Exercice 1: (4 Pts)
Soit la suite ((u_{n})) définie par :
(u_{0}=2 )
(u_{n+1}=2-frac{1}{u_{n}} ) pour tout n de (IN)
1. Montrer que:
(∀n∈IN) : (u_{n}>1).
2. a. Montrer que:
(u_{n+1}-u_{n}=-frac{(u_{n}-1)^{2}}{u_{n}})
puis déduire la monotonie de la suite ((u_{n}) .)
b. Montrer que la suite ((u_{n})) est convergente.
3. Pour tout (n) de (N) on pose : (v_{n}=frac{u_{n}-2}{u_{n}-1}).
a. Calculer (v_{0}) puis montrer que :
(v_{n+1}-v_{n}=-1) pour tout (n) de (IN).
b. Montrer que pour tout (n) de (IN), on (a: v_{n}=-n).
c. Déduire que pour tout (n) de (IN), on a :
(u_{n}=frac{n+2}{n+1}).
Calculer lim (_{n ➝+∞} u_{n}).
4. Déterminer lim (_{n ➝+∞} w_{n})
tel que ((w_{n})) est la suite définie par: (w_{n}=ln (u_{n})).
Exercice 2: (5 Pts)
1. Résoudre dans (ℂ) l’équation :
((E): Z^{2}-sqrt{2} Z+1=0 .)
2. On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
((O ; vec{u} ; vec{v}))
les points (A: B) et (C) d’affixes respectives:
(a=frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2} i quad: b=sqrt{2}+1+i ; c=bar{b} .)
a. Montrer que:
(arg (a) ≡ frac{π}{4}[2π]).
Soit (R) la rotation de centre 0 et d’angle (frac{pi}{4})
et (B) l’image de (C) par la rotation (R .)
b. Montrer que: (b=ac).
c. Déduire que : (arg (b) ≡ frac{π}{8}[2π])
et montrer que : (|b|=sqrt{2(sqrt{2}+2)}).
d. En déduire que : (b^{4}=4(sqrt{2}+2)^{2}) i.
3. On considère le point (D) d’affixe: (d=sqrt{2}).
a. Vérifier que : (b-d=i(c-d)).
b. Déduire que: (DB=DC)
puis determiner la mesure de l’angle (widehat{(overrightarrow{DC};overrightarrow{DB})}).
c. Déduire la nature du triangle BDC.
Exercice 3: (4,5 Pts)
On considère la fonction (g) definie sur (IR) par:
(g(x)=1-e^{-frac{3}{2} x}-frac{1}{2} x).
1. Montrer que ∀x∈(IR):
( g^{prime}(x)=frac{1}{2}(e^{-frac{1}{2} x}-1)).
2.a. Montrer que (g) est décroissante sur ([0 ;+∞[.)
b. Déduire que ∀x ≥ 0:
( 1-e^{-frac{1}{2} x}≤ frac{1}{2} x).
3. Montrer que ∀x ≥ 0:
(frac{1-e^{-frac{1}{2} x}-x}{x^{2}}≤ -frac{1}{2 x})
et déduire lim (_{x ➝0^{+}} frac{1-e^{-frac{1}{x} x}-x}{x^{2}}).
4.a. Montrer que:
la fonction (G: x ➝2 e^{-frac{1}{2} x}-(frac{1}{2} x-1)^{2}) est une primitive de (g) sur (IR)
b. Montrer que:
(int_{0}^{4} g(x) d x=2 e^{-2}(1-e)(1+e)).
Exercice 4: (6,5 Pts)
On considère la fonction (f) définie sur (IR) par:
(f(0)=0)
(∀x neq 0 ): (f(x)=2 x+x ln (1+frac{1}{x^{2}}))
1. Montrer que f est impaire.
2.a. Vérifier que (∀x∈] 0 ;+∞[):
(x ln (1+frac{1}{x^{2}})=x ln (1+x^{2})-2 x ln (x).).
b. Deduire que (f) est continue à droite en (0 .)
c. Etudier la dérivabilité de (f) a droite en 0 puis interpreter le résultat.
3. Montrer que:
(lim _{x ➝+∞} f(x)=+∞).
4. a. Montrer que (∀x∈R _{+}):
(f^{prime}(x)=ln (1+frac{1}{x^{2}})+frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}).
b. Montrer que : (∀x∈IR _{+}: ln (1+frac{1}{x^{2}})>0).
c. Déduire que f est strictement croissante sur (] 0 ;+∞[)
puis dresser le tableau de variation de (f) sur (IR)
5.a. Montrer que:
(lim _{x ➝+∞} x^{2} ln (1+frac{1}{x^{2}})=1).
(poser (.t=frac{1}{x^{2}}))
b. Déduire que la droite ((Delta)) d’équation (y=2 x) est une asymptote oblique
((DC)) au voisinage de (+∞).
c. Montrer que (∀x∈] 0 ;+∞[): (f(x)>2x).
déduire que ((C)) est au-dessus de la droite (Delta) sur (]10 ;+∞[).
6. Tracer la courbe ((C))
et la droite ((Delta)) dans un repère orthonormé
((O ; vec{i} ; vec{j})). (unité: (1 cm) )
7. Montrer que:
(int_{1}^{2} frac{x}{1+x^{2}} d x=frac{1}{2} ln (frac{5}{2})).
8. En utilisant une intégration par partie, montrer que:
(int_{1}^{2} x ln (1+frac{1}{x^{2}}) d x=frac{5}{2} ln (frac{5}{4})).
9. Déduire en (cm ^{2}) l’aire du domaine plan limité par ((C))
et ((Delta)) et les deux droites d’équations (x=1) et (x=2).
By Prof. Mohammed Diaz