Exercice 1:
Dans le système de numération décimal,
on considère le nombre entier naturel :
\(N=abcabc_{(10)}\) (écriture en base 10)
tel que: \(a≠0\)
1- Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre:1001.
2- Montrer que le nombre \(N\) est divisible par 7 et 11 et 13.
3- Déterminer le reste de la division euclidienne de \(N\) par 1001 .
4- Soit q le quotient de la division euclidienne de \(N\) par 7,
Déterminer q et déduire les valeurs de \(N\) pour que:
q soit un carré parfait .
Exercice 2:
1-a- Résoudre dans \(Z^{2}\) l’équation \(E _{1}\): \(13 x-19 y=11\)
b- Soit \((x,y)\) de\(Z^{2}\) solution de \(( E _{1})\)
déterminer les valeurs possibles de \(d=x˄y\)
c-Résoudre dans \(Z^{2}\) le système :
\((S_{1}):\left\{\begin{array}{l}13 x-19 y=11 \\ x˄y=1\end{array}\right.\)
2- Résoudre dans \(Z\) l’équation \( E _{2}\):
\((n+1)^{13} ≡-6[13]\)
et le système :
\((S_{2}):\left\{\begin{array}{l}(n+1)^{13} ≡-6[13] \\ (n+1)^{19} ≡ 5[19]\end{array}\right.\)
Exercice 3:
oient \(F\), \(G\) deux. fonctions définies sur \(R ^{+}\) par:
\(G(x)=\int_{1}^{\sqrt{4 x}} t e^{t} dt, F(x)=\int_{1}^{x} e^{\sqrt{4 t}} dt\)
1- Montrer que G est dérivable sur \(IR ^{*+}\)
et on a \(∀x∈IR ^{*+}\): \(G'(x)=2 F'(x)\)
2- En déduire que \(∀x∈IR ^{*+}\): \(2 F(x)=G(x)-G(1)\)
3-Montrer que \((∀x∈IR ^{*+})\):
\(G(x)=(\sqrt{4 x}-1) e^{\sqrt{4 x}}\)
4- Calculer le volume induit par rotation d’un tour complet
du courbe de \(f: x➝e^{\sqrt{x}}\) autour de l’axe (ox), sur l intervalle \([1;2]\)
Exercice 4:
Le plan complexe \((P)\) muni du repère orthonormé
\((O,\vec{u},\vec{v})\) .
On considère les points \(z_{A}=1, z_{B}=-1et z_{E}=j\)
avec: \(j=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
1- a-Déterminer les racines cubiques des nombres complexes :
\(j\) et \(\overline{j}\)
b-Soit z de \(ℂ -\{j\}\)
Montre que \(∀α∈R -\{(2 k+1)π / k∈Z \}\):
\(\frac{j+z}{j-z}=e^{i α} ⇔ z=i . j \tan (\frac{α}{2})\)
c-Déduire les solutions de l équation ( E ):
\((j+z)^{6}+(j^{2}-z^{2})^{3}+(j-z)^{6}=0 \) dans \(ℂ\)
2- On considère l’application \(f\) qui associé tout point M(z) distinct de B au point M'(z’)
tel que : \(z’=\frac{-2 z}{z+1}\)
a-Écrire l affixe du point \(E’ = f (E)\) sous forme trigonométrique
b-Vérifier que \(∀z∈ℂ -\{-1\}\):
\(z’+1=\frac{1-z}{1+z}\)
c-Démonter que tout point M(z) distinct de B on a :
\(BM’=\frac{AM}{BM}\)
d-Déduire que si M(z) varie sur l’axe imaginaire,
le point M'(z’) varié sur un cercle \(C’\) dont on déterminera ces caractéristiques .
3- Soit (Δ) la droite d équation :x=-1 .
a-Montrer que si M'(z’)∈(Δ) on a:
\(\frac{1-z}{1+z}\) est un imaginaire pure .
b-En déduire que:
si M'(z’) varie sur (Δ), le point M(z) varie sur un cercle \(C \) a déterminer ces caractéristiques .
4- a-Montrer que \(∀z∈ℂ -\{-1 ; 1\}\):
\((\overline{(\vec{u},\overrightarrow{BM’}})≡π+\overline{(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})}[2π]\)
b-En déduire l’ensemble \((\Gamma)\) des points M(z)
quand M'(z’) varie sur la demi droite \([BE)\) privé du point B.
Exercice 6:
Partie 1
Soit \(f\) la fonction numérique définie par :
\(f(0)=0\)
∀x>0: \(f(x)=\frac{x}{1+x \ln x}\)
1- Montre que:\(D_{f}=[0 ;+∞[\)
2- Étudier la continuité et la dérivabilité de f a droite en 0 .
3- Étudier la branche infinie de (Cf) au voisinage de+∞
4- Montrer que ∀x∈] 0 ;+∞[:
\(f'(x)=\frac{1-x}{(1+x \ln x)^{2}}\)
et donner le tableau de variation de f .
5-Etudier la position relative
de \((C_{f})\) avec(△) première bissectrice du repère.
6- Construire (Δ) et \((C_{f})\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
Partie 2
7- Soit \(φ\) la restriction de \(f\) sur \([0;1]\).
a- Montrer que\(φ\) admet une fonction réciproque \(φ^{-1}\)
définie sur un intervalle J a déterminer .
b- Étudier la dérivabilité de \(φ^{-1}\) sur J , tracer la courbe \((C_{φ^{-1}})\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) .
8- Soit \(u∈]0;1]\) on pose :
\(A(u)=\int_{u}^{1} f(t) dt+\int_{f(u)}^{1} φ^{-1}(t) dt\)
Donner une interprétation géométrique du nombre\(A(u)\),
calculer \(\lim _{u ➝ 0^{+}} A(u)\).
Partie 3
9- Soit \((u_{n})_{n∈N }\) la suite numérique définie par:
\(u_{0}=\frac{1}{2}\)
\((∀n∈IN ) ; u_{n+1}=f(u_{n})\)
a- Montre que\(∀n∈IN\) : \(0<u_{n}<1\)
b- Montrer que la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est strictement monotone
c- déduire que la suite \((u_{n})_{n∈IN}\) est convergente
d- calculer la limite de \((u_{n})_{n∈IN}\).
e- Pour tout \(n∈IN\) on pose :
\(v_{n}=\prod_{k=0}^{n} u_{k}\)
prouver que \(\lim _{n ➝+∞} v_{n}=\frac{1}{e}\) .
f- Soit \(w_{n}\) la valeur moyenne de f sur \([u_{n};u_{n+1}]\)
calculer la limite de la suite \((w_{n})_{n∈N }\) .