Exercice 1: (4 Pts)
Partie I:
On considère dans \(Z×Z\) l’équation suivante:
\((E): 17 x-11 y=2021\)
1. Montrer que:
si \((x, y)\) est une solution de \((E)\) alors \(x ≡ 5[11]\).
2. Résoudre dans \(Z×Z\) l’équation \((E)\).
Partie II:
Soit \(p\) un entier naturel premier tel que \(p ≥ 3\), différent de 43 et 47.
On admet que : \(2021=43×47\)
On considère dans \(Z×Z\) I’équation suivante :
\((E_{p}): 17 x^{p-1}-11 y^{p-1}=2021\)
1. Soit \((x, y)∈Z×Z\) une solution de l’équation \((E_{p})\)
a. Montrer que pour tout entier \(a\), on a :
\( a^{p-1} ≡ 0[p]\) ou \(a^{p-1} ≡ 1[p]\).
b. Vérifier que \(p\) et 2021 sont premiers entre eux.
c. En déduire que:
\(x˄p=1\) ou \(y˄p=1\).
d. Montrer que:
\(17 x^{p-1}-11 y^{p-1} ≡-11[p]\) ou \(17 x^{p-1}-11 y^{β-1} ≡ 6[p]\)
ou \(17 x^{p-1}-11 y^{p-1} ≡ 17[p]\) .
2. Déduire des questions précédentes que:
l’équation \((E_{17})\) n’admet pas de solution dans \(Z×Z\)
Exercice 2: (4 Pts)
Partie I:
On considère dans \(ℂ\), l’équation d’inconnue définie par:
\((E): z^{2}-(1+5 i) z-8+4 i=0\)
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe \(8-6 i\).
2. Résoudre dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation \((E)\)
Partie II:
Dans le plan complexe est rapporté ả un repère orthonormé direct
\((O \vec{i}, \vec{j})\), on considère:
\(A, B, C\) et \(M\) les points d’affixes respectives:
\(z_{A}=i, z_{B}=2+2 i\), \(z_{C}=-1+3 i\) et \(z_{M}=m\) où \(m∈ℂ ^{*}\)
1. a. Déterminer l’ensemble des points \(M(m)\)
pour que les points \(O,C\) et \(M\) soient alignés.
b. En déduire l’ensemble des points \(M(m)\) tels que:
\(OCM\) soit un triangle rectangle en \(O\)
2. Montrer que le triangle \(A B C\) est rectangle et isocèle en \(A\).
3. On considère la rotation \(R\) de centre \(A\)
et d’angle \(\frac{π }{2}\) et l »homothétie \(H\) de centre \(A\) et de rapport -2.
a. Déterminer l’écriture complexe des transformations \(R\) et \(H\).
b. Montrer que l’écriture complexe de la transformation
\(T=R \circ H\) est \(z^{\prime}-i=-2 i(z-i)\)
c. Soit \(C\) l’image du point \(C\) par la transformation \(T\).
Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) sont colinéaires.
4. Déterminer l’ensemble des points \(M(m)\) tels que:
les points \(A, B, C\) et \(M\) soient cocycliques
Exercice 3: (6,25 Pts)
Soit \(n\) un entier naturel.
on considère la fonction numérique \(g_{n}\) définie sur l’intervalle \([0,+∞[\) par :
\(g_{n}(0)=n\)
et \(∀x>0: g_{n}(x)=n-x\ln (x)\)
et soit \((C_{g_{n}})\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Partie I:
1. a. Montrer que la fonction \(g_{n}\) est continue à droite au point 0.
b. Etudier la dérivabilité de la fonction \(g_{n}\) à droite au point 0.
c. Calculer \(g_{n}^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(] 0,+∞[\),
puis étudier les variations de la fonction \(g_{n}\).
2. Etudier la branche infinie en \(+∞\).
3. Tracer la courbe \((C_{g_{1}})\).
(On prend : \(||i||=1 cm\) )
4. Calculer en \(cm ^{2}\), l’aire du domaine plan limité par la courbe \(( C _{g_{1}})\)
et l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives:
\(x=\frac{1}{e^{2}}\) et \(x=1\).
