Examen Math bac 2 SM 2021 Bac Blanc 7 Avec Correction

Exercice 1:

Soit $m$ un nombre complexe non réel $(m\in ℂ-IR)$.
Parie A:
On considère dans $C$, l’équation d’inconnue $z$ définie par:
(E): $z^2-(1+i)(1+m)z+2im=0$
1 (a) Montrer que le discriminent de l’équation ( $E$ ) est non nul.
b) Déterminer $z_1$ et $z_2$, les deux solutions de l’équation $(E)$.
2 On suppose dans cette question que $m=e^{i\theta }$ avec $0<\theta <\pi$.
a Déterminer le module et un argument de $z_1+z_2$.
b) Montrer que:
si $z_1\times z_2\in IR$ alors $z_1+z_2=2i$

Parie B :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On considère les points suivants:
A d’affixe $a=1+i,$ B d’affixe $b=(1+i)m,$
C d’affixe $c=1-i,D$ limage du point B par la rotation
de centre O et d’angle $\frac{\pi }{2}$ et Ω le milieu du segment $[CD]$.
1 a ) Montrer que l’affixe de Ω est $\omega =\frac{(1-i)(1-m)}{2}$.
b) Calculer $\frac{b-a}{\omega }$
c) En déduire que $(O\Omega )\perp (AB)$ et que $AB=2O\Omega$.
2 La droite $(O\Omega )$ coupe la droite $(AB)$ au point $H$ d’affixe $h$.
a) Montrer que $\frac{h-a}{b-a}$ est un réel
et que $\frac{h}{b-a}$ est un imaginaire pur.
b) En déduire $h$ en fonction de $m$.

Exercice 2:

On admet que 2969 (l’année amazighe actuelle) est un nombre premier.
Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels vérifiant $n^8+m^8\equiv 0[2969]$.
1 On suppose dans cette question que 2969 ne divise pas $n.$
a) En utilisant le théorème de BEZOUT,
montrer que :
$(\mathrm{\exists }u\in Z);u\times n\equiv 1[2969]$
b) En déduire que $(u\times m{)}^8\equiv -1[2969]$
et que $(u\times m{)}^{2968}\equiv -1[2969$.
(On remarque que $:2968=8\times 371$ )
c) Montrer que 2969 ne divise pas $u\times m$
d) En déduire qu’on a aussi :
$(u\times m{)}^{2968}\equiv 1[2969$ ]
2 a En utilisant les résultats précédents,
montrer que 2969 divise $n$.
b) Montrer que:
$n^8+m^8\equiv 0[2969]\iff n\equiv 0[2969]$ et $m\equiv 0[2969]$.

Exercice 3:

Partie A :
On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par:
$f(x)=4x(e^{-x}+\frac{1}{2}x-1)$
et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
1 Calculer:
$\underset{x➝-\infty }{lim}f(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}f(x)$.
2)-a Montrer que $f$ est dérivable sur $R$
et que ∀x∈R: $f^{\prime }(x)=4(e^{-x}-1)(1-x)$.
b) Étudier les variation de $f$ sur $R$,
puis donner son tableau de variations.
c) Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha \in ]\frac{3}{2},2[$
tel que $f(\alpha )=0$.
(On prendra $e^{\frac{3}{2}}=4,5$ )
d) Vérifier que $e^{-a}=1-\frac{\alpha }{2}$.

3)-a En appliquant
le théorème de ROLLE à la fonction $f^{\prime }$,
montrer qu’il existe un réel $x_0\in [0,1[.$
tel que $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.
b) En appliquant
le théorème des accroissements finis à la fonction $f^{\prime \prime }$,
montrer que pour tout réel $x$ différent de $x_0$ de l’intervalle $]0,1[.$, on a : $\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x-x_0}>0$
c) En déduire que $I(x_0,f(x_0))$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
4-a) Étudier les branches infinies de la courbe $C_f$.
(b) Représenter graphiquement la courbe $C_f$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. ( On prendra $:\Vert \overrightarrow{i}\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =1cm,f(1)=-0,5$ et il n’est pas demandé de représenter le point $I$ )
5-a) Vérifier que ∀x∈]-∞, α]: $f(x)\le 0$.
b) Montrer que :
${\int }_0^{a}f(x)dx=\frac{2}{3}\alpha ({\alpha }^2-3)$,
en déduire que: $\frac{3}{2}<\alpha \le \sqrt{3}$.
c) Calculer en fonction de $\alpha$, en $c{m}^2$,
l’aire du domaine plan limité par la courbe $C_f$
et les droites d’équations $y=0,x=0$ et $x=\alpha$.

Partie B:
On considère la suite $(u_n{)}_{n\in N}$ définie par:
$u_0<\alpha$
∀n∈N , $u_{n+1}=f(u_n)+u_n$
1-a) Montrer par récurrence que :
$(\forall n\in N);u_n<\alpha$.
(Utiliser la question Partie A: 5-a) )
(b) En déduire que la suite $(u_n{)}_{n\in N}$ est décroissante.
2 On suppose que $0\le u_0$
et on pose ∀x∈IR :$g(x)=e^{-x}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$
a) Montrer que ∀x∈IR: $g(x)>0$
(On prendra $:\ln 2=0,69$ )
(b) En utilisant le résultat de la question précédente,
montrer que ∀n∈IN: $0\le u_n$
(On remarque que: $f(x)+x=4xg(x))$
(c) Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\in N}$ est convergente,
(d) Calculer $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$.
3 On suppose que $u_0<0$
a) Montrer que ∀n∈IN $u_{n+1}-u_n\le f(u_0)$.
(b) Montrer que ∀n∈IN: $u_n\le u_0+nf(u_0)$.
(c) En déduire $\underset{n➝+\infty }{lim}{u}_n$.