Exercice 1:
Soit \(m\) un nombre complexe non réel \((m∈ℂ-IR )\).
Parie A:
On considère dans \({C}\), l’équation d’inconnue \(z\) définie par:
(E): \(z^{2}-(1+i)(1+m) z+2 i m=0\)
1 (a) Montrer que le discriminent de l’équation ( \(E\) ) est non nul.
b) Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\), les deux solutions de l’équation \((E)\).
2 On suppose dans cette question que \(m= e ^{i \theta}\) avec \(0<\theta<\pi\).
a Déterminer le module et un argument de \(z_{1}+z_{2}\).
b) Montrer que:
si \(z_{1}×z_{2}∈IR\) alors \(z_{1}+z_{2}=2 i\)
Parie B :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O ; \vec{u}, \vec{v})\).
On considère les points suivants:
A d’affixe \(a=1+i,\) B d’affixe \(b=(1+i) m,\)
C d’affixe \(c=1-i, D\) limage du point B par la rotation
de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{2}\) et Ω le milieu du segment \([CD]\).
1 a ) Montrer que l’affixe de Ω est \(\omega=\frac{(1-i)(1-m)}{2}\).
b) Calculer \(\frac{b-a}{\omega}\)
c) En déduire que \((OΩ) \perp(A B)\) et que \(AB=2 OΩ\).
2 La droite \((OΩ)\) coupe la droite \((A B)\) au point \(H\) d’affixe \(h\).
a) Montrer que \(\frac{h-a}{b-a}\) est un réel
et que \(\frac{h}{b-a}\) est un imaginaire pur.
b) En déduire \(h\) en fonction de \(m\).
Exercice 2:
On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient \(n\) et \(m\) deux entiers naturels vérifiant \(n^{8}+m^{8} ≡ 0[2969]\).
1 On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas \(n .\)
a) En utilisant le théorème de BEZOUT,
montrer que :
\((\exists u∈Z ) ; u×n ≡ 1[2969]\)
b) En déduire que \((u×m)^{8} ≡-1[2969]\)
et que \((u×m)^{2968} ≡-1[2969\).
(On remarque que \(: 2968=8×371\) )
c) Montrer que 2969 ne divise pas \(u×m\)
d) En déduire qu’on a aussi :
\((u×m)^{2968} ≡ 1[2969\) ]
2 a En utilisant les résultats précédents,
montrer que 2969 divise \(n\).
b) Montrer que:
\(n^{8}+m^{8} ≡ 0[2969] ⇔ n ≡ 0[2969]\) et \(m ≡ 0[2969]\).
Exercice 3:
Partie A :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(R\) par:
\(f(x)=4 x( e ^{-x}+\frac{1}{2} x-1)\)
et on note \(C_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\((O; \vec{i}, \vec{j})\).
1 Calculer:
\(\lim _{x➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} f(x)\).
2)-a Montrer que \(f\) est dérivable sur \(R\)
et que ∀x∈R: \( f^{\prime}(x)=4( e ^{-x}-1)(1-x)\).
b) Étudier les variation de \(f\) sur \(R\),
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique réel \(α∈] \frac{3}{2},2[\)
tel que \(f(α)=0\).
(On prendra \(e ^{\frac{3}{2}}=4,5\) )
d) Vérifier que \(e ^{-a}=1-\frac{α}{2}\).
3)-a En appliquant
le théorème de ROLLE à la fonction \(f^{\prime}\),
montrer qu’il existe un réel \(x_{0}∈[0,1[.\)
tel que \(f^{\prime \prime}(x_{0})=0\).
b) En appliquant
le théorème des accroissements finis à la fonction \(f^{\prime \prime}\),
montrer que pour tout réel \(x\) différent de \(x_{0}\) de l’intervalle \(] 0,1[.\), on a : \(\frac{f^{\prime \prime}(x)}{x-x_{0}}>0\)
c) En déduire que \(I(x_{0}, f(x_{0}))\) est un point d’inflexion de la courbe \(C _{f}\).
4-a) Étudier les branches infinies de la courbe \(C _{f}\).
(b) Représenter graphiquement la courbe \(C _{f}\) dans le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\). ( On prendra \(:\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1 cm , f(1)=-0,5\) et il n’est pas demandé de représenter le point \(I\) )
5-a) Vérifier que ∀x∈]-∞, α]: \( f(x)≤ 0\).
b) Montrer que :
\(\int_{0}^{a} f(x) d x=\frac{2}{3} α(α^{2}-3)\),
en déduire que: \(\frac{3}{2}<α≤ \sqrt{3}\).
c) Calculer en fonction de \(α\), en \(cm ^{2}\),
l’aire du domaine plan limité par la courbe \(C _{f}\)
et les droites d’équations \(y=0, x=0\) et \(x=α\).
Partie B:
On considère la suite \((u_{n})_{n∈N }\) définie par:
\(u_{0}<α\)
∀n∈N , \(u_{n+1}=f(u_{n})+u_{n}\)
1-a) Montrer par récurrence que :
\((∀n∈N ) ; u_{n}<α\).
(Utiliser la question Partie A: 5-a) )
(b) En déduire que la suite \((u_{n})_{n∈N }\) est décroissante.
2 On suppose que \(0≤ u_{0}\)
et on pose ∀x∈IR :\( g(x)= e ^{-x}+\frac{1}{2} x-\frac{3}{4}\)
a) Montrer que ∀x∈IR: \(g(x)>0\)
(On prendra \(: \ln 2=0,69\) )
(b) En utilisant le résultat de la question précédente,
montrer que ∀n∈IN: \(0≤ u_{n}\)
(On remarque que: \(f(x)+x=4x g(x))\)
(c) Montrer que la suite \((u_{n})_{n∈N}\) est convergente,
(d) Calculer \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\).
3 On suppose que \(u_{0}<0\)
a) Montrer que ∀n∈IN \(u_{n+1}-u_{n}≤ f(u_{0})\).
(b) Montrer que ∀n∈IN: \(u_{n}≤ u_{0}+n f(u_{0})\).
(c) En déduire \(\lim _{n➝+∞} u_{n}\).