Exercice 1: (2,6 Pts)
1) Résoudre dans R l’équation : \(\quad 3 t^{2}-4 t+1=0\).
2) Déduire dans R la solution de: \(\quad 3 e^{x}-4 \sqrt{e^{x}}+1=0\)
et \(3 \log _{2}(x)-4+\frac{1}{\log _{2}(x)}=0\).
3) Résoudre dans R l’inéquation: \(\quad 3 \ln ^{3}(x)-4 \ln ^{2}(x)+\ln (x)>0\)
4) Résoudre dans \(\mathbb{R}^{2}\) le système suivant:
\(\left\{\begin{array}{l}3 e^{x}-5 e^{y}=1 \\ 2 \sqrt{e^{2 x}}-e^{y}=3\end{array}\right.\)
Exercice 2: (2 Pts)
On considère les deux intégrales suivants.
I=\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (x)}{\cos (x)+\sin (x)} d x\)
et J=\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)} d x\)
1) Calculer I+J, puis montrer que I-J=0.
2) Déduire la valeur de J, puis la valeur de I.
Exercice 3: (3 Pts)
On considère la suite numérique \(\left(U_{n}\right)_{n \geq 0}\)
définie par: \(\left\{\begin{array}{l}U_{0}=2 \\ U_{n+1}=5 U_{n}-4, n \in \mathbb{N}\end{array}\right.\)
et on pose \(V_{n}=U_{n}-1\)
1) Démontrer que \(\left(V_{n}\right)\) est une suite géométrique
et déterminer sa raison et son premier terme.
2) Exprimer \(V_{n}\) en fonction de n .
3) Écrire \(U_{n}\) en fonction de n et déduire \(\lim _{n \rightarrow+\infty} U_{n}\).
4) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): \log _{5}\left(U_{n}-1\right)=n\)
et déduire l’entier \(p\) tel que: \(U_{3 p+96}=125^{9 p+8}+1\).
Exercice 4: (4,6 Pts)
Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct
\(\left(O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right)\),
on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
a=-2+2 i, b=-5+i, c=-5-i et d=-3
1) Montrer que b et c sont des solutions de l’équation:
\(z^{2}+10 z+26=0\) .
2) Prouver que \(a=2 \sqrt{2} e^{i \frac{3 \pi}{4}}\),
puis déduire que \(a^{4}+64=0\) .
3) Ecrire \(\frac{b-d}{a-d}\) sous forme algébrique
et déduire la nature du triangle ABD .
4) On considère l’homothétie h
de centre \(\Omega\) et de rapport k,
et soit le point M'(z’) image du point M(z) par h
tel que 2z’=z-6 i.
a) Déterminer \(\omega\) l’affixe de \(\Omega\) centre de l’homothétie h,
ainsi déduire le rapport k.
b) Montrer que e=-1-2 i affixe de point E image de A par h.
5) a) Exprimer le nombre complexe \(\frac{c-2 d}{\sqrt{3}-i}\)
sous forme algébrique et trigonométrique.
b) Déduire la valeur de : \(\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)\)
Exercice 5: (8 Pts)
Partie I :
On considère la fonction \(g\) définie par: \(g(x)=x+2-e^{x}\)
1 – Montrer que \(g\) est strictement décroissante sur \(IR ^{+}\)
2 – Montrer que l’équation \(g(x)=0\)
admet une solution unique \(\alpha\) dans \(R ^{+}\)
tel que \(1 \leq \alpha<2\)
3 – Déduire que \(g(x)>0 sur [0, \alpha[\)
et que \(g(x) \leq 0\) sur \([\alpha,+\infty[\).
Partie II:
On considère la fonction \(f\) définie par:
\(\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\left(\frac{2}{x}-x-2\right) e^{\frac{1}{x}} & ; x<0 \\ f(x)=\ln \left(1+x e^{x}\right) & ; x \geq 0\end{array}\right.\)
et \(( C )\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\),
\(\vec{j}\) ) (l’unité: \(1 cm\) )
1 – Montrer que \(f\) est continue en 0 .
2 – Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\)
et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)
3 – Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0 ,
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.