Examen National Math Bac 2 science physique 2021 Bac Blanc 17

Exercice 1: (2,6 Pts)

1) Résoudre dans R l’équation : $3t^2-4t+1=0$.
2) Déduire dans R la solution de: $3e^x-4\sqrt{e^x}+1=0$
et $3{\log }_2(x)-4+\frac{1}{{\log }_2(x)}=0$.
3) Résoudre dans R l’inéquation: $3{\ln }^3(x)-4{\ln }^2(x)+\ln (x)>0$
4) Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ le système suivant:
$\{\begin{array}{l}3e^x-5e^y=1\\ 2\sqrt{e^{2x}}-e^y=3\end{array}$

Exercice 2: (2 Pts)

On considère les deux intégrales suivants.
I=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (x)}{\cos (x)+\sin (x)}dx$
et J=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)}dx$
1) Calculer I+J, puis montrer que I-J=0.
2) Déduire la valeur de J, puis la valeur de I.

Exercice 3: (3 Pts)

On considère la suite numérique ${\left(U_n\right)}_{n\ge 0}$
définie par: $\{\begin{array}{l}{U}_0=2\\ U_{n+1}=5U_n-4,n\in \mathbb{N}\end{array}$
et on pose $V_n=U_n-1$
1) Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique
et déterminer sa raison et son premier terme.
2) Exprimer $V_n$ en fonction de n .
3) Écrire $U_n$ en fonction de n et déduire $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{U}_n$.
4) Montrer que $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}):{\log }_5(U_n-1)=n$
et déduire l’entier $p$ tel que: $U_{3p+96}={125}^{9p+8}+1$.

Exercice 4: (4,6 Pts)

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct
$(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$,
on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
a=-2+2 i, b=-5+i, c=-5-i et d=-3
1) Montrer que b et c sont des solutions de l’équation:
$z^2+10z+26=0$ .
2) Prouver que $a=2\sqrt{2}{e}^{i\frac{3\pi }{4}}$,
puis déduire que $a^4+64=0$ .
3) Ecrire $\frac{b-d}{a-d}$ sous forme algébrique
et déduire la nature du triangle ABD .
4) On considère l’homothétie h
de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport k,
et soit le point M'(z’) image du point M(z) par h
tel que 2z’=z-6 i.
a) Déterminer $\omega$ l’affixe de $\mathrm{\Omega }$ centre de l’homothétie h,
ainsi déduire le rapport k.
b) Montrer que e=-1-2 i affixe de point E image de A par h.
5) a) Exprimer le nombre complexe $\frac{c-2d}{\sqrt{3}-i}$
sous forme algébrique et trigonométrique.
b) Déduire la valeur de : $\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)$

Exercice 5: (8 Pts)

Partie I :
On considère la fonction $g$ définie par: $g(x)=x+2-e^x$
1 – Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $I{R}^{+}$
2 – Montrer que l’équation $g(x)=0$
admet une solution unique $\alpha$ dans $R^{+}$
tel que $1\le \alpha <2$
3 – Déduire que $g(x)>0sur[0,\alpha [$
et que $g(x)\le 0$ sur $[\alpha ,+\mathrm{\infty }[$.
Partie II:
On considère la fonction $f$ définie par:
$\{\begin{array}{ll}f(x)=(\frac{2}{x}-x-2)e^{\frac{1}{x}}& ;x<0\\ f(x)=\ln (1+x{e}^x)& ;x\ge 0\end{array}$
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,$,
$\overrightarrow{j}$ ) (l’unité: $1cm$ )
1 – Montrer que $f$ est continue en 0 .
2 – Calculer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$
3 – Étudier la dérivabilité de $f$ en 0 ,
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.