Examen National Math Bac 2 SM 2021 Bac Blanc 5

Exercice 1: (4 Pts)

Partie I:
On considère dans $Z\times Z$ l’équation suivante:
$(E):17x-11y=2021$
1. Montrer que:
si $(x,y)$ est une solution de $(E)$ alors $x\equiv 5[11]$.
2. Résoudre dans $Z\times Z$ l’équation $(E)$.

Partie II:
Soit $p$ un entier naturel premier tel que $p\ge 3$, différent de 43 et 47.
On admet que : $2021=43\times 47$
On considère dans $Z\times Z$ I’équation suivante :
$(E_p):17x^{p-1}-11y^{p-1}=2021$
1. Soit $(x,y)\in Z\times Z$ une solution de l’équation $(E_p)$
a. Montrer que pour tout entier $a$, on a :
$a^{p-1}\equiv 0[p]$ ou $a^{p-1}\equiv 1[p]$.
b. Vérifier que $p$ et 2021 sont premiers entre eux.
c. En déduire que:
$x˄p=1$ ou $y˄p=1$.
d. Montrer que:
$17x^{p-1}-11y^{p-1}\equiv -11[p]$ ou $17x^{p-1}-11y^{\beta -1}\equiv 6[p]$
ou $17x^{p-1}-11y^{p-1}\equiv 17[p]$ .
2. Déduire des questions précédentes que:
l’équation $(E_{17})$ n’admet pas de solution dans $Z\times Z$

Exercice 2: (4 Pts)

Partie I:
On considère dans $ℂ$, l’équation d’inconnue définie par:
$(E):z^2-(1+5i)z-8+4i=0$
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe $8-6i$.
2. Résoudre dans l’ensemble $ℂ$ l’équation $(E)$
Partie II:
Dans le plan complexe est rapporté ả un repère orthonormé direct
$(O\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère:
$A,B,C$ et $M$ les points d’affixes respectives:
$z_A=i,z_B=2+2i$, $z_C=-1+3i$ et $z_M=m$ où $m\in {ℂ}^{\ast }$
1. a. Déterminer l’ensemble des points $M(m)$
pour que les points $O,C$ et $M$ soient alignés.
b. En déduire l’ensemble des points $M(m)$ tels que:
$OCM$ soit un triangle rectangle en $O$

2. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$.
3. On considère la rotation $R$ de centre $A$
et d’angle $\frac{\pi }{2}$ et l »homothétie $H$ de centre $A$ et de rapport -2.
a. Déterminer l’écriture complexe des transformations $R$ et $H$.
b. Montrer que l’écriture complexe de la transformation
$T=R\circ H$ est $z^{\prime }-i=-2i(z-i)$
c. Soit $C$ l’image du point $C$ par la transformation $T$.
Montrer que les points $A,B$ et $C$ sont colinéaires.
4. Déterminer l’ensemble des points $M(m)$ tels que:
les points $A,B,C$ et $M$ soient cocycliques

Exercice 3: (6,25 Pts)

Soit $n$ un entier naturel.
on considère la fonction numérique $g_n$ définie sur l’intervalle $[0,+\infty [$ par :
$g_n(0)=n$
et $\forall x>0:g_n(x)=n-x\ln (x)$
et soit $(C_{g_n})$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Partie I:
1. a. Montrer que la fonction $g_n$ est continue à droite au point 0.
b. Etudier la dérivabilité de la fonction $g_n$ à droite au point 0.
c. Calculer $g_n^{\prime }(x)$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$,
puis étudier les variations de la fonction $g_n$.
2. Etudier la branche infinie en $+\infty$.
3. Tracer la courbe $(C_{g_1})$.
(On prend : $||i||=1cm$ )
4. Calculer en $c{m}^2$, l’aire du domaine plan limité par la courbe $(C_{g_1})$
et l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives:
$x=\frac{1}{e^2}$ et $x=1$.

Partie II:
On pose : $f=g_0$, et soit $n$ un entier naturel tel que $n\ge 3$.
1. Montrer que l’équation $f(x)=\frac{1}{n}$
admet exactement deux solutions $x_n$ et $y_n$ tels que :
$0<x_n<\frac{1}{e}<y_n<1$.
2. a. Montrer que la suite $(x_n{)}_{n\ge 3}$ est convergente
b. Montrer que $\forall n\ge 3$: $x_n<\frac{1}{n}$,
puis déduire $\underset{n➝+\infty }{lim}{x}_n$.
3. a. Montrer que $\forall n\ge 3$:
$2\ln x\le x$,
puis déduire $\forall n\ge 3$:
$\frac{1}{n^2}\le x_n$.
b. Montrer que $\forall n\ge 3$:
$\ln (x_n)\ge -\ln n-\ln (2)-\ln (\ln n)$.
c. En déduire que:
$\underset{n➝+\infty }{lim}\frac{\ln (x_n)}{\ln n}=-1$.
4. a. Montrer que la suite $(y_n{)}_{n\ge 3}$ converge
et que $\underset{n➝+\infty }{lim}{y}_n=1$.
b. Montrer que $\forall n\ge 3,\exists c_n\in ]y_n,I[$:
$\frac{y_n-1}{\ln (y_n)}=c_n$.
c. En déduire que:
$\underset{n➝+\infty }{lim}n(y_n-1)=-1$.

Exercice 4: (5,75 Pts)

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $[1,+\infty [$ par
$F(1)=-\ln 2$
et $\forall x>1$: $F(x)={\int }_{x^2}^x\frac{t-1}{{\ln }^2(t)}dt$
et soit $(C_F)$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
1. Soit $h$ la fonction numérique définie sur l’intervalle $[1,+\infty [$ par :
$h(1)=1$
et $(\forall x\in ]1,+\infty [);h(x)=\frac{x-1}{\ln x}$
a. Montrer que:
la fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[1,+\infty [$
b. Vérifier que pour tout $x$ de $]1,+\infty [.$ on a :
${\int }_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}dt=\ln 2$.
c. En utilisant la technique de l’intégration par partie,
montrer que :
$(\forall x\in ]1,+\infty [);F(x)-F(1)=\frac{x(x-1)(x+2)}{2}h(x)-{\int }_x^{x^2}\frac{2t+1}{t}h(t)dt$
d. Déduire que $F$ est continue a droite en 1 .
2. a. Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $]I_5,+\infty [$
puis calculer la dérivé premier $F^{\prime }$ de la fonction $F$.
b. En utilisant le théorème des accroissements finis deux fois,
montrer que:
$(\forall x\in ]1,+\infty [)(\exists (\alpha ;\beta )\in (]1,x[{)}^2)(\alpha >\beta )$
$F(x)-F(1)=\frac{(1-x)(\alpha +2)}{2}{\beta }^2$
c. Montrer que:
la fonction $F$ est dérivable à droite en 1 et calculer $F_d^{\prime }(I)$.
3. a. Montrer que $(\forall x\in ]1,+\infty [)(\exists c_x\in [x,x^2])$:
$F(x)=(x-x^2)\frac{c_x-1}{{\ln }^2(c_x)}$.
b. En déduire que $\forall x\in ]1,+\infty [$:
$F(x)\le -x(\frac{h(x)}{2}{)}^2$.
c. Calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}F(x)$ et $\underset{x➝+\infty }{lim}\frac{F(x)}{x}$,
puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
4. a. Donner le tableau de variations de $F$.
b. Tracer la courbe $(C_F).$ (On prend: $||i||=1cm$ ).

By Prof. Abdelali Tajjiou

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