc 04

Exercice 1: (3 Pts)

On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\in IN}$ définie par :
$u_0=\frac{3}{2}$
et pour tout n∈N : $u_{n+1}=\frac{6u_n-2}{u_n-3}$
1) Montrer par récurrence que:
$\forall n\in IN;\frac{3}{2}\le u_n\le 2$.
2) a) Vérifie que pour tout entier n∈IN:
$u_{n+1}-u_n=\frac{(u_n-1)(2-u_n)}{u_n+3}$
b) Montrer que:
$(u_n{)}_{n\in IN}$ est une suite croissante.
3) En déduire que:
la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ est convergente.
4) a) Montrer que pour tout entier naturel n:
$0\le 2-u_{n+1}\le \frac{1}{9}(2-u_n)$
b) Montrer que pour tout entier naturel n:
$0\le 2-u_n\le \frac{1}{2}(\frac{8}{9}{)}^n$
c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$

Exercice 2: (4 Pts)

1) Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation suivante:
$2z^2+6z+17=0$.
2) On considère dans le plan complexe rapporté à
un repère orthonormé $(0;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$.
les points $A,B,C$ et $D$ d’affixes respectives:
$a=-4;b=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i;c=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i;$
a) Montrer que $\frac{b-a}{c-a}=-i$
b) En déduire la nature du triangle $ABC$.
c) Calculer l’aire du triangle $ABC$.
3) Soit $M^{\prime }(z^{\prime })$ l’image du point $M(z)$
par la transformation $T$ tel que :$z^{\prime }=-iz+1-4t$
a) Quelle est la nature de la transformation $T$.
(déterminer ses éléments caractéristiques)
b) Déterminer $d$ l’affixe du point $D$ image du point A
par la transformation T.
5) Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que:
$|2z+3+5i|=|-8+2z|$

Exercice 3: (3 Pts)

Soit $f$ une fonction définie par:
$f(x)=2\ln (x+1)-\frac{x^2+2}{x+1}$
1) Déterminer $D_f$ le domine de définition de $f$.
2) Calculer les limites:
$\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$ et $\underset{x➝(-1)+}{lim}f(x)$
3) Etudier les variations de la fonction $f$ sur $D_f$
puis dresser le tableau de variations de $f$.
4) Etudier la branche infinie de la courbe $C_f$ au voisinage de $+\infty$
5) Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé.

Exercice 4: (10 Pts)

Partie I
Soit $g$ la fonction numérique définie sur $R$ par :
$g(x)=1-x{e}^{1-x}$
Le tableau ci-contre est le tableau de variation
de la fonction $g$

1) Vérifie que $g(1)=0$.
2) Déterminer le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles:
$]-\infty ;1]$ et $[1;+\infty [.$

Partie II
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $R$ par :
$f(x)=x-3+(x+1)e^{1-x}$
1) Montrer que $limx➝+\infty f(x)=+\infty$
2) Montrer que $limx➝+\infty (f(x)-(x-3))=0$
et interpréter le résultat géométriquement.
3) Montrer que $\underset{x➝-\infty }{lim}(f(x)-(x-3))=-\infty$
et interpréter le résultat géométriquement.
4) Étudier la position relative de la courbe $(C_f)$
par rapport a la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$
5) Montrer que pour tout $x\in R;f^{\prime }(x)=g(x)$
6) Calculer $g^{\prime }(1)$ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
7) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $R$

8) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
pour tout $x$ appartenant a $R$.
9) Étudier la position relative de la courbe $(C_f)$
par rapport à la droite $(D)$.
10) Montrer que:
la courbe $(C_f)$ admet un point d’inflexion unique de coordonnées $(1;0)$
11) Soit $h$ la restriction de la fonction $f$ sur l’intervalle $I=]-\infty ;1]$
a) Montrer que:
la fonction $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie
sur l’intervalle $J$ à déterminer.
b) Vérifier que $h(0)=e-3$
puis en déduire que $(h^{-1}{)}^{\prime }(e-3)=0$
12) Construire la droite (D) et la courbe $(C_f)$
dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Partie III
1) A l’aide d’une intégration par parties montrer que:
${\int }_0^1(x+1)e^{1-x}dx=2e-3$
2) Calculer en $c{m}^2$ Paire du domine plan limité par
$(C_f)$ et la droite $(D)$ et les droites des d’équation $x=0$ et $x=1$.