Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Algèbre 02 – Exercice 27
Soit a, b, c des nombres réels positifs.
Tel que: a≥3, b≥3 et c≥3.
Montrer que:
3(abc + b + 2c)≥2(ab + 2ac + 3bc).
Voir solution
* montrons que:
3(abc + b + 2c)≥2(ab + 2ac + 3bc) ①
* On pose:
x=a-3, y=b-3,z=c-3
ie: a=x+3, b=y+3, c=z+3. avec x, y, z ≥ 0.
* calculons:
A=3(abc + b + 2c)
A=3((x+3)(y+3)(z+3)+(y+3)+2(z+3))
A=3xyz+9xy+9yz+9zx+27x+27y+27z+81+3y+9+6z+18
* montrons que:
3(abc + b + 2c)≥2(ab + 2ac + 3bc) ①
* On pose:
x=a-3, y=b-3,z=c-3
ie: a=x+3, b=y+3, c=z+3. avec x, y, z ≥ 0.
* calculons:
A=3(abc + b + 2c)
A=3((x+3)(y+3)(z+3)+(y+3)+2(z+3))
A=3xyz+9xy+9yz+9zx+27x+27y+27z+81+3y+9+6z+18
A=3xyz+9xy+9yz+9zx+27x+30y+33z+108
* calculons:
B=2(ab + 2ac + 3bc)
B=2((x+3)(y+3)+ 2(x+3)(z+3) + 3(y+3)(z+3))
B=2xy+6x+6y+18+4xz+12x+12z+36+6yz+18y+18z+54
B=2xy+6yz+4xz+18x+24y+30z+108
Ensuite, l’inégalité donnée est équivalente à :
① ↴
A ≥B ↴
3xyz+9xy+9yz+9zx+27x+30y+33z+108≥2xy+6yz+4xz+18x+24y+30z+108
↴
3xyz+7xy + 3yz + 5xz + 9x + 6y + 3z ≥ 0.
ce qui est évidemment vrai.
car (x,y et z sont tous positifs)
* Nous avons l’égalité:
si et seulement si x = y = z = 0
➡️ a = b = c = 3.
3xyz+7xy + 3yz + 5xz + 9x + 6y + 3z ≥ 0.
ce qui est évidemment vrai.
car (x,y et z sont tous positifs)
* Nous avons l’égalité:
si et seulement si x = y = z = 0
➡️ a = b = c = 3.
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques. 4math.net Le première clé pour être bon en maths