Partie II:
On pose : \(f=g_{0}\), et soit \(n\) un entier naturel tel que \(n ≥ 3\).
1. Montrer que l’équation \(f(x)=\frac{1}{n}\)
admet exactement deux solutions \(x_{n}\) et \(y_{n}\) tels que :
\(0<x_{n}<\frac{1}{e}<y_{n}<1\).
2. a. Montrer que la suite \((x_{n})_{n ≥ 3}\) est convergente
b. Montrer que \(∀n ≥ 3\): \(x_{n}<\frac{1}{n}\),
puis déduire \(\lim_{n ➝+∞} x_{n}\).
3. a. Montrer que \(∀n ≥ 3\):
\( 2 \ln x≤ x\),
puis déduire \(∀n ≥ 3\):
\(\frac{1}{n^{2}}≤ x_{n}\).
b. Montrer que \(∀n ≥ 3\):
\(\ln (x_{n}) ≥-\ln n-\ln (2)-\ln (\ln n)\).
c. En déduire que:
\(\lim _{n ➝+∞} \frac{\ln (x_{n})}{\ln n}=-1\).
4. a. Montrer que la suite \((y_{n})_{n ≥ 3}\) converge
et que \(\lim _{n ➝+∞} y_{n}=1\).
b. Montrer que \(∀n ≥ 3, ∃ c_{n}∈] y_{n},I[\):
\(\frac{y_{n}-1}{\ln (y_{n})}=c_{n}\).
c. En déduire que:
\(\lim _{n ➝+∞} n(y_{n}-1)=-1\).
Exercice 4: (5,75 Pts)
On considère la fonction numérique \(F\) définie sur \([1,+∞[\) par
\(F(1)=-\ln 2\)
et \(∀x>1\): \(F(x)=\int_{x^{2}}^{x} \frac{t-1}{\ln ^{2}(t)} dt\)
et soit \((C_{F})\) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
1. Soit \(h\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([1,+∞[\) par :
\(h(1)=1\)
et \((∀x∈]1,+∞[) ; h(x)=\frac{x-1}{\ln x}\)
a. Montrer que:
la fonction \(h\) est continue sur l’intervalle \([1,+∞[\)
b. Vérifier que pour tout \(x\) de \(]1,+∞[.\) on a :
\(\int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t \ln t} dt=\ln 2\).
c. En utilisant la technique de l’intégration par partie,
montrer que :
\((∀x∈] 1,+∞[) ; F(x)-F(1)=\frac{x(x-1)(x+2)}{2} h(x)-\int_{x}^{x^{2}} \frac{2 t+1}{t} h(t) dt\)
d. Déduire que \(F\) est continue a droite en 1 .
2. a. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur l’intervalle \(]I _{5},+∞[\)
puis calculer la dérivé premier \(F^{\prime}\) de la fonction \(F\).
b. En utilisant le théorème des accroissements finis deux fois,
montrer que:
\((∀x∈] 1,+∞[)(∃(α ; β)∈(] 1, x[)^{2})(α>β)\)
\(F(x)-F(1)=\frac{(1-x)(α+2)}{2} β^{2}\)
c. Montrer que:
la fonction \(F\) est dérivable à droite en 1 et calculer \(F_{d}^{\prime}( I )\).
3. a. Montrer que \((∀x∈]1,+∞[)(∃ c_{x}∈[x,x^{2}])\):
\(F(x)=(x-x^{2}) \frac{c_{x}-1}{\ln ^{2}(c_{x})}\).
b. En déduire que \(∀x∈]1,+∞[\):
\(F(x)≤ -x(\frac{h(x)}{2})^{2}\).
c. Calculer \(\lim _{x ➝+∞} F(x)\) et \(\lim _{x ➝+∞} \frac{F(x)}{x}\),
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
4. a. Donner le tableau de variations de \(F\).
b. Tracer la courbe \((C_{F}).\) (On prend: \(||i||=1 cm\) ).
By Prof. Abdelali Tajjiou