Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
▶️ Olympiade Mathématiques – Algèbre 02 – Exercice 02
x,y,z trois nombres réels strictement positifs
Tel que x<y+z
Montrer que:
f: x–>x/(x+1)est une fonction strictement croissante sur IR*+.
pour tous les nombres réels strictement positifs x,y et z
on verra que si z<x+y alors f(z)<f(x+y)
Montrons que: f(x+y)<f(x)+f(y)
Il suffit de décomposer f(x+y)=(x+y)/(x+y+1)= x/(x+y+1) + y/(x+y+1)
Et puisque x/(x+y+1)<x/(x+1) et y/(x+y+1)<y/(y+1)
Alors on trouve que (x+y)/(x+y+1)<x/(x+1) + y/(y+1)
On en conclut alors que f(x+y)<f(x)+f(y)
donc:f(z)<f(x+y)<f(x)+f(y)(CQFD)
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