Corrigés des olympiades mathématiques algèbre niv 02

Olympiade de Mathématique 
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

♦️ Exercice 01

a, b, c, d quatre nombres réels tel que : 

a + b + c + d = 4
Montrer que  
ab + bc + cd + da  ≤  4.
 

♦️ Exercice 02

x,y,z trois nombres réels strictement positifs 

tel que x<y+z

Montrer que:

♦️ Exercice 03

x,y,z trois nombres réels positifs deux à deux distincts positifs et différents de zéro.

Tel que:

Montrer que: xyz = 1

♦️ Exercice 04

 Ta,b et c trois longueur d’un triangle 

Montrer que: 
(a + c – b )² < 4 a c

 

♦️ Exercice 05

Soit a un nombre réel.
Combien de solutions le système suivant a-t-il ?

♦️ Exercice 06

1- Soient a, b, c, d des nombres réels
Tels que: a ⩽ b et c ⩽ d.
Montrer que :
ac + bd ≥ ad + bc.

2- Soient x, y > 0.
Montrer que :
x³/y + y³/x ≥ x²+y²

♦️ Exercice 07

Soient x, y, z trois nombres réels  strictement positifs.Tel que: 
x/x’ = y/y’ = z/z’
Montrer que:

♦️ Exercice 08

Soient x, y deux nombres réels non nuls.
tel que: (x-y)(3x-2y)=xy

Calculer: (x+y) / (x-y)
♦️ Exercice 09

x,y,z,w nombres réels strictement positifs.
tel que :
x/y = y/z = z/w
Montrer que :

 

♦️ Exercice 10

x,y,z nombres réels strictement positifs.
tel que : x+y+z=3
Montrer que :



♦️ Exercice 11

x,y nombres réels.
Tel que :

Montrer que : x²-y²+z²=1

 

♦️ Exercice 12
 
a, b et c trois nombres réels.
Montrer que :
a²+ 4b²+ 8c² ≥ 3ab + 4bc + 2ca.
♦️ Exercice 13
 
1- Montrer que:
si x² + y² = x + y = 1 alors xy = 0.
2- Montrer que:

si x³ + y³ + z³ = x² + y² + z² = x + y + z = 1
alors xyz = 0.

♦️ Exercice 14
 
x,y et z trois réels tel que:
 
Montrer que: xyz=1/3.
♦️ Exercice 15
 
soit x un nombre réal non nul, 
Tel que: x²-x+1=0

Calculer x²º²º + 1 / x²º²º ?

♦️ Exercice 16
 
soit x,y deux nombres réal , tel que:
Montrer que: x+y=0
♦️ Exercice 17
soit x,y,z x,y,z trois nombres réels, positif strictement positifs.
Tel que: x+y+z=1
Montrer que:

 

♦️ Exercice 18
 

Calculer x ?

♦️ Exercice 19
 
Trouvez Tous les nombres x,y et z strictement positifs.Tel que: x+y+1/z = y+z+1/x = z+x+1/y =3
♦️ Exercice 20
 
1- Soient a,b,u et v de IR*+.
 Montrer que:
a²/u + b²/v ≥ (a+b)² / (u+v)
Quand est-ce qu’on a l’égalité ? 
2- Montrer que Pour tout x, y et z de IR*+ on a:
♦️ Exercice 21
 
Soient x et y deux nombres réels distincts.
Tels que: x+1=(y-1)² & y+1=(x-1)². 
 
Calculer la valeur du nombre:

♦️ Exercice 22
 
Soient x et y deux réels stridulements positifs distincts. Tel que:


Calculer: x/y.
♦️ Exercice 23
 
Soient x et y deux réels positifs.
Montrer que:
♦️ Exercice 24
 
Soient x,y et z des nombres réels strictement positifs. Tel que:
 
 
Montrer que:

♦️ Exercice 25
Résoudre l’équation:
♦️ Exercice 26
Calculer S?

♦️ Exercice 27
 
Soit a, b, c des nombres réels positifs.
Tel que: a≥3, b≥3 et c≥3.

Montrer que:
3(abc + b + 2c)≥2(ab + 2ac + 3bc).
♦️ Exercice 28
a,b,c des réels strictement positifs.
Tel que a+b+c=6.

Montrer que:
(a+a/b)² + (b+b/c)²+ (c+c/a)² ≥ 27
♦️ Exercice 29
 
a,b,c des réels strictement positifs.

Montrer que:


♦️ Exercice 30
Soit x un réel tel que  » x + 1/x  » est un entier.

Montrer que:

pour tout n ∊IN,  » xⁿ + 1/xⁿ  » est un entier.
voir solution

♦️ Exercice 31
Soit x,y,z des réels, Tel que:

 x, y, z> 0 & x≤2 & y≤3 & x+y+z=11

Montrer que: xyz ≤36.

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