Examen National Math Bac 2 SM 2021 Bac Blanc 4

Exercice 1:

Dans le système de numération décimal,
on considère le nombre entier naturel :
$N=abcab{c}_{(10)}$ (écriture en base 10)
tel que: $a\ne 0$
1- Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre:1001.
2- Montrer que le nombre $N$ est divisible par 7 et 11 et 13.
3- Déterminer le reste de la division euclidienne de $N$ par 1001 .
4- Soit q le quotient de la division euclidienne de $N$ par 7,
Déterminer q et déduire les valeurs de $N$ pour que:
q soit un carré parfait .

Exercice 2:

1-a- Résoudre dans $Z^2$ l’équation $E_1$: $13x-19y=11$
b- Soit $(x,y)$ de$Z^2$ solution de $(E_1)$
déterminer les valeurs possibles de $d=x˄y$
c-Résoudre dans $Z^2$ le système :
$(S_1):\{\begin{array}{l}13x-19y=11\\ x˄y=1\end{array}$
2- Résoudre dans $Z$ l’équation $E_2$:
$(n+1{)}^{13}\equiv -6[13]$
et le système :
$(S_2):\{\begin{array}{l}(n+1{)}^{13}\equiv -6[13]\\ (n+1{)}^{19}\equiv 5[19]\end{array}$

Exercice 3:

oient $F$, $G$ deux. fonctions définies sur $R^{+}$ par:
$G(x)={\int }_1^{\sqrt{4x}}t{e}^{t}dt,F(x)={\int }_1^x{e}^{\sqrt{4t}}dt$
1- Montrer que G est dérivable sur $I{R}^{\ast +}$
et on a $\forall x\in I{R}^{\ast +}$: $G^{\prime }(x)=2F^{\prime }(x)$
2- En déduire que $\forall x\in I{R}^{\ast +}$: $2F(x)=G(x)-G(1)$
3-Montrer que $(\forall x\in I{R}^{\ast +})$:
$G(x)=(\sqrt{4x}-1)e^{\sqrt{4x}}$
4- Calculer le volume induit par rotation d’un tour complet
du courbe de $f:x➝e^{\sqrt{x}}$ autour de l’axe (ox), sur l intervalle $[1;2]$

Exercice 4:

Le plan complexe $(P)$ muni du repère orthonormé
$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .
On considère les points $z_A=1,z_B=-1et{z}_E=j$
avec: $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$
1- a-Déterminer les racines cubiques des nombres complexes :
$j$ et $\bar{j}$
b-Soit z de $ℂ-\{j\}$
Montre que $\forall \alpha \in R-\{(2k+1)\pi /k\in Z\}$:
$\frac{j+z}{j-z}=e^{i\alpha }\iff z=i.j\tan (\frac{\alpha }{2})$
c-Déduire les solutions de l équation ( E ):
$(j+z{)}^6+(j^2-z^2{)}^3+(j-z{)}^6=0$ dans $ℂ$

2- On considère l’application $f$ qui associé tout point M(z) distinct de B au point M'(z’)
tel que : $z^{\prime }=\frac{-2z}{z+1}$
a-Écrire l affixe du point $E^{\prime }=f(E)$ sous forme trigonométrique
b-Vérifier que $\forall z\in ℂ-\{-1\}$:
$z^{\prime }+1=\frac{1-z}{1+z}$
c-Démonter que tout point M(z) distinct de B on a :
$B{M}^{\prime }=\frac{AM}{BM}$
d-Déduire que si M(z) varie sur l’axe imaginaire,
le point M'(z’) varié sur un cercle $C^{\prime }$ dont on déterminera ces caractéristiques .

3- Soit (Δ) la droite d équation :x=-1 .
a-Montrer que si M'(z’)∈(Δ) on a:
$\frac{1-z}{1+z}$ est un imaginaire pure .
b-En déduire que:
si M'(z’) varie sur (Δ), le point M(z) varie sur un cercle $C$ a déterminer ces caractéristiques .
4- a-Montrer que $\forall z\in ℂ-\{-1;1\}$:
$(\overline{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{B{M}^{\prime }}})\equiv \pi +\overline{(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})}[2\pi ]$
b-En déduire l’ensemble $(\mathrm{\Gamma })$ des points M(z)
quand M'(z’) varie sur la demi droite $[BE)$ privé du point B.

Exercice 6:

Partie 1

Soit $f$ la fonction numérique définie par :
$f(0)=0$
∀x>0: $f(x)=\frac{x}{1+x\ln x}$
1- Montre que:$D_f=[0;+\infty [$
2- Étudier la continuité et la dérivabilité de f a droite en 0 .
3- Étudier la branche infinie de (Cf) au voisinage de+∞
4- Montrer que ∀x∈] 0 ;+∞[:
$f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{(1+x\ln x{)}^2}$
et donner le tableau de variation de f .
5-Etudier la position relative
de $(C_f)$ avec(△) première bissectrice du repère.
6- Construire (Δ) et $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

Partie 2

7- Soit $\phi$ la restriction de $f$ sur $[0;1]$.
a- Montrer que$\phi$ admet une fonction réciproque ${\phi }^{-1}$
définie sur un intervalle J a déterminer .
b- Étudier la dérivabilité de ${\phi }^{-1}$ sur J , tracer la courbe $(C_{{\phi }^{-1}})$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .
8- Soit $u\in ]0;1]$ on pose :
$A(u)={\int }_u^{1}f(t)dt+{\int }_{f(u)}^1{\phi }^{-1}(t)dt$
Donner une interprétation géométrique du nombre$A(u)$,
calculer $\underset{u➝0^{+}}{lim}A(u)$.

Partie 3

9- Soit $(u_n{)}_{n\in N}$ la suite numérique définie par:
$u_0=\frac{1}{2}$
$(\forall n\in IN);u_{n+1}=f(u_n)$
a- Montre que$\forall n\in IN$ : $0<u_n<1$
b- Montrer que la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ est strictement monotone
c- déduire que la suite $(u_n{)}_{n\in IN}$ est convergente
d- calculer la limite de $(u_n{)}_{n\in IN}$.
e- Pour tout $n\in IN$ on pose :
$v_n=\prod _{k=0}^n{u}_k$
prouver que $\underset{n➝+\infty }{lim}{v}_n=\frac{1}{e}$ .
f- Soit $w_n$ la valeur moyenne de f sur $[u_n;u_{n+1}]$
calculer la limite de la suite $(w_n{)}_{n\in N}$ .

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