Exercice 1:
Soit (n∈IN ^{*})
on pose:
(u_{n}=underbrace{11….1}_{n text { foix }})
1-Vérifier que:
((∀n∈IN ^{*}) ; 9 u_{n} = 10^{n}-1)
2-Prouver que:
((∀n∈IN ^{*}) ; u_{n} ≡ 0 [7] ⇔ n ≡ 0 [6])
3-Déduire le plus petit entier naturel (n) tel que Un soit divisible par 63
Exercice 2:
Soit (p) entier relatif tel que: (p≠1)
et soit (n∈IN) on pose :
(S_{n}=1+p+p^{2}+…+p^{n-1})
1-a- Vérifier que :
((∀n∈IN ^{*}) ; S_{n}=frac{1-p^{n}}{1-p})
b-Déduire que :
((∀n∈IN ^{*}) ; p^{n} wedge(1-p)=1)
2- On considère dans (Z ^{2}) l’équation:
(( E _{n}): p^{n} x+(1-p) y=p)
a-Vérifier que:
l’ensemble des solutions de l’équation (En) est non vide
b-Résoudre dans (Z ^{2}) l’équation :(En)
c- En déduire les solutions de l’équation:
(( F _{n}): 10^{n} x-2^{n+2} y=10×2^{n-1})
Exercice 3:
Soit n ∈IN , on pose :
(I_ {n}=int_{n}^{1}(1-x^{2})^{n} d x)
1-a- Montrer que :
la suite ((I_{n})_{n∈IN }) est décroissante .
b-Déduire que:
((I_{n})_{n∈IN }) est convergente vers L réel tel que: (0≤ L≤ 1)
2- soit : (a∈] 0;1[)
a- Montrer que:
((∀n∈IN ^{*}) ; I_{n}≤ a+(1-a)(1-a^{2})^{n})
b- Deduire que (L≤ a)
puis déterminer la valeur de L
3-a- Montrer que :
((∀n∈IN ) ; I_{n+1}=frac{2 n+2}{2 n+3}×I_{n})
b- Déduire que:
((∀n∈IN ) ; I_{n}=frac{2^{2 n}×(n !)^{2}}{(2 n+1) !})
Exercice 4:
le plan complexe (P) muni du repère orthonormé ((O, vec{u}, vec{v}))
soit (m∈ℂ)
on considère la transformation (f_{m}) qui lié
tout point M(z) au point M(z’) tel que:
(z’=(i m-1) z+m)
1-a- Déterminer m pour que(f_{m}) soit une Translation.
b-Déterminer la valeur de m pour (f_{m}) soit une Homothétie
(déterminer: rapport et l’affixe du centre)
2- a-Monter que: (f_{m}) est une rotation ⇔(m=e^{i Ө}-i)
avec (Ө∈ R -{-frac{pi}{2}+2 k pi / k∈ Z })
b-On suppose que (Ө ≡ 0[2 pi])
déterminer les éléments caractéristiques du rotation (f_{m}),
et écrire une représentation complexe de (f_{m}^{-1})
3- Soit (z∈ℂ)
on pose (z’=i z+1-i)
a-Ecrire sous forme algébrique les racines cubiques de a=-1
b-Démonter que:
((z’)^{3}+1=0 ⇔ z^{3}-3(1+i) z^{2}+6 i z+2-i=0)
c-Résoudre dans (ℂ) l’équation ((E): z^{3}-3(1+i) z^{2}+6 i z+2-i=0)
d-Soient A, B, C points images des solutions de l équation (E) dans le plan complexe (P)
Montrer que l’ensemble des points M(z) du (P)
tel que (|i z+(1-i)|=1) est un cercle circonscrit au triangle ABC
et le construire dans le plan (P).
Exercice 5:
Pour tout (n∈ IN ^{*})
Soit (f_{n}) fonction définie par:
((∀x∈ IR ) ; f_{n}(x)=n(2-x) e^{x}-1)
1-a- calculer les limites:
(lim _{x ➝-∞} f_{n}(x) .)
(lim _{x ➝+∞} f_{n}(x))
b- Donner le tableau de variation de la fonction (f_{n})
2-a- Montrer que l équation :(E_{n}: f_{n}=0)
admet deux racines (α_{n}) et (β_{n})
tel que: (α_{n}<1<β_{n}<2)
b-Donner un tableau de signe de (f_{n}) sur IR
3 a- Etudier le signe de (f_{n+1}(x)-f_{n}(x)) sur lR
b- En déduire la monotonie des deux suites:
((α_{n})_{n∈ IN ^{*}}) ((β_{n})_{n∈ IN ^{*}})
4-a- Vérifier que :((∀n∈ IN ^{*}) ; 2-β_{n}=frac{1}{n} e^{-β_{n}})
b-Montrer que:
la suite ((β_{n})_{n∈ IN ^{*}}) est convergente et calculer sa limite.
5-Montrer que:
la suite ((α_{n})_{n∈ IN ^{*}}) est non minorée .
Déduire sa limite (justifier votre réponse )
Exercice 6:
Soit F fonction définie sur lR par:
(F(0)=ln 3)
((∀x∈IR ^{*}) ; F(x)=int_{x}^{3 x} frac{cos t}{t} dt)1-Étudier la parité de la fonction F.
2- Étudier le signe de (F(frac{π}{6})) et (F(frac{π}{2}))
3) a-Montrer que:
((∀x∈IR ^{*+}); F(x)=ln 3-2×int_{x}^{3 x} frac{sin ^{2}(frac{t}{2})}{t} dt)
b-Déduire que:
((∀x∈IR ^{*}); -2 x^{2}≤ F(x)-ln 3≤ 0)
c-Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction F a droite en 0 .
4- a-En utilisant une intégration par partie ,
Montrer que:
((∀x∈IR ^{*+}); F(x)=frac{sin (3 x)-sin x}{3 x}+int_{x}^{3 x} frac{sin (t)}{t^{2}} dt)
b-Déduire que:((∀x∈IR ^{*}); |F(x)|≤ frac{2}{x})
puis calculer (lim _{x ➝+∞} F(x))
4-a- Montrer que F est dérivable sur((∀x∈IR ^{*}))
et on a: ((∀x∈IR ^{*+}); F'(x)=frac{cos (3 x)-cos x}{x})
b- Montrer que:
l’équation (( E ): F(x)=0) admet unique solution dans (]frac{π}{6};frac{π}{2}[)