Examen National Math Bac 2 SM 2021 Bac Blanc 3

Exercice 1:

Soit $n\in I{N}^{\ast }$
on pose:
$u_n=\underset{n\text{ foix }}{\underbrace{11\dots .1}}$
1-Vérifier que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast });9u_n={10}^n-1$
2-Prouver que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast });u_n\equiv 0[7]\iff n\equiv 0[6]$
3-Déduire le plus petit entier naturel $n$ tel que Un soit divisible par 63

Exercice 2:

Soit $p$ entier relatif tel que: $p\ne 1$
et soit $n\in IN$ on pose :
$S_n=1+p+p^2+\dots +p^{n-1}$
1-a- Vérifier que :
$(\forall n\in I{N}^{\ast });S_n=\frac{1-p^n}{1-p}$
b-Déduire que :
$(\forall n\in I{N}^{\ast });p^n\wedge (1-p)=1$
2- On considère dans $Z^2$ l’équation:
$(E_n):p^{n}x+(1-p)y=p$
a-Vérifier que:
l’ensemble des solutions de l’équation (En) est non vide
b-Résoudre dans $Z^2$ l’équation :(En)
c- En déduire les solutions de l’équation:
$(F_n):{10}^{n}x-2^{n+2}y=10\times 2^{n-1}$

Exercice 3:

Soit n ∈IN , on pose :
$I_n={\int }_n^1(1-x^2{)}^{n}dx$
1-a- Montrer que :
la suite $(I_n{)}_{n\in IN}$ est décroissante .
b-Déduire que:
$(I_n{)}_{n\in IN}$ est convergente vers L réel tel que: $0\le L\le 1$
2- soit : $a\in ]0;1[$
a- Montrer que:
$(\forall n\in I{N}^{\ast });I_n\le a+(1-a)(1-a^2{)}^n$
b- Deduire que $L\le a$
puis déterminer la valeur de L
3-a- Montrer que :
$(\forall n\in IN);I_{n+1}=\frac{2n+2}{2n+3}\times I_n$
b- Déduire que:
$(\forall n\in IN);I_n=\frac{2^{2n}\times (n!{)}^2}{(2n+1)!}$

Exercice 4:

le plan complexe (P) muni du repère orthonormé $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
soit $m\in ℂ$
on considère la transformation $f_m$ qui lié
tout point M(z) au point M(z’) tel que:
$z^{\prime }=(im-1)z+m$
1-a- Déterminer m pour que$f_m$ soit une Translation.
b-Déterminer la valeur de m pour $f_m$ soit une Homothétie
(déterminer: rapport et l’affixe du centre)
2- a-Monter que: $f_m$ est une rotation ⇔$m=e^{iӨ}-i$
avec $Ө\in R-\{-\frac{\pi }{2}+2k\pi /k\in Z\}$
b-On suppose que $Ө\equiv 0[2\pi ]$
déterminer les éléments caractéristiques du rotation $f_m$,
et écrire une représentation complexe de $f_m^{-1}$

3- Soit $z\in ℂ$
on pose $z^{\prime }=iz+1-i$
a-Ecrire sous forme algébrique les racines cubiques de a=-1
b-Démonter que:
$(z^{\prime }{)}^3+1=0\iff z^3-3(1+i)z^2+6iz+2-i=0$
c-Résoudre dans $ℂ$ l’équation $(E):z^3-3(1+i)z^2+6iz+2-i=0$
d-Soient A, B, C points images des solutions de l équation (E) dans le plan complexe (P)
Montrer que l’ensemble des points M(z) du (P)
tel que $|iz+(1-i)|=1$ est un cercle circonscrit au triangle ABC
et le construire dans le plan (P).

Exercice 5:

Pour tout $n\in I{N}^{\ast }$
Soit $f_n$ fonction définie par:
$(\forall x\in IR);f_n(x)=n(2-x)e^x-1$
1-a- calculer les limites:
$\underset{x➝-\infty }{lim}{f}_n(x).$
$\underset{x➝+\infty }{lim}{f}_n(x)$
b- Donner le tableau de variation de la fonction $f_n$
2-a- Montrer que l équation :$E_n:f_n=0$
admet deux racines ${\alpha }_n$ et ${\beta }_n$
tel que: ${\alpha }_n<1<{\beta }_n<2$
b-Donner un tableau de signe de $f_n$ sur IR
3 a- Etudier le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x)$ sur lR
b- En déduire la monotonie des deux suites:
$({\alpha }_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$ $({\beta }_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$
4-a- Vérifier que :$(\forall n\in I{N}^{\ast });2-{\beta }_n=\frac{1}{n}{e}^{-{\beta }_n}$
b-Montrer que:
la suite $({\beta }_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$ est convergente et calculer sa limite.
5-Montrer que:
la suite $({\alpha }_n{)}_{n\in I{N}^{\ast }}$ est non minorée .
Déduire sa limite (justifier votre réponse )

Exercice 6:

Soit F fonction définie  sur lR par:
$F(0)=\ln 3$
$(\forall x\in I{R}^{\ast });F(x)={\int }_x^{3x}\frac{\cos t}{t}dt$1-Étudier la parité de la fonction F.
2- Étudier le signe de $F(\frac{\pi }{6})$  et $F(\frac{\pi }{2})$
3) a-Montrer que:
$(\forall x\in I{R}^{\ast +});F(x)=\ln 3-2\times {\int }_x^{3x}\frac{{\sin }^2(\frac{t}{2})}{t}dt$
b-Déduire que:
$(\forall x\in I{R}^{\ast });-2x^2\le F(x)-\ln 3\le 0$
c-Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction  F a droite en 0 .
4- a-En utilisant une intégration par partie ,
Montrer que:
$(\forall x\in I{R}^{\ast +});F(x)=\frac{\sin (3x)-\sin x}{3x}+{\int }_x^{3x}\frac{\sin (t)}{t^2}dt$
b-Déduire que:$(\forall x\in I{R}^{\ast });|F(x)|\le \frac{2}{x}$
puis calculer $\underset{x➝+\infty }{lim}F(x)$
4-a- Montrer que F est dérivable sur$(\forall x\in I{R}^{\ast })$
et on a: $(\forall x\in I{R}^{\ast +});F^{\prime }(x)=\frac{\cos (3x)-\cos x}{x}$
b- Montrer que:
l’équation $(E):F(x)=0$ admet unique solution dans $]\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}[$