Exercice 1: (4 Pts)
Soit \(m\) un nombre complexe non nul.
I.
On considère dans \(ℂ\) l’équation d’inconnue \(Z\) définie par:
\((E_{m}): z^{3}+(2-i) z^{2}+(m^{2}+1-2 i) z-i(m^{2}+1)=0\)
Et soit \(z_{0} ; z_{1}\) et \(z_{2}\) sont les solutions de l’équation \((E_{m})\).
1) Vérifier que \(z_{0}=i\) est une solution de l’équation \((E_{m})\)
2) Résoudre dans \(C\) l’équation \(( E _{m})\).
3) Montrer que:
\(|z_{1}|=|z_{2}|\) si ct seulement si \(m∈R ^{*}\).
4) Sachant que \(m=e^{i Ө}\) avec \(\pi<Ө<\frac{3π}{2} ;\)
mettre les racines de l’équation \(( E _{m})\) sous La forme exponentielle.
II.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct
\(( O;\vec{u} ; \vec{v})\).
On considère les points \(A ; B\) et \(M\) d’affures respectives:
\(z_{A}=-1+i m ; z_{B}=-1-i m \text { et } z_{M}=m\)
1) Déterminer l’ensemble des points \(M\) d’affixes \(m\)
pour que les points \(A, B\) et \(M\) soient alignés
2) On suppose que \(m \bar{m}+R e(m) \neq 0 ;\)
et soit \(R\) la transformation du plan reliant le point \(M\) d’affixe \(z\)
au point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}\) avec: \(z^{\prime}=i z-1\).
a) Montrer que:
\(R\) est une rotation en déterminant l’affixe de son centre \(Ω\)
et une mesure de son angle.
b) Montrer que:
le nombre complexe \(\frac{z_{B}-m}{z_{B}-z_{A}}\) est imaginaire pur
si seulement si \(m \bar{m}-\operatorname{Im}(m)=0\)
c) En déduire l’ensemble des points \(M\)
pour lesquels les points \(A; B; M\) et \(Ω\) sont cocycliques.
Exercice 2: (4,5 Pts)
I –
On considère dans \(Z ^{2}\) l’équation:
\((E): 13 x-162 y=1\).
1) Vérifier que le couple \((25 ; 2)\) est une solution particulière de \((E)\)
2) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \(( E )\).
II –
On considère dans \(Z\) l’équation \(( F ):
x^{25} ≡ 3[ 1 6 3 ]\)
1) Soit \(x\) une solution de l’équation \(( F )\).
a) Montrer que:
163 est premier ; et que \(x\) et 163 sont premier entre eux
b) Montrer que:
\(x^{162} ≡ 1[163]\).
c) Montrer que:
\(x ≡ 3^{13}[163]\).
2) Montrer que:
si l’entier \(x\) vérifie la relation \(x ≡ 3^{13}[163]\)
alors: \(x\) est une solutions de l’équation \(( F )\).
3) Montrer que:
l’ensemble des solutions de l’équation \(( F )\) est l’ensemble des entier
qui s’écrivent sous la forme \(20+163 k\) avec \(k∈Z\)
Remarque que \(3^{8} ≡ 41[163])\)
III-
On considère dans \(Z\) le système \((S)\):
\(\left\{\begin{array}{l}x ≡ a[13] \\ x ≡ b[162]\end{array}\right.\).
1) Vérifier que:
\(x_{0}=325 b-324 a\) est une solution du système \((S)\).
2) Montrer que:
\(x\) est solution de \((S)\) si et seulement si \(x ≡ x_{0} [2106]\).
Exercice 3: (8,5 Pts)
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur \(IR\) par:
\(f ( x )=e^{-2 x} \ln ( 1 + e ^{x})\)
Soit \((C_{f})\) la représentation graphique de \(f\)
dans un repère orthonormé \((O; \vec{i} ; \vec{j})\)
1) a) Montrer que:
\(\lim _{x ➝+∞} f(x)=0\),
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Calculer:
\(\lim _{x ➝-∞} f(x)\) et \(\lim _{x ➝-∞} \frac{f(x)}{x}\),
puis interprète graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que:
\(f\) est dérivable sur \(IR\)
puis vérifier que \(∀x∈IR\) :
\(f^{\prime}(x)=e^{-2 x}(\frac{e^{x}}{e^{x}+1}-2 \ln (1+e^{x}))\)
3) Soit \(t \in] 0 ;+∞[.\)
En utilisant le théorème des accroissement finis
Montrer que: \(\frac{t}{1+t}<\ln (1+t)<t\)
4) En déduire les variations de la fonction \(f\),
puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
5) Construire la courbe \((C_{f})\).
Partie II
1) Montrer quel’équation \(f ( x )= e ^{x}\)
admet ure solution unique \(α\) dans \(IR\) et que \(- 1 <α< 0\).
2) Montrer que:
\(α\) est l’unique solution de l’équation \(φ(x)=x\),
avec \(φ(x)=\frac{1}{3} \ln (\ln (1+e^{x}))\)
3) Montrer que \(φ\) est dérivable sur \(IR\),
et ∀x∈IR: \(| φ ^{\prime}( x )|≤ \frac{ 1 }{3}\).
4) Soit \((U_{n})\) la suite définie par: \(U _{0}= 0\)
et ∀n∈IN : \(U_{n+1}=φ(U_{n})\)
a) Montrer que \((∀n∈IN\)
\(|U_{n+1}-α|≤ \frac{1}{3}|U_{n}-α|\).
b) Montrer que ∀n∈IN:
\(|U_{n}-α|≤ (\frac{1}{3})^{n}\).
c) En déduire que;
la suite \((U_{n})\) est convergente et calculer sa limite.
Partie III
On considère la fonction \(F\) définie sur \(R _{+}^{*}\) par \(∀x>0\):
(F ( x )=\int_{0}^{x} f (t) dt\)
1) Calculer \(F ^{\prime}( x )\) pour tout \(x> 0\).
En déduire la monotonie de \(F\) sur lintervalle \(]0;+∞[\)
2) Calculer \(\int_{0}^{x} \frac{e^{-t}}{1+e^{t}} dt .\)
(Remarque que \(\frac{1}{t(1+t)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})\)
3) En utilisant la méthode d’intégration par partie calculer:
\(\int_{0}^{x} e^{-2 t} \ln (1+e^{t}) dt\)
4) En déduire l’aire du domaine délimité par
la courbe \((C_{f})\) et les droites d’équations \(x=0 ; x=1\) et \(y=0\)
Exercice 4: (3 Pts)
On considère la fonction \(F\) définie sur \(IR\) par:
\(F (x)=\int_{x}^{2 x} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}+t^{4}}} dt\)
1) Montrer que \(F\) est impaire.
2) Montrer que \((∀x∈R _{+}^{*})(∃ c_{x} \in] x;2x[)\) :
\(F(x)=\frac{x}{\sqrt{1+c_{x}^{2}+c_{x}}}\)
3) a) En déduire que:
\((∀x∈R _{+}^{*}) ; 0≤ F(x)≤ \frac{1}{x}\).
b) Calculer:
\(\lim _{x ➝+∞} F(x)\); puis en déduire \(\lim _{x ➝-∞} F(x)\).
4) Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur \(R\),
puis déterminer sa fonction dérivée \(F ^{\prime}\).
By: Prof. Younes Baba