Exercice 1: (4 Pts)
Soit (m) un nombre complexe non nul.
I.
On considère dans (ℂ) l’équation d’inconnue (Z) définie par:
((E_{m}): z^{3}+(2-i) z^{2}+(m^{2}+1-2 i) z-i(m^{2}+1)=0)
Et soit (z_{0} ; z_{1}) et (z_{2}) sont les solutions de l’équation ((E_{m})).
1) Vérifier que (z_{0}=i) est une solution de l’équation ((E_{m}))
2) Résoudre dans (C) l’équation (( E _{m})).
3) Montrer que:
(|z_{1}|=|z_{2}|) si ct seulement si (m∈R ^{*}).
4) Sachant que (m=e^{i Ө}) avec (pi<Ө<frac{3π}{2} 😉
mettre les racines de l’équation (( E _{m})) sous La forme exponentielle.
II.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct
(( O;vec{u} ; vec{v})).
On considère les points (A ; B) et (M) d’affures respectives:
(z_{A}=-1+i m ; z_{B}=-1-i m text { et } z_{M}=m)
1) Déterminer l’ensemble des points (M) d’affixes (m)
pour que les points (A, B) et (M) soient alignés
2) On suppose que (m bar{m}+R e(m) neq 0 😉
et soit (R) la transformation du plan reliant le point (M) d’affixe (z)
au point (M^{prime}) d’affixe (z^{prime}) avec: (z^{prime}=i z-1).
a) Montrer que:
(R) est une rotation en déterminant l’affixe de son centre (Ω)
et une mesure de son angle.
b) Montrer que:
le nombre complexe (frac{z_{B}-m}{z_{B}-z_{A}}) est imaginaire pur
si seulement si (m bar{m}-operatorname{Im}(m)=0)
c) En déduire l’ensemble des points (M)
pour lesquels les points (A; B; M) et (Ω) sont cocycliques.
Exercice 2: (4,5 Pts)
I –
On considère dans (Z ^{2}) l’équation:
((E): 13 x-162 y=1).
1) Vérifier que le couple ((25 ; 2)) est une solution particulière de ((E))
2) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (( E )).
II –
On considère dans (Z) l’équation (( F ):
x^{25} ≡ 3[ 1 6 3 ])
1) Soit (x) une solution de l’équation (( F )).
a) Montrer que:
163 est premier ; et que (x) et 163 sont premier entre eux
b) Montrer que:
(x^{162} ≡ 1[163]).
c) Montrer que:
(x ≡ 3^{13}[163]).
2) Montrer que:
si l’entier (x) vérifie la relation (x ≡ 3^{13}[163])
alors: (x) est une solutions de l’équation (( F )).
3) Montrer que:
l’ensemble des solutions de l’équation (( F )) est l’ensemble des entier
qui s’écrivent sous la forme (20+163 k) avec (k∈Z)
Remarque que (3^{8} ≡ 41[163]))
III-
On considère dans (Z) le système ((S)):
(left{begin{array}{l}x ≡ a[13] \ x ≡ b[162]end{array}right.).
1) Vérifier que:
(x_{0}=325 b-324 a) est une solution du système ((S)).
2) Montrer que:
(x) est solution de ((S)) si et seulement si (x ≡ x_{0} [2106]).
Exercice 3: (8,5 Pts)
Partie I
On considère la fonction (f) définie sur (IR) par:
(f ( x )=e^{-2 x} ln ( 1 + e ^{x}))
Soit ((C_{f})) la représentation graphique de (f)
dans un repère orthonormé ((O; vec{i} ; vec{j}))
1) a) Montrer que:
(lim _{x ➝+∞} f(x)=0),
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Calculer:
(lim _{x ➝-∞} f(x)) et (lim _{x ➝-∞} frac{f(x)}{x}),
puis interprète graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que:
(f) est dérivable sur (IR)
puis vérifier que (∀x∈IR) :
(f^{prime}(x)=e^{-2 x}(frac{e^{x}}{e^{x}+1}-2 ln (1+e^{x})))
3) Soit (t in] 0 ;+∞[.)
En utilisant le théorème des accroissement finis
Montrer que: (frac{t}{1+t}<ln (1+t)<t)
4) En déduire les variations de la fonction (f),
puis dresser le tableau de variation de la fonction (f).
5) Construire la courbe ((C_{f})).
Partie II
1) Montrer quel’équation (f ( x )= e ^{x})
admet ure solution unique (α) dans (IR) et que (- 1 <α< 0).
2) Montrer que:
(α) est l’unique solution de l’équation (φ(x)=x),
avec (φ(x)=frac{1}{3} ln (ln (1+e^{x})))
3) Montrer que (φ) est dérivable sur (IR),
et ∀x∈IR: (| φ ^{prime}( x )|≤ frac{ 1 }{3}).
4) Soit ((U_{n})) la suite définie par: (U _{0}= 0)
et ∀n∈IN : (U_{n+1}=φ(U_{n}))
a) Montrer que ((∀n∈IN)
(|U_{n+1}-α|≤ frac{1}{3}|U_{n}-α|).
b) Montrer que ∀n∈IN:
(|U_{n}-α|≤ (frac{1}{3})^{n}).
c) En déduire que;
la suite ((U_{n})) est convergente et calculer sa limite.
Partie III
On considère la fonction (F) définie sur (R _{+}^{*}) par (∀x>0):
(F ( x )=int_{0}^{x} f (t) dt)
1) Calculer (F ^{prime}( x )) pour tout (x> 0).
En déduire la monotonie de (F) sur lintervalle (]0;+∞[)
2) Calculer (int_{0}^{x} frac{e^{-t}}{1+e^{t}} dt .)
(Remarque que (frac{1}{t(1+t)}=frac{1}{t}-frac{1}{t+1}))
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
(int_{0}^{x} e^{-2 t} ln (1+e^{t}) dt)
4) En déduire l’aire du domaine délimité par
la courbe ((C_{f})) et les droites d’équations (x=0 ; x=1) et (y=0)
Exercice 4: (3 Pts)
On considère la fonction (F) définie sur (IR) par:
(F (x)=int_{x}^{2 x} frac{1}{sqrt{1+t^{2}+t^{4}}} dt)
1) Montrer que (F) est impaire.
2) Montrer que ((∀x∈R _{+}^{*})(∃ c_{x} in] x;2x[)) :
(F(x)=frac{x}{sqrt{1+c_{x}^{2}+c_{x}}})
3) a) En déduire que:
((∀x∈R _{+}^{*}) ; 0≤ F(x)≤ frac{1}{x}).
b) Calculer:
(lim _{x ➝+∞} F(x)); puis en déduire (lim _{x ➝-∞} F(x)).
4) Montrer que la fonction (F) est dérivable sur (R),
puis déterminer sa fonction dérivée (F ^{prime}).
By: Prof. Younes Baba