Examen Math bac 2 SM 2021 Bac Blanc 2 Avec Correction

Exercice 1: (3 Pts)

Thème Analyse :

Partie A:
On considère la fonction $f$ définie sur $[0, + \infty [$ par :
si $x > 0$ : $f (x) = (1 + \frac{1}{x}) e^{- \frac{1}{x}}$
f(0)=0
Soit la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$
(unité graphique : $2 c m$ )
1) Montrer que:
$f$ est continue et dérivable à droite en $0 .$
2- a) Calculer $lim_{x ➝ + \infty} f (x)$
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b) Dresser le tableau de variation de $f$ .
3-a) Montrer que:
$C$ admet un point d’inflexion que l’on précisera.
b) Construire $C;$
en prend $: f (1) \approx 0.7$ et $4 e^{- 3} \approx 0.2$

Partie B :
On considère la fonction $F$ définie sur $[0, + \infty [$ par:
$F (x) = \int_{x}^{1} f (t) d t$
1-1) Montrer que:
$F$ est continue sur $0, + \infty [$
2-a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ∀x>0:
$\int_{x}^{1} (e^{- \frac{1}{t}}) d t = e^{- 1} - x \cdot e^{- \frac{1}{x}} - \int_{x}^{1} (\frac{1}{t} e^{- \frac{1}{t}}) d t$
b) Pour $x > 0;$ calculer :
$\int_{x}^{1} (1 + \frac{1}{t}) e^{- \frac{1}{t}} d t$ .
Puis montrer que:
$lim_{x ➝ 0^{+}} \int_{x}^{1} f (x) d x = \frac{1}{e}$ .
3) On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $N$ par:
$u_{n} = F (n) - F (n + 2)$
a) En utilisant le théorème des accroissements finis,
montrer que :
$(\forall n \in N) (\exists v_{n} \in] n, n + 2 [), u_{n} = 2 (1 + \frac{1}{v_{n}}) e^{- \frac{1}{v_{n}}}$
b) Montrer que $\forall n \in I N^{*}$ :
$2 (1 + \frac{1}{n}) e^{- \frac{1}{n}} < u_{n} < 2 (1 + \frac{1}{n + 2}) e^{- \frac{1}{n + 2}}$ .
En déduire $lim_{n ➝ + \infty} u_{n}$ .

Partie C:
1-a) Montrer que:
$(\forall n \in I N^{*}) (\exists! α_{n} > 0), f (α_{n}) = e^{- \frac{1}{n}}$
b) Montrer que la suite $(α_{n})$ est croissante.
c) Justifier que $\forall n \in I N^{*}$ on a :
$- \frac{1}{α_{n}} + \ln (1 + \frac{1}{α_{n}}) = - \frac{1}{n}$
2-a) Montrer que $\forall t \geq 0, 1 - t \leq \frac{1}{1 + t} \leq 1 - t + t^{2}$
b) En déduire que:
$(\forall x \geq 0), - \frac{x^{2}}{2} \leq - x + \ln (1 + x) \leq - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$
3) Soit $n$ un entier tel que $n \geq 4$
a) Vérifier que $α_{4} \geq 1$
puis déduire que $α_{n} \geq 1$
sachant que $e^{\frac{3}{4}} \geq 2$
b) Montrer que :
$1 - \frac{2}{3 α_{n}} \leq \frac{2 α_{n}^{2}}{n} \leq 1 .$
(On peut utiliser : (1-c) et (2-b) partie C:
c) Montrer que : $\sqrt{\frac{n}{6}} \leq α_{n} .$
En déduire $lim_{n ➝ + \infty} α_{n}$
d) Calculer:
$lim_{n ➝ + \infty} (α_{n} \sqrt{\frac{2}{n}})$

Exercice 2: (3 Pts)

Thème Arithmétiques:

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A :
Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine Chaque lettre de l’alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous:

Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder.
On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7 x + 5$ par 26 ,
puis on en déduit la lettre associée à $y$
(c’est elle qui code la lettre d’origine).
Exemple : M correspond à $x = 12 .$
On a $7 \times 12 + 5 = 89$
Or $89 \equiv 11 [26]$ et 11 correspond à la lettre $L_{2}$
donc la lettre M est codée par la lettre L.
1) Coder la lettre L.
2-a) Soit $k$ un entier relatif.
Montrer que si $k \equiv 7 x [26]$ alors $15 k \equiv x [26]$ .
b) Démontrer la réciproque de l’implication précédente.
c) En déduire que $y \equiv 7 x + 5$ [26] équivaut à $x \equiv 15 y + 3 [26]$ .
3) À l’aide de la question précédente décoder la lettre $F$ .

Partie B :
On considère les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ telles que:
$a_{0}$ et $b_{0}$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus
et pour tout entier naturel:
$n, a_{n + 1} = 7 a_{n} + 5$ et $b_{n + 1} = 15 b_{n} + 3$ .
Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n} = (a_{0} + \frac{5}{6}) \times 7^{n} - \frac{5}{6}$ .
On admet pour la suite du problème que:
$(\forall n \in N), b_{n} = (b_{0} + \frac{3}{14}) \times 15^{n} - \frac{3}{14}$ .

Exercice 3: (3 Pts)

Thème Nombres complexes:

On considère les nombres complexes $z_{n}$ définis, pour tout entier naturel $n$ , par:
$z_{0} = 1$ et $z_{n + 1} = (1 + i \frac{\sqrt{3}}{3}) z_{n}$
On note $A_{n}$ le point d’affixe $z_{n}$ dans le repère orthonormé
$(O; \vec{u}, \vec{v})$ de l’annexe.
L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points $A_{n}$
1-a) Vérifier que:
$1 + i \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{i \frac{π}{6}}$ .
b) En déduire:
$z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle.
2-a) Montrer que pour tout entier naturel n:
$z_{n} = (\frac{2}{\sqrt{3}})^{n} e^{i n \frac{π}{6}}$ .
b) Pour quelles valeurs de $n$ , les points $O, A_{0}$ et $A_{n}$ sont-ils alignés?

3) Pour tout entier naturel $n$ , on pose $d_{n} = | z_{n + 1} - z_{n} |$ .
a) Interpréter géométriquement $d_{n}$ .
b) Calculer $d_{0}$ .
c) Montrer que ∀n∈ IN ^{*}:
$z_{n + 2} - z_{n + 1} = (1 + i \frac{\sqrt{3}}{3}) (z_{n + 1} - z_{n})$ .
d) En déduire que la suite $(d_{n})_{n ⩾ 0}$ est géométrique
puis que ∀n∈ IN : $d_{n} = \frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{2}{\sqrt{3}})^{n}$
4-a) Montrer que pour tout entier naturel n:
$| z_{n + 1} |^{2} = | z_{n} |^{2} + d_{n}^{2}$ .
b) En déduire que pour tout entier naturel n:
le triangle $O A_{n} A_{n + 1}$ est rectangle en $A_{n}$ .
c) Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_{5}$
sur la figure de l’annexe.
d) Justifier cette construction.